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1、数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 16.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点: 利用导数研究函数的凸性教学难点: 利用凸性证明相关命题教学方法: 系统讲授法演示例题教学过程:引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性
2、.如函数 所表示的曲线是向上凸的,而 所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的yx2yx称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若 yf(x)的图形在区间 I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若 yf(x)的图形在区间 I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数 ()fx在区间 I上是凸的（向下凸）,任意 1x, 2I（ 12x）.曲线 y上任意两点 1(,)Axf, ()Bf之间的图象位于弦 AB的下方,即任意数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 212(,)x, (fx的值小于或等于弦 AB
3、在 x点的函数值,弦 AB的方程211()()(ffyfx.对任意 12(,)x有211()()(fxffxf,整理得21122()()fffx.令21()xt,则有 0t,且 12()ttx,易得12xt,上式可写成12()(fxff.一、凸函数定义以及与连续性的关系(一) 凸（凹）函数的定义定义 1 设函数 f 为定义在区间 I 上的函数 ,若对 I 上任意两点 、 和任意实数1x2总有 ,则称 f 为 I 上的凸函数.反之,如果总有(0,)1212()()()fxxfx,则称 f 为 I 上的凹函数.12 2)fxf注 易证：若一 f 为区间 I 上的凸函数,则 f 为区间 I 上的凹函
4、数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.定义 2 设曲线 yf(x)在点 ( )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两0,xf侧分别是严格凸或严格凹的,这时称( )为曲线 yf(x)的拐点.0(必须指出；若( )是曲线 y=f（x)的一个拐点,yf(x) 在点 的导数不一定存在,如0,(xf 0x在 x0 的情形.3y(二) 凸函数的特征引理 f 为 I 上的凸函数 对于 I 上任意三点 总有：123x(3)2132()()fffxf()fx严格凸函数 上式严格不等式成立.数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 3证 记321x,则 0及 213()xx, 由 f的凸性知213
5、()()()fxff221133()xff(4) 从而有 312321213()()()(fxfxfx即 32() )xf整理即得 )式.13,xI13()x, (0,1)记 213()xx,则 123x,321x由必要性的推导步骤可逆,从 式便得 4)式.故 f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 123,xI, 123x,有3211()()fffxf()fx严格凸函数 上式严格不等式成立.定理 设 为开区间 上的凸函数若 则 在 上满足利普希茨条件,且在 上连续证明 (证明开区间 上的凸函数必为连续函数)当取定 后,由 为开区间,必可选取 中的四点 满足：如图所示,再
6、在 中任取两点 .应用引理得到数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 4令,则, 显然,上述 L 与 中的点 无关,故 在 上的每个内闭区间 上满足利普希茨条件由此容易推知 在 上连续,再由 在 上的任意性,又可推知 在 上处处连续如果 f 是 I 上的可导函数 ,则进一步有：二、凸函数与导数的关系定理 1（可导函数为凸函数的等价命题） 设 f 为区间 I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为 I 上的凸函数；（2） 为 I 上的增函数；（3）对 I 上的任意两点 总有 f 12,x21121()()xfx证 (i) (ii) ,并取 ,使据定理 3.12,有由 可微 ,当
7、时,对上述不等式取极限后,得到所以 是 上的递增函数(ii) (iii) 由微分中值定理和 递增,便可证得当 时,也有相同结论数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 5(iii) (i) ,并记 ,则有, 由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线 上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在 为可微的前提条件下 ,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义 1)来定义如果 f 在 I 上二阶可导 ,则进一步有：定理 2（凸函数与二阶导数的关系） 设 f 为 I 上的二阶可导函数,则在 I 上 f
