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1、线性代数复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准
2、化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一、行列式1行列式的定义用 n2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和;(2)展开式共有 n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算一阶|= 行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N 阶(n=3)行列式的计算:降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2 )
3、行列式值为 0 的几种情况:行列式某行(列)元素全为 0;行列式某行(列)的对应元素相同;行列式某行(列)的元素对应成比例;奇数阶的反对称行列式。二矩阵1 矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2 矩阵的运算(1 )加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2 )关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若 ABBA ,称 A、B 是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;|kA|=kn|A|3 矩阵的秩(1 )定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2 )秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:矩阵
4、的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4 逆矩阵(1)定义:A、B 为 n 阶方阵,若 ABBAI,称 A 可逆,B 是 A 的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质:(AB)-1=(B-1)*(A-1),(A)-1=(A-1);(A B 的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件:|A|0;r(A)=n; A-I;(4 )逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*;(A* A 的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1) 5用逆矩阵求解矩
5、阵方程:AX=B,则 X=(A-1)B;XB=A,则 X=B(A-1);AXB=C,则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)r(A) 无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)=3)行列式的计算:降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2 )行列式值为 0 的几种情况:行列式某行(列)元素全为 0;行列
6、式某行(列)的对应元素相同;行列式某行(列)的元素对应成比例;奇数阶的反对称行列式。二矩阵1 矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2 矩阵的运算(1 )加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2 )关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若 ABBA ,称 A、B 是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;|kA|=kn|A|3 矩阵的秩(1 )定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2 )秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行
7、的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4 逆矩阵(1)定义:A、B 为 n 阶方阵,若 ABBAI,称 A 可逆,B 是 A 的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质:(AB)-1=(B-1)*(A-1),(A)-1=(A-1);(A B 的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件:|A|0;r(A)=n; A-I;(4 )逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*;(A* A 的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1) 5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X=(A-1)B;XB=A,则 X=B(
8、A-1);AXB=C,则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)r(A) 无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解;(2) r(A)n 有非零解;再特别,若为方阵,(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1 )解的情况:r(A)=n,(或系数行列式 D0)只有零解;r(A)n,(或系数行列式 D0)有无穷多组非零解。(2 )解的结构:X=c11+c22+Cn-rn-r。(3 )求解的方法和步骤:将增
9、广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组;移项,利用自由未知数表示所有未知数;表示出基础解系;写出通解。3非齐次线性方程组(1 )解的情况:利用判定定理。(2 )解的结构:X=u+c11+c22+Cn-rn-r。(3 )无穷多组解的求解方法和步骤:与齐次线性方程组相同。(4 )唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1 N 维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算:(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2)向量内积 =a1b1+a2b2+anbn;(3 )向量长度|=(a12+a22+an2) ( 根号)(4 )向
10、量单位化 (1/|);(5 )向量组的正交化(施密特方法)设 1, 2, , n线性无关,则1=1,2=2-(21/1)*1,3=3-(31/11)*1-(32/22)*2, 。3线性组合(1 )定义若 =k11+k2 2+knn,则称 是向量组1, 2 , ,n 的一个线性组合,或称 可以用向量组1, 2 , ,n 的一个线性表示。(2 )判别方法将向量组合成矩阵,记A(1, 2 ,n),B=(1,2, ,n,)若r (A)=r (B),则 可以用向量组 1, 2,n 的一个线性表示;若r (A)r (B),则 不可以用向量组 1, 2,n 的一个线性表示。(3 )求线性表示表达式的方法:将
11、矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1 )线性相关与线性无关的定义设 k11+k22+knn=0,若 k1,k2,,kn 不全为 0,称线性相关;若 k1,k2,,kn 全为 0,称线性无关。(2 )判别方法: r(1, 2, ,n)n ,线性相关;r(1, 2, ,n)=n ,线性无关。若有 n 个 n 维向量,可用行列式判别:n 阶行列式 aij 0,线性相关(0 无关) (行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩(1 )定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2 )求法设 A(1, 2 , ,n),将 A 化为阶梯阵,则 A 的
12、秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵 A,若存在非零向量 X 和数 使AXX,则称 是矩阵 A 的特征值,向量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量。2特征值和特征向量的求解:求出特征方程|I-A|=0 的根即为特征值,将特征值 代入对应齐次线性方程组(I-A)X0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论:(1 )A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0;(2 )A 与 A 的转置矩阵 A有相同的特征值;(3 )不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵 A、B,若存在可逆矩阵
13、P,使 P-1AP=B,则称 A 与 B 相似。2求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤(求 P 和):求出所有特征值;求出所有特征向量;若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则 A 可对角化(否则不能对角化),将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P,依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵:方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1定义n 元二次多项式 f(x1,x2,,xn)= aijxixj 称为二次型,若 aij=0(ij),则称为二交型的标准型。i,j=12二次型标准化:配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵 Q,Q-1=Q,即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性:(1 )定义(略);(2 )正定的充要条件:A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0;A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0;