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1、4.6 系统函数系统函数(网络函数网络函数)H(s)1.定义系统函数( ) ( ) ( )sHsEsR =系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比)(th( )sH( )te( )sE( )tr( )sR()( )()R sHsEs=所以() ( ) ( )thtetr =( ) ( ), ( ) ( )R sLrtEsLet= =其中 () () , et t=当 时 系统的零状态响应)()( thtr =)()( sHsR =() ()L ht H s=则2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时)()()(11sVsIsH =策动点导纳)()()(11sIsVsH =策
2、动点阻抗单端口网络( )sI1+()sV111双端口网络( )sI1+()sV111( )sI2+()sV222)()()(12sVsIsH =转移导纳)()()(12sIsVsH =转移阻抗)()()(12sVsVsH =电压比)()()(12sIsIsH =电流比转移函数：激励和响应不在同一端口4.应用：求系统的响应3求 H(s)的方法() () () () ()Hs ht rt et ht=方法一：() () () ()Rs HsEs rt= 方法二：( )()sHth ()( )()sEsRsH =()( )()sEsRsH =利用网络的 s域元件模型图，列 s域方程微分方程两端取拉氏
3、变换()sV11s1s11( )sI1( )sI2()sI32211()()()I sYsVs=例：求下图所示电路的转移导纳函数 。解：() () () ()sVsIssIsIs1321111=+() () () 0121321=+ sIssIssI() () () 01211321=+ sIssIssIs121112111111+sssssss1211112+=sss1121112111111+sssssss2225sss +=1211112+=sss2212sss +=2512221221+=ssssY于是得到(),Hs为矩阵的行列式 称为网络的特征方程式，反映了 的特性。(1)在零起始状
4、态下，对原方程两端取拉氏变换)(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs +=+( )()24( ) 222RssHsEs s s=+ +则22zsd() d() d() d()56()2 6dd dd() (1 e ) () () ()trt rt et etrttt ttet ut ht r t+= +=+例：已知系统 ，激励为，求系统的冲激响应 和零状态响应 。)(e4)(2)(2tuttht= 所以(2)zs() () ()rt ht et= ZS() () ()R sHsEs= 或因为)1(1222)(ZS+=ssssssR1226)1)(2()12(2+=+=sss
5、ss所以)(e6)(e2)(2ZStututrtt +=所以( ) ( ) ( )sRsEsE 31=例：已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。()()() 31+=ssEsRsH( ) ( ) ( )sEsRssR =+ 3d()3() ()drtrt ett+=所以( )sE( )sR+s13E1(S)() () () ()sRsESsESsR 3111=4.7 由系统函数零、极点分布决定由系统函数零、极点分布决定时域特性时域特性 序言 H(s)零、极点与 h(t)波形特征 H(s) 、E (s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应一序言冲激响应 h(t)与
6、系统函数 H(s)从时域 和变换域 两方面表征了同一系统的本性。在s 域分析中，借助系统函数在 s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的 时域、频域特性 集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：1可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。二H (s)零、极点与 h(t)波形特征的对应)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH=K=12,mzz z系统函数的零点12,npp p系统函数的极点在s 平面上，画出 H(s)的零极点图：极
7、点：用表示 ，零点：用 表示=mjjzs1)(=nkkps1)(1系统函数的零、极点例)2j)(2j()1()1j1)(1j1()(2+=sssssssH极点：,121= pp零点：j0j+1j12j2j1画出零极点图：,2j3=p2j4=p,01=z,1j12=z1j13+=z=4z2 H(s)极点分布与原函数的对应关系一阶极点11() , 0Hs ps=在原点，)()()(1tusHLth =apassH =+=1,1)(0, , ( ) e ( ),0, , ( ) e ( ), 0, atatahtuta=在左实轴上 指数衰减 在右实轴上 指数增加1222() , j , j ,Hs