8、 为凸（凹）函数 （ ）, . f为严格凸 1） ()0fx；2） ()fx不在 上的任一子()0fx()fxI区间上恒为零.此定理说明： f为严格凸 ,则曲线中不含有直线段（ ()f）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为 凸,则 f凹）.可导函数 f有如下相互等价的论断：1） 为 I上凹函数.2） 123,xI, 123x有3221()()fxffxf.即割线斜率递减.3） ()f为 上递减函数.数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 64） 0xI,有 00()()fxfx,xI.当 f在 I上二阶可导时,下述论断与 1）,2）,3）,4）相等价.5）在 I上 ()f.对严格凹的
9、情形可类似得出等价论断.二、拐点定义 2 设曲线 yf(x) 在点( )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两0,(xf侧分别是严格凸或严格凹的,这时称( )为曲线 yf(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分0界点）必须指出；若( )是曲线 y=f（x)的一个拐点,yf(x) 在点 的导数不一定存在,如0,(xf 0x在 x0 的情形.3y定理 3（拐点必要条件） 若 f 在 二阶可导,则( )为曲线 yf(x)的拐点的必要条0x0,(xf件是 .0()fx综上知：( )的拐点,则要么（1） ；要么（2）f 在 点不可导.0,(fx0()fx0x定理 4 设 f 在点 可导,在某邻域
10、内二阶可导,若在 和 上 的符号U()U()(fx相反,则( )为曲线 yf(x) 的拐点.0,(x例 1 讨论函数 (arctnfx的凸性与拐点.解 2)(1)f,因而当 0x时, ()0fx；当 时, ()0fx,从而函数 f为(,0上的凸函数,在 0,上为凹函数.而 在原点连续,故原点为曲线 ()yf的拐点例 2 若 f在 (,)ab内可导、凸（凹）函数,则 0(,)xab为 f的极小（大）值点 0()fx.即 0为 的稳定点.证 ）费马定理.）因 f凸,故 (,)xab有 00()()fxfx.因 0()fx,故 (,)xab总有0()fx.即 为 f的极小值点.例 3 设 f在开区间
11、 I上为凸（凹）函数 ,证明 f在开区间 I内任一点 0x都存在左、右导数.数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 7证 只证凸函数 f在 0x存在右导数,其它情形同理可证.令 120h,记 101xh, 202x,则 012x（取 2|h充分小使 02xhI）,由 (3)式得：010020()()(fxfxfhfxh记 00()()ffF)则有 21()Fh即 (h为单调递增函数.取 4xI且 40x,则004()()(fxffhf,从而 ()Fh递增有下界,从而 0lim()hF存在,即 0()fx存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为 .由第五章1 习题 10 知（若
12、 f在 0x的左、右导数都存在,则 f在 0x连续）,若 f在为开区间 (,)ab内的凸（凹）函数,则 为 (,)ab内的连续函数.（但不一定可导,如 ()|fx）三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen) 不等式) 设 f为 ,ab上的凸函数, ,ixab, 0i(1,2)nL且1ni,则有 11()()nniiifxfx（6）成立.若 f为严格凸函数, (1,2)ixnL不全相等,则上式严格不等式成立.证 用归纳法： n时命题由凸函数定义显然成立.假设 nk时命题成立,即数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 80i(1,2)kL, 1i，则有 11()()kki
13、iifxfx. 要证 n时命题成立 .设 0i(1,2,)kL,1ki11111()()()kk kiiik kixffxf （由归纳法可知,当 1ni, (,)iab时 1ni(,)ab,因为 1kii,故1kiix(,)ab）111)()kikikifxf111)()()kiikifxf1()iifx结论成立.注 由于 (6)式中当 时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时
14、 , 往往还用到所选函数的严格单调性.例 4 证明: 对 有不等式 .,Ryx )(21yxyxee例 5 设 0i(1,2)nL,则 121212 nnnxxxxLL当且仅当所有 ix全相等时等号成立 .证 所有 i全相等时,等号显然成立 .只须证 ix不全等时 ,有严格不等号成立即可.取 ()lnfx,则 f在 (0,)上严格凸,由例 4 知数学分析上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 9112 121ln(ln)l()ni nixxxxLL即 1212llnnL因 lnx严格增 ,故有 1212nnxxxL又 ix不全等 1ix不全等, 故1112ln(ln)li nii nxxxL所以 121nnixL例 6 在 中, 求证 .ABC23sisiCBA解 考虑函数 在xxfxxf sin . 0
