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1、2013 年中考数学归纳猜想型问题复习2013 年中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一）一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总
2、结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各
3、部分的特征，改写成要求的格式。例 1 （2012沈阳）有一组多项式：a+b2，a2 b4，a3+b6，a4b8，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 10 个多项式为 考点：多项式。810360 专题：规律型。分析：首先观察归纳，可得规律：第 n 个多项式为：an+（ 1）n+1b2n，然后将 n=10 代入，即可求得答案解答：解：第 1 个多项式为：a1+b21，第 2 个多项式为：a2b22，第 3 个多项式为：a3+b23，第 4 个多项式为：a4b24，第 n 个多项式为：an+（ 1）n+1b2n，第 10 个多项式为：a10b20故答案为：a10 b20点评：此题考查的知识点
4、是多项式，此题难度不大，注意找到规律第 n 个多项式为：an+（ 1）n+1b2n 是解此题的关键例 2 （2012 珠海）观察下列等式：12231=13221，13341=14331，2332=2332，34473=37443，62286=68226，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式” ：2 = 2； 396=693 （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且2a+b9，写出表示 “数字对称等式 ”一般规律的式子（含 a、b）
5、 ，并证明考点：规律型：数字的变化类。专题：规律型。分析：（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可解答：解：（1）+2=7，左边的三位数是 27，右边的三位数是 72，227=722，左边的三位数是 396，左边的两位数是 63，右边的两位数是 36，63369=69336；故答案为：27，72；63，36（2）左边两位数的十位数字
6、为 a，个位数字为 b，左边的两位数是 10a+b，三位数是 100b+10（a+b）+a ，右边的两位数是 10b+a，三位数是 100a+10（a+b）+b，一般规律的式子为：（10a+b ）100b+10 （a+b ）+a=100a+10（a+b）+b（10b+a ） ，证明：左边= （10a+b）100b+10 （a+b ） +a，=（10a+b ） （100b+10a+10b+a ） ，=（10a+b ） （110b+11a） ，=11（10a+b ） （10b+a） ，右边=100a+10（a+b）+b（10b+a ） ，=（100a+10a+10b+b） （10b+a ） ，=（
7、110a+11b ） （10b+a） ，=11（10a+b ） （10b+a） ，左边=右边，所以“数字对称等式” 一般规律的式子为：（ 10a+b）100b+10（a+b ）+a=100a+10（a+b）+b （10b+a ） 点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例 3 1 （ 2
8、012重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有 2 个五角星，第个图形一共有 8 个五角星，第个图形一共有 18 个五角星，则第个图形中五角星的个数为（）A0B6468D 72考点：规律型：图形的变化类。分析：先根据题意求找出其中的规律，即可求出第个图形中五角星的个数解答：解：第个图形一共有 2 个五角星，第个图形一共有：2+（32 ）=8 个五角星，第个图形一共有 8+（2 ）=18 个五角星，第 n 个图形一共有：12+32+2+72+2（2n 1）=21+3+（2n1），=1+（2n 1）n=2n2，则第（6）个图形一共有：262=72 个五角星；故选 D
9、点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第 n 个图形五角星的个数的表达式是解题的关键例 4 （ 2012绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有 3 棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是 10，如图，第一棵树左边处有一个路牌，则从此路牌起向右100 之间树与灯的排列顺序是（）A B D 考点：规律型：图形的变化类。分析：根据题意可得，第一个灯的里程数为 10 米，第二个灯的里程数为 0，第三个灯的里程数为 90 米第 n 个灯的里程数为10+40（n1 ）=40n30 米，从而可计算出 30 米处哪个里程数是灯，也就得出了答案解答：解：根据
10、题意得：第一个灯的里程数为 10 米，第二个灯的里程数为 0，第三个灯的里程数为 90 米第 n 个灯的里程数为 10+40（n 1）=（40n30）米，故当 n=14 时候，40n 30=30 米处是灯，则 10 米、20 米、40 米处均是树，故应该是树、树、灯、树，故选 B点评：本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题例 （2012荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图；如此反复操作下去，则第 2012 个图形中直角三角形的个数
11、有（）A8048 个 B4024 个2012 个 D1066 个考点：规律型：图形的变化类。专题：规律型。分析：写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1） ，当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n，根据此规律求解即可解答：解：第 1 个图形，有 4 个直角三角形，第 2 个图形，有 4 个直角三角形，第 3 个图形，有 8 个直角三角形，第 4 个图形，有 8 个直角三角形，依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1） ，当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个，所以，第 2012 个图形中直角三角形的个数是 22012=4024
12、故选 B点评：本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键考点三：猜想坐标变化例 6 （2012德州）如图，在一单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A，AA6A7，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形若A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3（0，0） ，则依图中所示规律，A2012 的坐标为 考点：等腰直角三角形；点的坐标。专题：规律型。分析：由于 2012 是 4 的倍数，故 A1A4；AA8；每 4 个为一组，可见，A2012 在 x 轴上方，横坐标为 2，再根据纵坐标变化找到
13、规律即可解答解答：解：2012 是 4 的倍数，A1A4；A A8；每 4 个为一组，A2012 在 x 轴上方，横坐标为 2，A4、A8、A12 的纵坐标分别为 2，4， 6，A12 的纵坐标为 2012 =1006故答案为（2，1006） 点评：本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答例 7 （ 2012鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 AB，边 A、分别在 x 轴、轴上，如果以对角线 B 为边作第二个正方形 BB11，再以对角线 B1 为边作第三个正方形B1B22，照此规律作下去，则点 B2012 的坐标为 考点：正方形的性质；
14、坐标与图形性质。专题：规律型。分析：首先求出 B1、B2、B3 、B4、B、B6、B7 、B8、B9 的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点 B2012 的坐标解答：解：正方形 AB 边长为 1，B= ，正方形 BB11 是正方形 AB 的对角线 B 为边，B1=2，B1 点坐标为（0，2） ，同理可知 B2=2 ，B2 点坐标为（2，2） ，同理可知 B3=4，B3 点坐标为（4，0） ，B4 点坐标为（4，4） ，B 点坐标为（0， 8） ，B6（ 8，8） ，B7（16，0）B8（ 16，16） ，B9 （0，16 ） ，由规律可以发现，每经过 9 次作图后，点的坐标符号
15、与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原的 倍，20129=223，B2012 的纵横坐标符号与点 B4 的相同，纵横坐标都是负值，B2012 的坐标为（ 21006，21006） 故答案为（21006， 21006） 点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过 9 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原的 倍，此题难度较大四、中考真题演练一、选择题1 （2012烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（） A3B4D6考点：规律型：图形的变化类。专题：规律型。分析：答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数解答：解： 如图所示，断去部分的小菱形的个数为，故选点评：考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键2 （2012铜仁地区）如图，第 个图形中一共有 1 个平行四边形，第个图形中一共有个平行四边形，第个图形中一共有11 个平行四边形，
