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1、第一章 实验的目的和要求1.1 实验目的为了掌握计算方法的基本思想、原理和方法，要注意计算方法的处理技巧与计算机实现的结合，需将各种数值方法设计成算法，并编制好程序，拿到计算机上实现，最后得到可行性的验证。1.2 实验要求 用C或C+、Java、FORTRAN、Matlab等计算机程序设计语言编写程序。 上机前充分准备，复习相关知识，选用合适的数据结构并详细设计算法，尽量写出具有通用性的程序，反复检查程序。 上机时快速输入程序；首先排除语法错误；然后采用多组数据，详细测试，排除逻辑错误；最后将程序调试成功，运行程序得到准确结果。 完成计算后，反复体会和分析，试着改善计算复杂性，使程序或算法更加
2、完美。1.3 实验环境1.3.1 硬件环境CPU : Pentium 4以上内存：256MB以上1.3.2 软件环境(1)操作系统：Microsoft Windows XP 和 2000(2)编译器 ：C或C+、Java、FORTRAN、Matlab1.4 本实验课程与其它课程的关系本课程的前导课程有高等数学、线性代数（或高等代数） 、C语言或FORTRAN语言等，最好事先开设数据结构；后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。第二章 实验的计划和内容2.1 实验计划计算方法实验课共安排20学时。计算方法实验计划如下Lagrange插值多项式Newton插值多项式Hermite插值多项式最
3、小二乘法复化求积公式Romberg求积公式数值微分的外推算法Gauss消元法直接三角分解法解方程组的迭代法2.2 实验内容共十个实验题目，每次课(2学时)一个题目。2.2.1实验一实验题目：Lagrange插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n的Lagrange插值多项式为： nkxlyxL0)()(其中，Lagrange插值基函数 ，k=0,1,n。nkjjkxl0)(另外，补充C语言绘制图形方面的内容如下1 屏幕坐标系 坐标原点在屏幕的左上角，x轴水平向右，y轴垂直向下。2 常用的绘图函数(绘图库函数所在的头文件 graphics.h)初始化图形系统的函数 void initg
4、raph(int *graphdriver,int *graphmode, char *pathtodriver);画点函数 void putpixel(int x,int y,int pixelcolor);移“画笔”函数 void moveto(int x,int y);画直线函数 void line(int x1,int y1,int x2,inty2);void lineto(int x,int y);设置前景颜色函数 void setcolor(int color);设置背景颜色函数 void setbkcolor(int color);设置画线宽度和类型函数 void setlin
5、estyle(int linestyle,unsigned upattern,int thickness);关闭图形系统函数 void closegraph(void);3 绘图程序的设计模式#include graphics.hmain()int graphdriver=DETECT,graphmode;initgraph(调用绘图函数进行绘图closegraph();数据结构：两个一维数组或一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x) 的一张表：x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120y 5 1 7.5 3 4.5
6、 8.8 15.5 6.5 -5 -10 -2 4.5 7试验要求：利用Lagrange插值多项式 求被插值函数f(x)在点x=65处的近似值。建)(xLn议：画出Lagrange插值多项式 的曲线。)(n2.2.2 实验二实验题目：Newton插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n的Newton插值多项式为：)()(, )(,)( 11010 10200 nnn xxxf xffNLL L数据结构：两个一维数组或一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x) 的一张表 (同上一个试验)试验要求：利用Newton插值多项式 求被插值函数f(x)在点x=
7、65处的近似值。建议：xNn画出Newton插值多项式 的曲线。)(xn2.2.3 实验三实验题目：Hermite插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过2n+1的Hermite插值多项式为： nj jjn xmyxH012 )()()(其中，Hermite插值基函数 )()()(2 xlxxjjj 2ljjnjkkjxxl0 1)(j,L数据结构：三个一维数组或一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x) 的一张表 (其中 )：(xfmx 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50y 0.904837 0.818731 0.740818 0.67
