《【苏教版】数学必修五：3.4.2《基本不等式的应用》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【苏教版】数学必修五：3.4.2《基本不等式的应用》ppt课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 本不等式的应用 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 情 景 导 入 在实际工作和生活中 ， 有一类求最值的问题需要我们解决如 ，某集团投资兴办甲、 乙两个企业 ， 1998 年甲企业获得利润 3 2 0 万元 ，乙企业获得利润 720 万元 ， 以后每年企业的利润：甲企业以上年利润的 1 . 5 倍的速率递增 ， 而乙企业是上年利润的23， 预期目标为两企业年利润之和是 1 6 0 0 万元 ， 从 1 9 9 8 年年初起 ， 问：哪一年两企业获利之和最小？ 事实上：从 1 9 9 8 年起 ， 第 n 年获利为 3 2 0 32n 1 720 23n 1( n N*) 这个函数的最
2、小值问 题将如何解决呢？学习了本节内容后 ，此问题就能比较简单地解决了 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 课 标 点 击 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 1 进一步理解掌握基本不等式 ， 会用基本不等式证明不等式 ， 会用基本不等式求某些函数的最值 ， 能解决一些简单的实际问题 2 培养创新精神和理论与实践相结合的科学态度 ， 培养对数学的应用意识 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 要 点 导 航 知识点 1 基本不等式及其注意问题 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (1 )a a 与 b 的算术平均数 ， 两个正数的几何平均数 ， a a 与 b 的几何平均数不大于
3、算术平均数此性质可推广到三个及三个以 上的情况 注意熟悉和掌握下列结论： 3 a a 、 b 、 c R) ； a b a b c ( a 、 b 、 c R) 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (2 ) 对于基本不等式 2 a 要明确它们成立的条件是不同的前者成立的条件是 a 与 b 都为实数；而后者成立的条件是 a 与 b 都为正 实数，如 a 0 ， b 0 ， 仍然能使a 立 两个不等式中等号成立的条件都是 a b . (3 ) 运用两个重要不等式解题时 ， 要学会应用它们的变式灵活地解题 ， 例如 2 变形为 2 b 0时 ，b 2 a ， 2 0) 等又如a 变形为a a (
4、 a b )2 4 知识点 2 应用基本不等式求最值 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (1 ) 当 a 0 ， b 0 且 a b 为定值时 ， 有 a b 2 定值 ) ， 当且仅当 a b 时 ， 等号成立 ， 此时 a b 有最小值； 当 a 0 ， b 0 且 a b 为定值时 ， 有 a 定值 ) ， 当且仅当 a b 时 ， 等号成立 ， 此时 最大值 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 说明：基本不等式具有将 “ 和式 ” 转化为 “ 积式 ” ， 或将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能在使用基本不等式求最值时 ， 必须具有三个条件： 在所求最值的代数式
5、中 ， 各变量均应是正数； 各变量的和或积必须 为常数 ， 以确保不等式一边为定值； 等号能取到以上三个条件简称为 “ 一正、 二定、三相 等 ” ，它在解题中具有双重功能，既有条件的制约作用，又有解题的导向作用 另外 ， 使用基本不等式证明问题时 ， 有时要反复使用它们 ， 然后再相加或相乘 ，这时字母应满足多次使用基本不等式中的等式一致成立的条件若不一致 ， 则不等式中的等号不能成立 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (2 ) 利用基本不等式a a ， b 均大于 0) 求最值 ( 值域 ) 时 ，必须具备 “ 一正、二定、三相等 ” 的条件如果 “ 相等 ” 条件不具备就可能造成错
6、解为了解决这 个问题 ， 我们引进一个函数 f( x ) x ax(a 0) ， 利用它的单调性来完善上述解法的不足 ， 作为使基本不等式“ 完美 ” 的补充 命题：函数 f( x ) x ax(a 0) 在区间 ( ， a ， a ， )上为增函数 ， 在区间 a ， 0 ) 和 (0 ， a 上为减函数 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明：设 则 f( f( a1x1 a) 当 ， a ( 或 a ， ) 上时 ， 有 a ，且 0 ， 故 f( f( ， 所以 f( x ) 在上述区间上为增函数； 当 a ， 0) 或 (0 ， a 上时 ， 有 0 a ， 且 0 ， 故 f
7、( f( ， 即 f (x ) 在上述区间上为减函数 函数 f(x ) x ax(a 0 ) 的大致 图象如上图 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 典 例 解 析 题型 1 用基本不等式证明 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 例 1 若 a ， b ， c 0 ， 求证：12a12b12c1a b1b c1c a. 分析 ： 由于式子是关于 a 、 b 、 c 对称的 ， 若将12 得不出要证明的结论 ， 因此去证明 14a14b14b14c14c14a1a b1b c1c a. 证明 ： 因为 (a b)1a1b 2 214 ， 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 所以14a
8、14b1a b. 同理：14b14c1b c，14c14a1a c. 三式相加即可证明结论 名师点评 ： 用基本不等式证明不等式时 ， 要注意等号是否取到的条件 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 变式迁移 1 已知 x 0 ， y 0 ， 且 x y 1 ， 求证： 8. 证明： 2两边同时加上 ( (， 又 2 两边同时加上 2 ( (x y)2 x y ）22， 由 即得 212218， 8. 题型 2 用基本不等式求最值 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 例 2 a 0 ， b 0 ， a b 4 ， 求a 1b 1 分析 ： 利用基本不等式求最小值 解析 ： a b 4 ，
9、 (a b)2 2 16 2 a b. 又 2 a b ， 16 2 2 a b ， 即 4. a 1b 1a 1a b 14 44 4422252. 故a 1b 1 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 名师点评 ： 本题易出现如下错解：a 1b 12 a 12 b 14 4 8 ， 故a 1b 1. 错误的原因是 ， 在两次用到重要不等式当等号成立时 ， 有 a 1和 b 1 ， 但在 a b 4 的条件下 ， 这两个式子不会同时取等号 ( a 1 时 ， b 3) 排除错误的办法是看同时取等号 时 ，与题设是否有矛盾 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 变式迁移 2 ( 2 0 1
10、 3 山东卷 ) 设正实数 x ， y ， z 满足 3 4z ， 求当y2 解析 ： 由 3 4z 得3 4 13123 1. 当且仅当即 x 2y 时取等号 ， 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 此时 z 2y2，. 2x1y2z22y1y2y 1 1x2y 1 12y 4 12y 1 12y 4 12y1 121. 2x1y2( 此时 x z 2 ， y 1) 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 例 3 已知 x 0 ， y 0 ， 且9x1y 1 ， 求 x y 的最小值 分析 ： 解答本题有以下三种思路： 整体运用条件 ， 充分利用 “ 1 ” ； 消元 ， 化二元问题为一
11、元问题； 对条件进行适当变形 ， 构造积为定值 解析 ： 方法一 x y (x y)9x1y 10 9yx 10 29yx1 6 . 当且仅当9yxy 1 时 ， 即 x 12 ， y 4 时取 “ ” 号 当 x 12 ， y 4 时 ， x y 有最小值 16. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 方法二 9x1y 1 ， y 9. x y x 9 x x 9 9x 9 (x 9) 9x 9 1 0 . x 0 ， y 0 ， y 9 0. x 9 0. (x 9) 9x 9 2 （ x 9 ） 9x 9 6 ， 当且仅当 x 9 9x 9， 即 x 12 ， y 4 时 ， 取 “ ” 号 当 x 12 ， y 4 时 ， x y 有最小值 16. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 方法
