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1、 类讨论型综台题 在中考中的命题特点(上) 始湖北省襄樊市第19中学韩春见 如果一个命题的题设和结论有多种可能性，难以统一 解答，就需要按可能出现的各种情况分别加以讨论，一一作 解，得出各种情况的相应结论，最后综合归纳出问题的正确 答案这种解题方法叫做分类讨论法 分类讨论作为一种重要的解题方法，与其相关的试题 是中考命题的热点由于要用分类讨论法解答的数学题目， 往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学 生的数学能力，又能考查学生的思维能力，几乎在全国各地 的中考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论 题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论 分类讨论实质是将整体问题化
2、为若干个部分来解决， 化成部分后增加了题设的条件，从而将问题解答等进行到 底常采用“化整为零，逐个击破，再积零为整”的数学策 略本文通过对典型中考题的归纳分析，总结出中考中需 要分类讨论的几种情况及解题对策 一、与数学概念、定义有关的分类讨论题 例1：(2009年安徽省)已知二次函数的图像经过原点 及点(一 ，)，且图像与 轴的另一交点到原点的距离 Z f 为1，则该二次函数的解析式为 分析：所谓图像与 轴的另一交点到原点的距离为1， 实质是二次函数图像与 轴的另一交点坐标为(一1，0)或 (1，0)故分两种情况来求该二次函数的解析式 解：设该二次函数为y=ax2+bx+c 图像与 轴的另一交
3、点到原点的距离为1， 该二次函数图像与 轴的另一交点坐标为(一1，0) 或(1，0) (1)当该二次函数图像与 轴的另一交点坐标为 (-1，0)时， 把x=O时y=O， 一1时y=O， 一 1时y= 代入y= 二 叶 ( +6 +c得。 _ 11 1 1 Lc=o0一 J0- c=0， 解得I6：， I_4 6+c= 把 =0时y=0， 一1时y=o， 一丢时，=一代入 丢解悸th=1 1 叶 c=o， 解得 1 y：一 2+一 I +c=丢 I一：。_ ，= ，y=一 1 2t 1一 三：1无解，则 分析：由于分式方程的问题往往转化为整式方程的问 题来解决，故先去掉分母整理可得(叶2)x=3
4、要使该关于 的分式方程无解，则存在方程(n+2)x=3的根是增根，或方 程(叶2)x=3本身无解两种情况 解：由 ( 一1)-0，可得x-O，或 =1 把原分式方程去分母可得， ( a)一3(X-1) ； ( 一1) 里龙江数 中学教学聋例5研竞 峨憨 整理得，(叶2)x=3 (1)当x-O时，(叶2) =3不成立，舍去 (2)当x=l时，a+2=3a=1 (3)当关于 的方程(叶2)x=3无解时， 则a+2=0 n=一2 综上可知，a=l或一2 评注：(1)分式方程无解是中考常考的问题，它包括以 下两种情况：一是分式方程去掉分母后所得的整式方程的 解是增根；二是分式方程去掉分母后所得的整式方
5、程无 解由此可以看出分式方程无解与分式方程有增根并不相 同，应注意其区别与联系 (2)不理解概念很容易造成漏解，做到不重不漏才能 准确解决这类问题 二、数学定义、定理、公式适用范围的分类讨论题 例3：(2008年湖南省)当rn是什么整数时，关于 的 一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4mx2-4m一5=0的根 都是整数 分析：本题要求两个一元二次方程的根都是整数，首先 应根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零(这也是 学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误，应引起重视)； 其次是有根，则62_4cI0通过以上两点就可确定n的取 值范围最后再由rn是整数，在m的范围内找出m的值，
6、并验证两个一元二次方程的根都是整数 解：由于给出的关于 的方程是一元二次方程， 二次项系数不为零，即mO 又由于方程均有实根，由方程， 2-缸+4-0，得b-4ac= (一4)24ra，40，解得m1 由方程x2-4rnx+4m2-dm一5=0，得b一4ac=(一4m)2 4 1(4m m一5)0，解得m一 f C 一 m1，且m0 4 又m是整数m一1或1 当m=一1时 方程，础2-缸+4=0可化为 +缸-4=0， 解这个方程可得，X-一22、2， 方程rgl,x 一缸+4=0的根不是整数， 故m=一1舍去 当m=l时， 方程m,x,2乱+4：0可化为 缸+4=0， 解这个方程可得， ，-X
7、 =2； 方程x2-4mx+4m 一4m一2：0可化为 一4x一2=0， 解这个方程可得， =5， ：一1 由以Et寸论知，n=1时，元二jC方程mx一4 +4=0 与 24，眦+4m24m一5=0的根都是整数 评注：本题虽然是一道分类讨论题，但问题中还涉及到 利用判别式列不等式(组)并求出未知数取值范围，尤其是 对一元二次方程二次项系数的考查，更是抓住了学生的易 错点在中考的复习过程中，有意识地训练这类问题，不仅 能培养学生分类讨论的思想，更重要的是，它能培养学生细 心、耐心的品质，养成全面分析问题和解决问题的习惯 三、图形位置关系需要进行讨论的分类讨论题 例4：(2009年齐齐哈尔市)已知
8、相交两圆的半径分别 为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是 _。H-_。一 分析：由于题目没有指明两圆的圆心与公共弦的位置 关系，故要分两圆的圆心在公共弦的同侧和两圆的圆心在 公共弦的两侧两种情况来讨论 图1 图2 解：设0D 的半径为5cm，0O 2的半径为4 am，0D 与6)0 的公共弦AB=6 cm连接A0 、A0 ，作直线0 0 交弦A 于点c，则o 0 lAB， c_ 告6=3(cm) (1)当630 与0 的圆心0。、0 在弦AB的两侧时 (如图1)， 在RtAACOt中，AC+CO12-_A0l ， CO1=、 OI c2=4(cm) 在RtAACO2中，AC