8、p p s =+在虚轴上() sin( ) () ht tut= ，等幅振荡,)()(22ssH+=12j, j,p p =+ = 共轭根00=thttuttht2222() ,()sHss =+在虚轴上，() sin( ) (), , () ht t tut t ht= 增幅振荡jO 0j0j几种典型情况有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随，表明的极点位于 s左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。( ) )(jFsF和js() 0th )(sH,t若H (s)极点落在 s左半平面，则 h(t)波形为衰减形式；若H (s)极点落在 s右半平面，则 h(t)增
9、长；落于虚轴上的一阶极点对应的 h(t)成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的二阶极点将使 h(t)呈增长形式。三 H(s) 、E (s)的极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应激励：)()( sEte =vkkullPszssE11)()()(系统函数：)()( sHth =niimjjPszssH11)()()(响应 ： )()( sRtr =niimjjpszs11)()(+=vkkkpsA1=vkkullPszs11)()(=)(sR=niiipsA1=)(sR=)()(1sRLtr自由响应分量强制响应分量=+vktpktuAk1)(e=nitpituAi1)(e+=vkkkpsA1=niiip
10、sA1=)(sR几点认识自由响应的极点只由系统本身的特性所决定 ，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。( ) ( ),ikAA Hs Es与响应 r(t)由两部分组成：系统函数 的极点 自由 响应分量；激励函数 的极点 强迫 响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称 “自然频率 ”、“ 自由频率 ”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失 。 因此H(s)只能研究系统的零状态响应暂态响应和稳态响应瞬态响应 是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着 t增大，将消失。稳态响应 完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项
11、和瞬态响应对应 。例： 给定系统微分方程( ) ( )()( )()tettetrttrttr3dd2dd3dd22+=+( ) ( ) ( ) ( )/01,02et ut r r=激励 ，起始状态为试完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ()sEessEsRrssRrsrsRs30203002+=+解： 方程两端取拉氏变换零输入响应零状态响应:零输入响应为( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( )+=+ 03003232rrsrsEssRss则()( ) ( ) (
12、)231423523030022zi+=+=+=sssssssrrsrsR()()( )( ) ( )25.0125.123323322zs+=+=+=ssssssssssEssR( )0 e3e4)(2zi=ttrtt:即零状态响应为)0( 5.1e2e5.0)(2zs+=ttrtt( ) ( ) ( )2303002+ssrrsr()sEsss)s(R2332+=稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应()ssR15.1=215.2112+ss)0( e5.2 e2 2+ttt极点位于 s左半平面5.1)( =tr极点位于虚轴暂态响应稳态响应()ssR15.1=215.2112+ss)0( e5
13、.2 e2 2+tttH(s)的极点5.1)( =trE(s)的极点自由响应强迫响应4.8 由系统函数零、极点分布由系统函数零、极点分布决定频响特性决定频响特性定义几种常见的滤波器根据 H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一定义所谓“ 频响特性 ”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。( )H j前提：稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。H(s)和频响特性的关系( ) ( ) ( )m0sinHs et E t=设系统函数为 ， 激励源2020)(+=SEsEm其变换式则系统响应)()(2020SHSESRm+=nnjjpsKpsKpsKjsKjsK+=2211
14、0000p1、 p2、pn是H(s)的极点K1、 K2、Kn是部分分式的系数00)()(0 jsjsRjsK=+=jeHEjjHEjmm22)(00000= 00)()(0 jsjsRjsK=jeHEjjHEjmm22)(00000=000)(jeHjH=000)(jeHjH =可以求得)(2000000000jsejsejHEjsKjsKjjmjj+=+上式的逆变换为)tsin(HEeeeejHEjsKjsKmtjjtjjmjj0000002000000+=+=+1-L系统的完全响应tpntptpmneKeKeK)tsin(HER(s)t(r+=21210001-L系统的稳态响应( ) ( )000msin += tHEtrss() ()0j000j ejHs H Hs =其中() () ()()HHssHjejjj=( )H j()频响特性幅频特性相频特性（相移特性）二几种常见的滤波器O()jHcO()jHcO()jH1c2cO
