线性规划与非充分灌溉

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1、灌 溉 过 程 线010203040506070801 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11需 水 累 加小 麦玉 米油 料秋 作 物来 水库 容线性规划在灌区种植规划和非充分灌溉技术中的实现摘要如何在水资源规划中实现非充分灌溉的节水灌溉技术是本文讨论的主要问题，本文提出了在中小流域水资源规划中，根据地下水能力、地表水来水预测和水库调蓄能力，采用两步线性规划技术优化作物种植结构并给出非充分灌溉的配水过程，达到地下水地表水统一规划、提高水资源利用效益的实现方法，并对规划算法进行了推导和分析。该方法对我国土地资源丰富水资源短缺的西北地区有很好的应用前景。关键词 水资源规划 种植规划 非充分灌

2、溉 线性规划1 引言1.1 概念及作用种植规划是指在区域（灌区或流域）内主要作物的灌溉用水过程与区域的天然来水过程差异较大，而区域内的可调节水量分配过程的水库库容较小的区域，根据区域内的主要作物的灌溉需水过程、产值效益的差异（不包括区域内的工业生活用水等广义作物需水过程） ，制定一个较长阶段（全年或阶段性）的作物种植结构搭配计划。制定种植规划的目标就是把以经济效益最大化为目标的区域内种植结构由市场经济无计划调整转变为科学调整，使区域内不同作物种植面积比例组合后的需水过程与流域的水库调蓄能力结合后尽可能符合流域天然来水过程，在保持区域可持续发展的前提下，充分挖掘区域水资源潜力并提高单位用水效益。

3、非充分灌溉或称不充分灌溉技术（deficit irrigation）是一种新型节水灌溉技术，按照传统的灌溉理论，种植作物就要给作物供应充分的灌溉用水，以使之达到尽可能高的单位面积产量，这就是充分灌溉。充分灌溉方法虽然可以获得较高的作物单位面积产量（单产） ，但以单位灌溉用水为标准却不一定能够获得较高的收益。因此，近年提出了非充分灌溉理论，也就是说灌溉的目的并不是要达到较高的作物单产，而是要使单位灌溉水量产生的的作物产量较高。这对于以农业经济为主（广义地，工业用水也存在同样的规律） ，水资源相对短缺，耕地资源比较富裕的地区，就显得十分必要。根据部分地区进行的非充分灌溉试验研究，采用非充分灌溉可以

4、节约 2030的灌溉用水 i。因此非充分灌溉在节约有限的水资源，提高水资源利用效益、促进流域可持续发展具有很大的作用。1.2 专业基础知识制定种植规划的技术基础是对作物充分灌溉的需水过程已经充分了解，非充分灌溉的技术基础是除上述基础之外对作物各生长期的灌溉水量变化的敏感系数及这些变化对作物最终产品的产量质量具有较详细量化数据。如图 1 为流域的主要作物需水过程线、需水总量过程线、来水过程线和累加库容总和过程线灌溉需水过程线，图 2 是某作物在其中某生长阶段灌水指标（单位面积的本阶段灌水量）对作物产量的影响。图 1 灌溉供水过程线 图 2 某作物生长期灌水指标对该作物产量可累加影响系数。1.3

5、规划步骤如何利用线性规划的数学方法解决一个区域如何采用非充分灌溉技术的种植规划问题，需要对问题进行抽象概化和分析。本节首先对此问题合理假设进行分析，然后在可接受的假设和近似基础上，对问题进行概化。概化分析表明，如果把问题分解成种植面积规划和非充分灌溉配水规划，那么在假设参量的有限变化幅度范围内，两个阶段的规划均满足线性规划问题的充分必要条件，即约束条件和目标函数的严格比例性和线性叠加性。据此作者在本文提出了非充分灌溉规划的两阶段规划方法，并对两个阶段的计算方法进行了推导和原型测试。第一阶段，根据地下水可提取过程、库容约束曲线、主要作物的灌溉过程、土地资源和低保障率的长期预报的地表水来水过程，通

