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1、哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218)摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符： VmpTH2/如果我们从波函数 出发，位置算符是空间矢量自身： )(r r它的分量是
2、 ， ， xyz动量算符表示为 hip它的分量是 ， ，xixyiyzipzh对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则 得到iVmH2h在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量 、 与直角坐标中独立变量 x、y 之间的关系：xyarctn2图 1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：sicoxxxy cossinyy哈密顿算子 在直角坐标中的表达式为：yxer据上述坐标之间的微分关系为：2222
3、22 )1()cos(sin)sin(co)( yx所以哈密顿算子 在极坐标中的表达式为：err1据哈密顿算子 的计算过程有：2)sin)(cosin(co)2 x2222 siiisincos 22 cocsncsin y所以拉普拉斯算子 在极坐标中的表达式 5为：或 221 221)(1所以极坐标下的哈密顿算符 可以表示成：H（1.1）Vm)1)(122h在极坐标下的动能表达式为： &T正则动量为： 和 &p2mTp得到哈密顿量为： （1.2）VH2在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足 的要求，如果仍将ijjiqh,相应的算符表示为： ， hip ip得到 （1.3）VmH)1
4、(22 通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是并非厄密算符，一个算符 F 满足 ，才是厄密算符。量子力学中表示力hip 学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以 不能作为动量算符的分量表示。i通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为（1.4）1)2(hiip现在把（1.4）式， 带入（1.2）式得到hi（1.5）VmmH2228)1(h比较（1.5）与（1.1） ，发现多了 项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄2密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。所以我们通过构造动量分量 的算符，在
5、经典力学中，径向动量就是动量的径向投p影，定义为 或 ，过渡到量子力学，由于 和 不对易，为了保证prrp径向动量算符是厄密算符，我们可以取 hrripp)(21这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。所以动量算符在球坐标系中的各分量为 ， 。iip2.2、柱坐标下的哈密顿算符柱坐标中独立变量 、 、 与直角坐标中独立rz变量 x、y、z 之间的关系zxyarctn2图 2 直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有： 2222 )(cos(sin)si(co)() zrrzyx 22)(1)(zr所以哈密顿算子 在柱坐标中的表达式为：zreer据哈密顿算子 的计算过程有：222222 s
6、incosincosinsico rrrrx2sin y。2z所以拉普拉斯算子 在柱坐标中的表达式为：2或 2221zrr221)(zrr所以柱坐标下的哈密顿算符 可以表示成：H（2.1）Vzrrm)(2 22h在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量 的算符，在经典力学中，rp径向动量就是动量的径向投影，定义为 或 ，过渡到量子力学，由于rpr和 不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取rp rirr h)(21其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在 Z 上的分量 。zp所以动量算符在球坐标系中的各分量为 ， ， 。ripripizh2.3、球坐标
7、下的哈密顿算符球坐标中独立变量 、 、 与直角坐标中独立变量x、y、z 之间的关系xyzxrarctn22 图 3 直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有： sincoscosinrrxiyrzsc利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子 在球坐标中的表达式eerrsin1根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为： 22222 sisicorrr或 2222 in1)(iin11 所以球坐标下的哈密顿算符 可以表示成：H Vrrrm sin1)(siin112 222 h然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到 prpr )si( 222在球坐标下，动量整体的算符
8、6表示 )in1( eeirh但是 和 都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。rihi1为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 rirppr h)(2这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。同理，可以构造 ， 是厄 tan21)(1iie sin1rp密算符，可以作为 的算符表示。p2.4、哈密顿算符的矩阵形式量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，我们对哈密顿算符 的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题H就是求解薛定谔方程： （4.1）E如果将波函数 看出是 n 个线性无关的波函数 的线性组合，即：),.21
9、(ni（4.2）iincc121.如果我们选取一组正交向量 ， ， 作为 n 维空间的一个基底， 从而 可以用向量形式表示出来，即： （4.3）),.(21c再将哈密顿算符 看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。不妨令：H（4.4） nnnaaaa.212211矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此， 经 变换H后，可得一新的向量。现令该新的向量为 ： Brniibb121),.(也就是：（4.5）niinnnnbBcaaaaH121212211. rM又因 是线性算符，故有：（4.6）niinn HccHcccH 12121 .).( 根据矩阵代数
10、可知，任一单位矢量 经 变换后所得的新矢量 一定可写成 ，ii 1， 的迭加形式，因此，可令：2n（4.7）inijjjj ddH121K),.21(nj那么式（4.6）便成为： （4.8）niijjdcH1对式（4.8）施以必要的代数运算： nijijinjiij cd11与式（4.5）进行比较，立即看出： njjiicdb1),.2(写成矩阵形式，即为： nnnn cddbMM21212121.再与式（4.5）进行比较，就得：或： nnnnnnddaaaa. 212211212211 ijijda若将式（4.6）两边左乘 并在整个空间积分，即得：i ddHnjijijiji . 21（4.
11、9）drnrijrnrji11注意到 ， 的正交、归一条件，即ir 时当 时当 ridirri 0那么式就变成： ijijii aH若积分 用符号 来代替，便有： dHiiij ijij根据式（4.9） ，即得出哈密顿算符 的矩阵形式为：nnnHH.2122113、哈密顿算符不同表达式的应用3.1、球坐标解法在中心力场中的应用自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。在量子力学中求解中心立场的问题时，通常选 作为),(2zlH守恒量完全集，用它们的共同本征态来对定态进行分类。对于能量本征方程 （1.1）ErV)(2h考虑到中心力场的球对称
12、特点，选用球坐标较为方便。已知球坐标下有： 2222 sin1)(sini11 rrr又因为 i)(isin 22hl两式带入（5.1）可得 或 ErVlr)(212h ErVlr)(212h上式左边第二项称为“离心势能” ，角动量越大则离心势能越大；第一项可表示为 ，21rp称为径向动能，其中 ，是径向动量。rrpip)1(h取 为 的共同本征函数，可得),(2zlH其中),(,mllYrRr）（ ll,.120方程中 为径向函数， 为角度方向函数，则本征方程变为)(rRl ),(ml mlmlYERrlVrd2222 )1(1 hh由此先不考虑角度方向的函数 ，则得到径向方程为,mlY0)1()(21 22 lRrlVErdh或其中 （1.2）)()(222lll rlrRd .2,l不同的中心力场 就觉定了不同的径向波函数，及其本征值。径向方程（1.2）不)V含磁量子数 。因此能量本征值与 无关。可以这样理解：由于中心力场的球对称性，粒mm子的能量显然与 轴的取向无关。但是其能量与角量子数 有关，在给定 的情况下，z ll，共有 个可能取值，因此，一般来说，中心力场中粒子的能ll,1.,)12(l级是 简并的。)2(为了求解方程，可令 rrRll)(代人方程（1.2） ，得（1.3）01)(22ll r
