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1、0山 东 英 才 学 院毕 业 论 文 设 计论 文 题 目： 微分方程数值解 二级学院 ： 计算机电子信息工程学院 学科专业： 计算机及应用 学 号： 姓 名： 班 级： 指导教师： 论文提交时间： 山东英才学院教务处制2011 年 3 月 1 日1毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目微分方程数值解选题时间 2010.11.20 完成时间 2011.3.9论文（设计）字数33840关 键 词 微分方程，周期解，边值问题论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：微 分 方 程 是 数 学 科 学 联 系 实 际 问 题 的 主 要 桥 梁 之 一 ， 它 是 含 有 未 知 函数 及 其
2、导 数 的 方 程 。 常 微 分 方 程 的 求 解 是 现 代 科 学 研 究 和 工 程 技 术 中 经 常 遇到 的 实 际 问 题 ， 然 而 ， 从 实 际 问 趣 中 建 立 出 来 的 微 分 方 程 往 往 具 有 非 常 复 杂的 形 式 ， 有 些 解 析 式 难 以 计 算 ， 有 些 则 根 本 不 能 用 解 析 式 来 表 达 ， 所 以 利 用数 值 解 法 叫 求 解 实 际 问 题 就 显 得 非 常 重 要 。论文（设计）的主要内容及创新点：如 果 未 知 函 数 的 自 变 量 是 一 个 ， 称 为 常 微 分 方 程 ;自 变 量 多 于 一 个 ，
3、称 为 偏 微 分 方 程 。 在 科 学 研 究 和 工 程 计 算 中 碰 到 的 许 多 微 分 方 程 ， 根 本 不 存在 解 析 解 ， 或 者 求 解 析 解 的 代 价 很 大 ， 求 解 过 程 过 于 复 杂 ， 在 这 种 情 况 下 ，我 们 只 能 借 助 于 数 值 计 算 来 求 方 程 的 数 值 解 。2附：论文（设计） 本人签名： 年 月 日目 录中文摘要5第一章 常微分方程的解6第一节 常微分方程的基本概念 6第二节 常微分方程的 12 步骤 10第三节 偏导数的方程 14第二章 递增方程的应用17第一节 递增数列17第二节 数列的极限20第三章 与积分有
4、关的数列的极限问题24第一节 积分的应用24第二节 单调定性的松弛法26第三节 松弛算法法的证明33第四章 简单的单步法及基本概念36第一节 解初值问题的梯形法36第二节 左矩形公式393第三节 隐式 Euler 方法 40第 4 节 预估 校正 Euler 方法 42参考文献454摘要：常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的。本文第一章讲述了常微分方程的发展历史，第二章介绍了一系列常微分方程的周期解和边值问题，说明了其研究现状，第三章举例说明了其在生态学和军事上的应用。无论在数学研究还是在自然科学以及其他应用科学，常微分方程都显现出其重要的
5、理论和应用价值。随着科学技术的发展和社会进步，常微分方程的理论和应用不断扩大和深入，其作用也越来越被人们所重视。在数学应用方面，它有着比通常导数更广泛的应用，对于导数不存在而对称导数存在的函数，我们就可以用对称导数研究此类函数的一些重要性质. 常微分方程研究的内容包括解的基本性质（如存在性、惟一性等） 、解的解析表达式或近似的解析表达式、解的定性性质以及解的数值解法。常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的。数学的其他分支的新发展如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响。关键词：微分方程，周期解，边值问题；5一 常微分方程
6、的解（一）：常微分方程的基本概念1常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求函数 ，满足bxay),( )2.1()(,aybxfdx其中 是已知函数， 是已知值。),(xf假设 在区域 上满足条件：,y ,),(ybxayD（1） 在 上连续；)(xf（2） 在 上关于变量 满足 Lipschitz 条件：,，2121)(),(yLyff 21,ybxa（1.3） 其中常数 称为 Lipschitz 常数。我们简称条件（1） 、 （2）的基本条件。由常微分方程的基本理论，我们有：定理 1 当 在 上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.1） 、),(yxfD（1.2）
7、对任意给定 存在唯一解 在 上连续可微。)(x,ba定义 1 方程（1.1） 、 （1.2）的解 称为适定的，若存在常数 和 ，y 0K对任意满足条件 及 的 和 ，常微分方程初值问题)()(azbxxfd)(),(,（1.4）6存在唯一解 ，且)(xz .)(Kxzy适定问题的解 连续依赖于（1.1）右端的 和初值 。由常微分方程的),(yxf基本理论，还有：定理 2 当 在 上满足基本条件时，微分方程（1.1） 、 （1.2）的解 是),(yxfD )(xy适定的。我们在本章中假设 在 上满足基本条件，从而（1.1） 、 （1.2）的解 存,f在且适定。一般的一阶常微分方程组初值问题是求解