8、0320 0.606531m -0.904837 -0.818731 -0.740818 -0.670320 -0.606531x 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00y 0.548812 0.496585 0.449329 0.406570 0.367879m -0.548812 -0.496585 -0.449329 -0.406570 -0.367879实验用例：利用Hermite插值多项式 求被插值函数f(x)在点x=0.55处的近似值。)(12xHn建议：画出Hermite插值多项式 的曲线。12n2.2.4 实验四实验题目：曲线拟合的最小二乘法相关知识：已知Ca,b中函
9、数f(x)的一组实验数据（x i,yi） （i=0,1,m） ，其中yi=f(xi)。设 是Ca,b上线性无关函数族。在);,10)(mnjj L中找函数f(x) 曲线拟合的最小二乘解(,0xxspan，其法方程（组）为： jjS0*)()( ),10(),(0 nkdanjjk L其中， mi ikijikj xx0)()(),(k=0,1,ni kikiik dff0)()(),(特别是，求函数f(x) 曲线拟合的线性最小二乘解 的计算公式为：baxS)(*miiiiimii xyyxb020202)()1(miiiimi xyyxa0202)()1(数据结构：两个一维数组或一个二维数组算
10、法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x) 的一张表：x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90y 68 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.8 60.4 60试验要求：利用曲线拟合的线性最小二乘法求被逼近函数f(x)在点x=55处的近似值，并画出实验数据和直线。2.2.5 实验五实验题目：复化求积公式相关知识：将积分区间a,bn等分，节点x k=a+kh，k=0,1, ,n,步长 。复nabh化梯形公式为： )(2)(1bfkhaffhTnkn 再将每个小区间二等分，即整个积分区间a,b2n等分，此时复化梯形公式为 。复nT
11、2化梯形公式的递推关系为)(21nnHT其中， ， 。inhiafh1 nab数据结构：（略）算法设计： 复化梯形公式的算法如下第一步：n=1,h=b-a；第二步： ；)(2bfahTn第三步：计算 ；H第四步：计算 ；n2第五步：n=2n,h=h/2；第六步：若 （事先给定的误差精度） ，则转第三步；2nT第七步：输出Tn和等分数n/2，结束算法。编写代码：（略）实验用例： 0cosxdeI试验要求：利用复化梯形求积公式求 的近似值（积分的精确值I=-0cosxdeI12.0703463164， ） ，误差精度 。K89732461456.3 6102.2.6 实验六实验题目：Romberg
12、求积公式相关知识：用两个相邻的近似公式（其中后一个公式是由前一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的Romberg求积方法，也叫逐次分半加速（收敛）法。设以 表示二分k次后求得的梯形值，且以 表示序列 的j次加速值。)(0T)(jkT)(0kTRomberg求积公式的T表如下k h )(0kT)(1k)(2k)(3k)(4k0 b-a )( 1 2ab)1(0)0(1 2 4)2(T)()0(2T3 8)3(0)2(1)1()0(34 16ab)4()3()2()1()0(4TMMMORomberg求积公式（逐次分半加速公式）如下 LL,21,21
13、,4)(21)(1)(1)()0)(0)0(1 kjTTabiafbjkjkjjkik k数据结构：一个二维数组算法设计： Romberg求积公式的算法如下第一步：取k=0，h=b-a，求 )(2)0( bfahT第二步：令1k（k记区间a,b的二分次数）求梯形值 ，按梯形的递推公式；)(0k求加速值，按公式逐个求出T表的第k行其余各元素 （j=1,2, ,k） ；)(jkT若 （预先给定的误差精度） ，k+1k，则转；)0(1)(k第三步：输出 和等分数 （或二分次数k） ，结束算法。)(2编写代码：（略）实验用例： dxI10)cos(试验要求：利用Romberg求积公式求上述定积分（ ）
14、 ，误差精度631972.02I。6102.2.7 实验七实验题目：数值微分相关知识：数值微分的中点公式为 hxffhGxf 2)()()( 应用理查森(Richardson)外推对h逐次分半，计算过程如下表（G 0(h0=G(h)(02)(1)(0h2h)(2hG3G)(1 )(3hMMO计算公式为LL,210,21,14)()2()2( )()()(110 kjhGhhGxfxfjkjkjjkj kkk数据结构：一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： xef)(试验要求：利用数值微分的外推算法求 的近似值)1(f2.2.8 实验八实验题目：用Gauss消元法求解线性代数方程
15、组相关知识：在做除法运算时，分母的绝对值越小，舍入误差就越大。因此，消元的每一步都先选取绝对值比较大的元素（称作主元） ，用它作分母再消元。这就是主元素消去法的基本思想。数据结构：用一个二维数组存储线性代数方程组的增广矩阵；线性代数方程组的解最后存储在增广矩阵的最后一列上。算法设计：用列主元Gauss消元法求解线性代数方程组（同时求出系数行列式的值det）的算法为第一步：det1;第二步：对于k=1,2,n-1按列选取主元，找 ，使,1,nkiLiknkiamx如果 （最好是 ， 为预先给定的一个非常小的数） ，则0kiakiadet=0，计算停止如果 （或 ） ，则换行ikik 1,njaijkLdet-det消元计算，对于i=k+1,k+2,n kiia对于j=k+1,k+2,n+1kjiijij kadet第三步：如果 （最好是 ， 为预先给定的一个非常小的数） ，则0nndet=0，计算停止，否则，回代求解 nna1,1,