6、过求解线性规划问题制定合适的种植结构规划，并得到对规划评估的经济效益指标。第二阶段，根据农业试验得到的各作物的詹森公式系数集i和高保障率的地表水长期预报来水过程，通过求解线性规划问题制定区域内非充分灌溉各作物配水计划，并得到对规划效果进行评估的经济效益指标。为了对规划效果进行评价，比较两个阶段的评估指标，必要时或者改变第一阶段的预报来水保障率，重新进行种植规划和非充分灌溉规划，或者仅改变系数集或部分时段的非充分灌溉范围限制重新进行非充分灌溉规划，从这些规划结果中选择部分方案作为决策参考。由于线形规划是一种比较成熟的数学方法，两个阶段又没有特殊的求解难点，因此本文只对问题的概化进行分析，而不对算

7、法进行论证。2 种植面积规划2.1 基本假设和近似设预报来水过程为：r=r(t)，由于要制定的是非充分灌溉的种植计划，可以有意适当降低来水保障率的来水过程，提水过程为 p=p(t)P(t)，弃水过程 d=d(t)，库容约束曲线为：C c(t)，C 0 为规划期开始时的灌区可调度的总库容（ m3） ，作物需水曲线为：I n=in(t)，每种作物的规划种植面积为 an（ha） 。同时规划期的固定需水包括工业用水、生活市政及牲畜用水、规划前已经种植的跨年度作物和森林灌溉用水的合计需水函数为 W=w(t)，地表水平均利用系数为 ，其倒数为 。需要规划的作物种类数为 N，那么，整个规划期任意时刻的灌溉水

8、量和防汛库容的水量平衡约束为：.（1.）t n tcdtwtiatprC0 N1 )()()(d)(同时还有各个时段的提水能力约束 p(t)P(t)和种植面积约束 （a nEn(t)）A ，E n(t)为作物 n 是否需要占用耕地的函数取值 0 或 1。为了简化问题为线性问题易于求解，这里忽略用水区域的空间尺度即将问题转化为零维的规划问题。2.2 离散和概化处理为了求解需要约束条件进行离散化处理，并把不等式转换成等式。假设规划期内划分的时段数为 K，令 Rj、W j 分别为时段 j 的地表水预报来水量（m 3） 、不需规划的需水常量，I n， j 为作物 n 在时段 j 的灌水定额（m 3/h

9、a） ，C k 为时段 j 的灌区内库容在工程或防汛安全允许条件下的最大库容总和（m 3） ，P k 为时段 k 的灌区可提水总量（ m3） ，A 为灌区的总耕地面积，A n1、A n2，a n,1,an,2 分别为部分规划作物的最少、最大规划种植面积、两种约束方程的松弛变量（ha） ，d j、p j、q j 分别为需要规划求解的时段 j 全灌区的弃水总量（m 3） 、提水总量（m 3） 、闲置提水能力（ m3） ，c j、f j 分别为全灌区各时段结束时的水库水量、防汛剩余库容之和，e j 为灌溉时段 j 的全灌区空闲白地的面积总和。2.2.1 可用水量限制：(2.).3,21.()()(

10、10111, KkWRCcpdaIkjjjjkkjjjNnkjj kjjjnj 2.2.2 防汛库容限制(3.).3,2.(KkCfck2.2.3 每个时间段内提水量限制pkq k=Pk .(k=1,2,K)(4.)2.2.4 正在生长作物总面积限制（a nEn,k）+e kA （E n,k0/1， k=1,2,3K）( 5.)2.2.5 其他约束可能还有部分作物的种植面积约束：anAn1 和 an=An2 ，但此类约束在稍微成熟的市场经济中将不必要，因此可以不考虑这类约束。2.2.6 规划目标方程设每种作物 n 的不计水成本的单位效益 Pn，地表水水资源利用的平均成本为 Sr，地下水水资源利