8、（1.5）niay bxaiyxfdiii ,21,)( ,)L（15）的向量形式是)(),aybxyFdx（1.5）其中 .),(,)(,)(),(),)( 2111TnTnTn yxfyxfFxyx LLL 记 。2,ibaDi类似于定理 1 和定理 2，我们有：定理 3 若映射 满足条件),(yxF(1) 在 上是从 到 上的连续映射;),(yx1nR(2) 在 上关于 满足 Lipschits 条件;D任意。212121 ,),(),( ybayL则常微分方程组初值问题（1.5）存在的唯一的连续可微解 而且解 是适),(xy)(xy定的。高阶常微分方程初值问题一般为7（1.6）1,0,
9、)(),11niaydx dxaydxfi nnL其中 是给定多元函数， 为给定值。引进新的变量函数,uf naL,kbxaydxykk ,21,)()(1（1.7.）则初值问题（1.6）化成了一阶常微分方程组初值问题 niayyxfdy bxadxinn,21,)() )8.1(121LL通过求解（1.8）得到(1.6)的解 。)(1xy2.初值问题数值解基本概念初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。在 上引入节点 称为步ba, ),1(,:100 nkxhbxxaknnk LL长。在多数情况下，采用等步长，即 。记（1.1）,),0(,ahk(1.2)的为准
10、确解为 ,记 的近似值为 ,记 为 .。)(xy)(ky),kyxff求值问题数值解的方法是步进法，即在计算出 后计算 。数值的方法i1k有单步与单步法之分。单步法在计算 时只利用 而多步法在计算 时不仅要利用 还1kyky1kyky要利用前面已算出的若干个 。我们称要用到 的1,2,ljL11,lkL多步法为 步方法。单步法可以看作多步法，但两者有很大差别。 步方法只能用于l l的计算， 要用其它的方法计算；而且在稳定性上单性法比ky, 110,lyL的多步法容易分析；此外单步法容易改变步长。1l8单步法和多步法又都有显式方法和稳式方法之分。单步显式法的计算公式可写成),(1hyxykk（1
11、.9）隐式单步法的计算公式可写成),(11yxykkk（1.10）在(1.10)中右端项显含 。从而（1.10）是 的方程式，要通过解方程k 1ky求出 。1k显式多步法计算公式为),(11 hyxhykkk（1.11） 而隐式多步法计算公式为),)(111 yxylkkk L(1.12)右端项含 。多步法中一类常用方法是线性多步法1,110 lkfihyaliiliikk（1.13）其中 是独立于 和 的常数。 时（1.13）011.,llLLkf01是显式的， 时是隐式的。9（二）：常微分方程的 12 步骤我们常分 12 步，来说明微分方程的解法。包括一个自变量和它的未知函数以及未知函数的
12、微商的等式。运动着的物体的位置(x,y,z)是随时间 t 的变化而变化的。按牛顿运动定律,力等于质量乘加速度,它牵涉到 x、y、z 对于 t 的二阶微商, 这就可用常微分方程表示。例如，在大地上的自由落体运动，可以用下面的常微分方程来描述： (1)式中 g 是重力加速度，z 是铅直位置。 一般说来,如果 y 是自变量 x 的函数，则 y 的常微分方程可以表达为 (2) 式中 F 是它所依赖的 n+2 个变量的函数,n 为正整数。由自变量 x 的 n 个未知函数y1,y2,ym 的 m 个常微分方程 (3) 所形成的一组方程称为常微分方程组，其中 n1,n2,，nm 为非负整数。如果一个常微分方
13、程（组）关于所有未知函数及其各阶微商都是线性的，则称为线性常微分方程（组） ；否则，称为非线性常微分方程（组） 。如果能由(2)解出最高阶微商，则得到 10(4) 式中 是它所依赖的 n+1 个自变量的函数。这种就最高阶微商解出的微分方程,称为正规型微分方程；而称(2)为隐微分方程。任一正规型微分方程(4)与微分方程组 是等价的，因此(4)总可以化成一个与之等价而形如(5) 的正规型方程组。对于微分方程组(3),也有上述相似的结果，即任一正规型微分方程组也可化为等价的而形如(5)的正规型方程组。 满足常微分方程的函数称为常微分方程的解，也就是说,对方程(2),如果有函数 (x),在 x 轴的某区间 I 上有定义,具有从 1 阶到 n 阶的微商 且满足 对所有 xI,则称 (t)为方程(2)在区间 I 上的解。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。质点动力学是这个阶段研究的问题的主要来源之一。例如牛顿建立了太阳系行星运动方程 11(6) 并求出其通解的显式解析表达式。这里 t 是时间,R(t)=(x(t)，y(t)，z(t)是以太阳为原点的直角坐标系中行星的位置，G 是万有引力常数，M 是太阳质量。 这个阶段主要是求常微分方程的通解，亦即对于方程(2)求含有 n 个任意常数c1
