《2016版高考数学二轮：2.4《导数的热点问题》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016版高考数学二轮：2.4《导数的热点问题》ppt课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4讲 导数的热点问题 丏题二 函数与导数 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 (2014 课标全国 ) 设函数 f ( x ) a x b 1x，曲线 y f ( x )在点 (1 ， f ( 1) 处的切线方程为 y e( x 1) 2. (1)求 a， b； 解 函数 f(x)的定义域为 (0， )， f ( x ) a e x ln x ax 1 bx 1 . 由题意可得 f(1) 2， f (1) e.故 a 1， b 2. (2)证明： f(x)1. 证明 由 ( 1) 知， f ( x ) e x ln x 2x 1 ， 从而 f ( x ) 1
2、等价于 x l n x x e x 2e . 设函数 g(x) x， 则 g (x) 1 ln x. 所以当 x (0 ， 1e ) 时， g ( x ) 0. 故 g ( x ) 在 (0 ，1e ) 上单调递减， 在 (1e ， ) 上单调递增， 从而 g ( x ) 在 (0 ， ) 上的最小值为 g (1e ) 1e . 设函数 h ( x ) x e x 2e ， 则 h (x) e x(1 x) 所以当 x (0,1)时 ， h (x)0； 当 x (1， )时 ， h (x)0时 ， g(x)h(x)， 即 f(x)1. 考情考向分析 利用导数探求函数的极值 、 最值是函数的基本
3、问题 ，高考中常与函数零点 、 方程根及不等式相结合 ， 难度较大 . 热点一 利用导数证明不等式 热点分类突破 用导数证明不等式是导数的应用之一 ， 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 ， 以及构造函数解题的能力 例 1 已知函数 f(x) ln x x 3. (1)求函数 f(x)的单调区间； 解 f ( x ) x 1x ( x 0) 解 f (x)0得 x (1， )；解 f (x)0； 证明 f(x) ln x x 3， 所以 f(1) 2， 由 (1)知 f(x) ln x x 3在 (1， )上单调递增 ， 所以当 x (1， )时 ， f(x)f(1) 即 f(x
4、) 2， 所以 f(x) 20. (3) 求证：2 3 4 ln nn f(1)， 即 ln x x 10， 01 时， f ( x ) 时， f ( x ) 时 ， h (x)0， 函数 h(x)在 (1， )上单调递增 ， 故 h(x)h(1) 当 x1时 ， g (x)0， 即函数 g(x)在 (1， )上单调递增 ， 故 g ( x ) g ( 1) 12 . 因此，当 x 1 时， k 0 得 x 12 . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ，12 ， 递减区间为12 ， . 所以 f ( x ) m f 12 12e c . (2)讨论关于 ln x| f(x)根的个数 解
5、由已知 |ln x | f ( x ) 得 |ln x | x c ， x (0 ， ) ， 令 g ( x ) |l n x | x ， y c . 当 x (1 ， ) 时， ln x 0 ，则 g ( x ) x x . 所以 g ( x ) 1x 2 x 1e 2 x 0. 所以 g(x)在 (1， )上单调递增 当 x (0 ,1) 时， ln x 1x0， 所以e 2 1e 2 时，方程 |ln x | f ( x ) 根的个数为 2. 思维升华 (1)函数 y f(x) 可转化为函数 y f(x)和直线 y (2)研究函数 y f(x)的值域 ， 不仅要看最值 ， 而且要观察随
6、跟踪演练 2 已知函数 f(x) ln x ax(a R) 若函数 f(x)无零点 ， 求实数 解 函数 f(x)无零点 方程 ln x 即ln a 在 (0 ， ) 上无实数解 令 g ( x ) ln 则 g ( x ) 1 ln ， 由 g (x) 0， 得 x e. 在区间 (0， e)上 ， g (x)0， 函数 g(x)单调递增； 在区间 (e， )上 ， g (x)1e ， 即所求实数 a 的取值范围为 (1e ， ) 热点三 利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约 ， 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 ， 建立目标问题即关于这个变量
7、的函数 ， 然后通过研究这个函数的性质 ，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 例 3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 ) 设该蓄水池的底面半径为 高为 体积为 假设建造成本仅与表面积有关 ， 侧面的建造成本为100元 /平方米 ， 底面的建造成本为 160元 /平方米 ， 该蓄水池的总建造成本为 12 000元 (为圆周率 ) (1)将 (r)， 并求该函数的定义域； 解 因为蓄水池侧面的总成本为 1002200 底面的总成本为 160 所以蓄水池的总成本为 (200160 又根据题意得 20016012 000， 所以 h 15 r (3 00 4 ， 从而 V ( r
8、 ) r 2 h 5 (300 r 4 因为 r 0 ，又由 h 0 可得 r 0， 故 V(r)在 (0,5)上为增函数； 当 r (5,5 3 ) 时， V ( r )0. s m i n s (13 ) 32 33 . 答案 32 33 高考押题精练 已知 f ( x ) ln x ， x (0 ， e ， g ( x ) ln 中 e 是自然常数， a R . (1)讨论 a 1时 ， 函数 f(x)的单调性和极值； (2) 求证：在 (1) 的条件下， f ( x ) g ( x ) 12 ； (3)是否存在正实数 a， 使 f(x)的最小值是 3？ 若存在 ， 求出 不存在 ， 请
9、说明理由 押题依据 函数的单调性 、 极值 、 最值是导数的典型应用 ， 不等式证明体现了转化与化归的思想 ， 是高考的必考点 (1) 解 f ( x ) x ln x ， f ( x ) 1 1x x 1x ， 当 00时 ， 此时 f(x)单调递增 f(x)的极小值为 f(1) 1. (2)证明 f(x)的极小值为 1， f(x)在 (0， e上的最小值为 1， 即 f(x)1. 又 g ( x ) 1 ln ， 当 00， g(x)在 (0， e上单调递增 g ( x ) m g (e ) 1e 12 ， 在 (1) 的条件下， f ( x ) g ( x ) 12 . (3)解 假设存在正实数 a， 使 f(x) ln x(x (0， e)有最小值 3， 则 f ( x ) a 1x 1x . 当 01a e 时， f ( x ) 在 ( 0 ，1a ) 上单调递减， 在 (1a ， e 上单调递增， f ( x ) f (1a ) 1 l n a 3 ， a 满足条件； 当1a e 时， f ( x ) 在 (0 ， e 上单调递减， f ( x ) f (e ) a e 1 3 ， a 4e ( 舍去 ) ， 所以 ， 此时 f(x)无最小值 综上 ， 存在实数 a 使得当 x (0， e时 f(x)有最小值 3.