11、用的平均成本为 Sp，则区域内的规划产生的动态总效益如方程（5） ，注意弃水并不直接出现在总效益函数中。.(6.)Nn KjjrjKjjpjRPa111)()(F方程（1）到（5）即为的作物种植规划问题的线性规划的标准模式方程，求解即可得到每种作物的建议种植面积 an 和相应的各时间步的提水量 pj 和弃水量 dj。2.3 求解分析分析方程（2）到（6）可知，该规划问题共有 5KN 个变量， 4K 个约束方程。他们是变量：p 1,p2,pK; d1,d2,d3,dK; c1,c2,cK; f1,f2,fK; q1,q2,qK; a1,a2,aN。同时可以发现约束方程有如下特点：各方程的右端项都

12、满足非负条件。约束方程组（2）的 ck的系数， （3）的 fk 的系数， （ 4）的 qk 的系数和（5）的 ek 的系数即可联合组成 4K 阶的单位矩阵，因此很容易得到利用单纯形法求此规划问题的基可行解。由线性规划问题的数学定理若线性规划问题可行解存在则问题的可行域一定是凸集、线性规划问题的基可行解为问题可行域（凸集）的顶点、若线性规划问题有最优解，则一定有一个基可行解是最优解，我们可以得到如下结论：如果该问题有解，则可以采用简单的单纯形法经过不超过 5KN 次迭代（遍历可行域凸集的顶点）得到最优解。根据线性规划的数学原理，分析问题的约束方程发现，该问题无解的情况为：已知固定需水 Wj 过大

13、造成方程组（ 2）的部分方程右端项为负或来水过程 Rj 与作物需水过程 In，j 极不协调而且水库调蓄能力 Ck 太小。3 非充分灌溉配水规划3.1 假设和近似种植作物的种类数为 N，种植面积分别为 An，作物供水曲线为： In=in(t)，那么，整个规划期任意时刻的灌溉水量和防汛库容的水量平衡约束为，.(7.)t n tcdtwtitprC0 1 )()()(d)(注意这时的 r(t)形式与面积规划的相同，但因保障率不同，因此在规划时段内大多数时段可能取值不同（小） 。根据非充分灌溉的詹森公式 ii，作物的实际产量与充分灌溉时的产量比值等于作物各灌溉时段实际耗水与充分灌溉需水的比值与相应时段

14、作物缺水敏感系数乘积的累加和：（8.）Y作物实际产量， kg/ha；Ym供水充足条件下作物产量，kg/ha；ET 作物实际耗水量， m3/ha；ET m供水充足条件下作物需水量， m3/ha；i作物生育期第 i 阶段作物缺水敏感系数；i阶段序号；n阶段总数。3.2 离散和概化处理类似第一阶段，假设规划期内划分的时段数为 K，令 Rj、W j 分别为时段 j 的地表水预报来水量（m 3） 、不需规划的需水常量，C k 为时段 j 的灌区内库容在工程或防汛安全允许条件下的最大库容总和（m 3） ，P k 为时段 k 的灌区可提水总量（ m3） ，d j、p j、q j 分别为需要规划求解的时段 j

15、 全灌区的弃水总量（m 3） 、提水总量（ m3） 、闲置提水能力（m 3） ，cj、f j 分别为全灌区各时段结束时的水库水量、防汛剩余库容之和。In，j 为作物 n 在时段 j 的标准灌溉定额（ m3/ha） ，s n，j 、l n，j 分别为作物 n 在时段 j 的超定额和非充分灌溉水量（虽然对同一作物二者不能同时存在，但为了保持线性规划问题所有变量非负的条件，二者必须同时出现在方程中） （m 3/ha） ，S n，j 、L n，j 分别为作物 n 在时段 j 以标准灌溉定额 In，j 为基础的容许超定额和容许非充分灌溉的无量纲变幅系数，esn，j 、el n，j 是描述这两类条件的约束方程的松弛变量。3.2.1 可用水量限制：(9.),.21.()()( 1011 1, KkWRCcpdAlsIkjjjjkkjjjNnkjj kjjjnjjnj 3.2.2 防汛库容限制(10.).3,21.(KkCfck3.2.3 每个时间段内提水量限制pkq k=Pk .(k=1,2,K)(11.)3.2.4 超灌和非充分灌溉的幅度限制：sn，j +esn，j I n，j Sn，j （n=1,