9、2-4-CO=A02， 里龙；数考中学毅擎兽彬4 5研究 嬉熬 CO：=、 =、了(cm) 01D2=4+、7(cm) 当00。与。 的圆 0。、0：在弦AB的侧时(如图2)， 由(1)可知，CO =4cm，c0 、丁cm， 0102=4一 7(cm) 综合可知，这两个圆的圆心距是(4、了)cm 评注：这是一道比较基础却很典型的分类讨论题，关键 是要注意两圆的圆心与公共弦的位置关系 例5：(2008年江苏省)在AABC中， 一25。，AD 是BC边上的高，并且AD =BDDC，则_BCA的度数为 _-_一_ 分析：由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点 D是在边BC上，还是在边BC的延长线
10、上，故要分点D在 边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论 B D 图1 C 图2 D C 解：如图1，当点D在边BC上时， AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC， = ，LADC=LADB=90。， ADC-BDA，_ CAD=LB=25。， LBCA=90。一 CAD=90。一25。=65。： 如图2，当点D在BC的延长线上时， AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC， ： ，LADC=LADB=90。， ADC一BDA_ CAD=LB=25。， 曰CA= D+ ( D-=-90。+25。=115。 由、可知，LBCA的度数为65。或115。 评注：这是一道非常容易出错的题目，很多学
11、生由于看 惯了图1所示的图形而漏解 从以上两题可以看出：一些难度并不很大的题目频频 出现错误，很多时候就是由于缺乏对图形间位置关系的认 识，盲目画图，以一概全，不进行分类讨论才导致的这就要 求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养， 通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知 识尤其是数学方法的理解，才能对这类问题迎刃而解 四、问题条件模糊需要进行讨论的分类讨论题 例6：(2008年四川省)已知关于 的函数 =(口 +3叶2)X2+(叶1) + 1的图像与 轴总有交点求口的取 斗 值范围 分析：函数图像与 轴总有交点，就是当)，=0时方程 总有实根，由于题中未明确指出是一次
12、函数还是二次函数， 因此应分两种情况讨论 解：当a2+3a+2-0时，a一1或a-一2， 当 一1时，则函数可化为 ， 与 轴无交点，故舍去； 当0=一2时，则函数可化为y： +， 叶 与 轴有一个交点 当+3叶20(即一1且0一2)时，函数 ( +3叶2) +(叶1)卅 1为二次函数 4 若该函数的图像与 轴总有交点，则6乙40cI0， (叶1)2_4(a2+3a+2) 10， 斗 解这个不等式，可得n一1 0一1且0一2， 当口一1且一2时， 该二次函数的图像与 轴有两个交点 综合、可知，当Ct一1时， 此函数的图像与 轴总有交点 评注：本题之所以要分类讨论，是因为问题中并没有说 明关于
13、的函数，=(0,2+3a+2) -4-(0+1)卅是一次函 -t 数还是二次函数，所以要分一次函数和二次函数两种情况 来讨论 五、涉及运动时间变化的分类讨论题 例7：(2009年宁夏回族自治区)已知如图1：等边三 角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在 AABC的边AB上沿AB方向以1厘米秒的速度向B点 运动(运动开始时，点 与点 重合，点到达点曰时运 里龙i；敖 中学教学兽例5研究 凌蕊 动终止)，过点M、N分别作AB边的垂线，与AABC的其 他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒 M N 图1 Q _ A M D N B 图2 (1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边
14、形 P洽为矩形?并求出该矩形的面积； (2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积 为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积|s随运动时 间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 分析：对于第(2)问，此题涉及了3个层次的分类讨 论，即点P、Q的位置与边AC、BC的位置关系：当点P、Q同 时在AC上时，Of1；当点P在边Ac上，点Q在边BC 上时，1t2；当点P、Q同时在点BC上时，2t3 图3 M N B 图5 图4 0 ll llll 解：(1)过点C作CD上AB，垂足为D如图2，则AD=2， 当MN运动到被cD垂直平分时，四边形MNQP是矩 形，即A 吾时，四边形 是矩形，
15、=吾秒时，四边形 MNQP是矩形 PM=AMtan60。=寻 ， 边形 ：寻 ， (2)当Ot1时，如图3， s呦形 =-(PM+QN)。MN =丢 件 ( )】 = H丁V3- 当11时，如图4， s日边 = 1(PM+QN)MN =丢 t+(3 )。1 =吾 当2t3时，如图5， Szr = 1(PM+QN)。MN =丢 (3一)+v3-(4一)】 一 H 评注：解运动型问题首先要弄清运动元素(如点、线 段、直线、多边形等)的运动状况：起点、终点、方向、路径、 速度等，然后抓住动点运动的某一瞬间，“以静制动”，画出 此时的几何模型图，再根据基本的相等关系把运动问题转 化为一般问题，从而找到量与量之间的关系解题时要切 实把握几何图形运动过程，注意运动过程中的特殊位置，在 “动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律如本题 MN在运动的过程中，P、Q的位置与边AC、BC的位置关系
