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1、有方向又有大小的量； 标量：只有大小，没有方向的量。 长度、体积、重量、温度、时间 位移、力、速度、加速度 小写的英文字母上加箭头来表示，如 ，读作向量 a ； a 用两个大写英文字母上加箭头来表示，如 表示由 的向量，其中 B 为向量的终点，读作向量 几何图形：用有箭头的线段来表示； 向量的大小叫作向量的模，记作 或 |a 规定 模为零 的向量叫作零向量；记作 0零向量的 方向是不确定的！ aA B 如果向量 和 的 模 相等 且 方向 相同 ，那么这两个向量叫作 相等的向量， 记作 ab规定：零向量都是相等的。 如果向量 和 的 模 相等 且 方向 相反 ，那么把向量 叫作 向量 的负向量
2、， ab 记作 显然对于任意的两点 A、 B，有 如果向量 和 方向相同或相反，那么这两个向量叫作平行 向量 (共线向量 ) 记作 /0 可根据需要确定其方向，因此 可看作与任意向量平行 0两个平行向量的加法： 方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方向相同。 方向相反：模为两个向量模之差的绝对值， 方向与模较大的向量相同。 ab c ab c两个不平行的非零向量的加法： B C c 以 ,以 为 邻边 作平行四边形 则平行四边形的对角线所表示的向量 就叫做向量 和 的 和 ，记作 a b 求向量和的运算，叫做 向量的加法 . 向量加法的平 行四边形法则： 两个不平行的非零向量的和： 以 ,则
3、在三角形 且 向量加法的 三角形法则： B C c c A B C c c A 平行四边形法则 )()( 向量加法的运算律： 如果 ， 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 ，使 。 11 1 2 2a e e平面向量分解定理 : 我们把不平行的向量 叫做这一个平面内所有向量的一组基。 12e ,eo x y A B ),( 11 ( 22 212212 )()(| C 将向量 的起点置于坐标原点， 作 ， 为 位置向量 。 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫作基本单位向量，记为 . ji, o x y ),( 11 ( 22 ,( 来表示向量
4、 ？ 将有序实数对 称为 向量 的坐标 ，记为 ,( ( , ) C 位置向量 量 向量的坐标运算 是实数， 向量 ),(),(2211 1 2 ()( 2121 ()( 2121 1 ),( 2121 ),( 2121 ),( 11 特别地，零向量： )0,0(0 向量 的负向量： a 11a x , y 且有 )0,0()( 的模： a 2211| a | x y向量的坐标运算 定义实数 与向量 的乘积是一个 向量 ，记作 a a对 的模和方向作如下规定： a(1) | (2) 当 时， 与 的方向 相同 ； 当 时， 与 的方向 相反 ； 当 时， 为 零向量 。 0 a 0规定：任意实
5、数 与零向量的乘积为零向量。 00 实数与向量乘积的运算律： )()1( )()2()()3( 任给平面内的两个非零向量 , 作 ,O A a O B bO B A A， 叫做 向量 与向量 的夹角。 b 的取值范围 00 向量 和向量 方向相同 a b 向量 和向量 方向相反 a 向量 和向量 垂直 ，记 a b 向量的夹角： 平行 向量的数量积 如果两个非零向量 的夹角为 ）（ 0那么我们把 叫作 向量 与向量 的数量积（或 内积 ） c o s| ba a c o s| 符号为 不能写为 数量积的运算性质： 0|1 2 2 a b b a （）3 ( ) ( ) ( )a b a b a
6、 b （）4 ( )a b c a b a c （）当且仅当 时， 0 0a向量的数量积： ,作 | | | c o 一般地，两个非零向量 、 的夹角为 ， 那么我们把 叫做 向量 与向量 的数量积 ， b( 0 ) | | | | c o s .a b a b 即 0 0 0 规定： 把 叫做向量 在向量 的方向上的投影。 | | 量积 的几何意义是： | a 两个向量 、 的数量积是其中的一个向量 的模与 另一个向量 在向量 的方向上的投影 的乘积。 ac | | |根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质： 2 2( 1 ) | | ;a a a a ( 2 ) ;a b b a
7、 ( 3) ( ) ( ) ( ) ; ( )a b a b a b R ( 4 ) ( ) .a b c a b a c 0 0 ;a a a 222( 5 ) ( ) 2a b a a b b 22| | 2 | | | | c o s | | .a a b b ( 6 ) ( ) ( )a b c a b c ?0,a b a b / / | | | | .a b a b a b 对于两个非零向量 与 有： 其数量积为 c o s| ),(),( 2211 1 22b x i y j)()( 2211 2211221221 )( 2121 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和 直线
8、的倾角 沿 轴的正向按照逆时针方向旋转到 的向上的方向 所成的转角 叫做直线 的倾角 . x l 的正方向 的向上的方向 80直线的斜率 当 时， 叫做直线 的斜率，通常用 来表示 2 l ,t a n= 时，直线 的斜率 不存在 2= 2 0k k 不存在 数形结合 分析讨论 k 0 k 00 2 2 练习 1：判断 1、直线的倾角为 ，则直线的斜率为 （ ） 为所有的直线都有倾角，故所有的直线都有 斜率（ ） 3、因为平行于 轴的直线的斜率不存在，所以 平行于 轴的直线的倾角也不存在。（ ） 331390,0( 90 180（ 2） = k,4_ 练习 2：填空 1、已知直线的倾角 ，写出直线的斜率 k（ 1） = k,30 _ （ 3） = k,32_ （ 4） = k,65_ 2、直线的斜率 ,倾角 0=k 0 3、当 _ 时， 时 ， 满足的条件是 _ 0 例 1：已知直线 的倾角 ，直线 1l =4521 1 直线 的斜率 . 例应用 2 的斜率为 解：直线 的斜率 1a nt a = 的倾角 =+= 13 5459012= 45t a n)45180t a n (135t a ,( 21倾角为的一个方向向量设直线 的方向为直线 的向上的方向 v 212t a 2ta 返回 当 的方向为直线 l 的
