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1、第十四章 一次函数141 变量与函数(一)教学目标认识变量、常量学会用含一个变量的代数式表示另一个变量教学重点认识变量、常量用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教学过程提出问题，创设情境情景问题：一辆汽车以 60 千米小时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米行驶时间为 t 小时请同学们根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米在以上这个过程中，变化的量是_变变化的量是_试用含 t 的式子表示 s导入新课首先让学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它 1 小时行驶 60 千米，2 小时行驶 260 千米，即 12
2、0 千米，3 小时行驶 360 千米，即 180 千米，4 小时行驶 460千米，即 240千米，5 小时行驶 560 千米，即 300 千米因此行驶里程 s 千米与时间 t 小时之间有关系：s=60t其中里程 s 与时间 t 是变化的量，速度 60千米小时是不变的量这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间 t、里程 s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度 60 千米小时活动一每张电影票售价为 10 元，如果早场售出票 150
3、张，日场售出 205 张，晚场售出310 张三场电影的票房收入各多少元设一场电影售票 x 张，票房收入 y 元怎样用含x 的式子表示 y?在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律如果弹簧原长 10cm，每 1kg重物使弹簧伸长 05cm，怎样用含有重物质量 m 的式子表示受力后的弹簧长度？引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律结论：早场电影票房收入：15010=1500（元）日场电影票房收入：20510=2050（元）晚场电影票房收入：31010=3100（元）关系式：y=10x 挂 1kg 重物时弹簧长度： 105+10=105（c
4、m）挂 2kg 重物时弹簧长度：205+10=11（cm）挂 3kg 重物时弹簧长度：305+10=115（cm）关系式：L=05m+10通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable） ，那么数值始终不变的量称之为常量（constant） 如上述两个过程中，售出票数 x、票房收入 y；重物质量 m，弹簧长度 L 都是变量而票价 10 元，弹簧原长 10cm都是常量活动二要画一个面积为 10cm2 的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为 20cm2 呢？怎样用含有圆
5、面积的式子表示圆半径 r？用 10m 长的绳子围成矩形，试改变矩形长度观察矩形的面积怎样变化记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为cm 2怎样用含有 x 的式子表示？结论：要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出 S= r2 r=S面积为 10cm2 的圆半径 r= 178（cm）10面积为 20cm2 的圆半径 r= 252（cm）关系式：r S因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长 10cm 的一半，即5cm若长为 1cm，则宽为 5-1=4（cm）据矩形面积公式：14=4（cm 2）若长为 2cm，则宽
6、为 5-2=3（cm）面积 2（5-2）=6（cm 2） 若长为 xcm，则宽为 5-x（cm）面积 S=x（5-x）=5x-x 2（cm 2）从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式随堂练习购买一些铅笔，单价 02 元支，总价 y 元随铅笔支数 x 变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式一个三角形的底边长 5cm，高 h 可以任意伸缩写出面积随 h变化关系式，并指出其中常量与变量 解：买 1 支铅笔价值 102=02（元）买 2 支铅笔价值 202=04（元）买 x 支铅笔价值 x02=02x（元）所以
7、y=02x其中单价 02 元支是常量，总价 y 元与支数 x 是变量根据三角形面积公式可知：当高 h 为 1cm 时，面积 51=25cm 212当高 h 为 2cm 时，面积 52=5cm2 当高为 hcm，面积 5h=25hcm 212其中底边长为 5cm 是常量，面积与高 h 是变量课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义确定事物变化中的变量与常量尝试运算寻求变量间存在的规律利用学过的有关知识公式确定关系区课后作业1、 课后相关习题2、 思考：瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放试确定瓶子总数 y 与层数
8、x 之间的关系式过程：要求变量间关系式，需首先知道两个变量间存在的规律是什么不妨尝试堆放，找出规律，再寻求确定关系式的办法结论：从题意可知：堆放层，总数 y=1堆放层，总数 y=1+2堆放层，总数 y=1+2+3 堆放 x 层，总数 y=1+2+3+x 即 y= x（x+1）12板书设计1411 变量一、常量与变量二、寻求确定变量间关系式的方法三、随堂练习四、课时小结备课资料若球体体积为，半径为，则 3其中变量是_、_，4常量是_夏季高山上温度从山脚起每升高 100 米降低 07，已知山脚下温度是 23，则温度 y 与上升高度 x 之间关系式为_汽车开始行驶时油箱内有油 40 升，如果每小时耗
9、油 5 升，则油箱内余油量升与行驶时间 t 小时的关系是_答案： ;y=23 ;405t.111 变43.710x变量与函数(二)教学目标经过回顾思考认识变量中的自变量与函数 进一步理解掌握确定函数关系式会确定自变量取值范围教学重点进一步掌握确定函数关系的方法确定自变量的取值范围教学难点认识函数、领会函数的意义教学过程提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容导入新课首先回顾一下上节活动一中的两个问题思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间
10、存在什么联系活动一两个问题都有两个变量问题（1）中，经计算可以发现：每当售票数量 x 取定一个值时，票房收入 y 就随之确定一个值例如早场 x=150，则 y=1500；日场 x=205，则 y=2050；晚场 x=310，则 y=3100问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量 m 确定一个值时，弹簧长度 L就随之确定一个值如果弹簧原长 10cm，每 1kg 重物使弹簧伸长 05cm当 m=10 时，则L=15，当 m=20 时，则 L=20 再来回顾活动二中的两个问题看看它们中的变量又怎样呢？问题（1）中，很容易算出，当 S=10cm2 时，r=178cm；当 S=20cm2时，r=2
11、52cm每当 S 取定一个值时，r 随之确定一个值，它们的关系为 r= S问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，即可得出另一边长，再计算出矩形的面积如：当 x=1cm 时，则1（5-1）=4cm 2，当 x=2cm 时，则2（5-2）=6cm 2它们之间存在关系 S=x（5-x）=5x-x 2因此可知，每当矩形长度 x 取定一个值时，面积就随之确定一个值由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系我们来看下面两个问题，通过观察、
12、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图其中横坐标 x 表示时间，纵坐标 y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于 x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y，对于表中每个确定的年份（x） ，都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份 人口数亿1984 10341989 11061994 11761999 1252通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于 x 的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数y一般地，在一
13、个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量（independentvariable） ，y是 x 的函数（function） 如果当 x=a 时，y=b，那么 b叫做当自变量的值为 a 时的函数值据此可以认为：上节情景问题中时间 t 是自变量，里程 s 是 t 的函数t=1 时的函数值 s=60，t=2 时的函数值 s=120，t=25 时的函数值 s=150，同样地，在以上心电图问题中，时间 x 是自变量，心脏电流 y 是 x 的函数；人口数统计表中，年份 x 是自变量，人口数 y 是 x 的函数当 x=1999
14、 时，函数值 y=1252 亿从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系 活动一在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗？为什么？在计算器上按照下面的程序进行操作下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结果：x 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三、四两个键是哪两个键？y 是 x 的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有 x 的式子表示 y） 活动结论：从计算结果完全可以看出，每输入一个 x 的值，操作后都有一个唯五的 y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量、y 是 x 的函数
15、从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键，且每个 x的值都有1唯一一个 y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量，y 是 x 的函数关系式是：y=2x+1活动二例 1 一辆汽车油箱现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为 01L/km写出表示 y 与 x 的函数关系式指出自变量 x 的取值范围汽车行驶 200km 时，油桶中还有多少汽油？结论：行驶里程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数行驶里程 x 时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x仅从式子 y=50-01x 上看，x 可以取任意实数，但是考虑到 x代表的实际
