第十二章数学中蕴涵的美学思想

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1、第十二章 数学中蕴涵的美学思想,第一节 数学美的涵义,第二节 数学美的特征,退出,一、数学家论数学美,二、数学美的涵义,一、简单美,二、 对称美,三、和谐美,四、奇异美,第三节 感受数学美,第四节 数学美在中国的源头,一、美观-外在的美,二、美好-内在的美,三、美妙-快乐的美,四、完美- 至善至美,一、太极八卦-中国象数学的美,二、河图洛书数学形式美的雏形,第一节 数学美的涵义,一、数学家论数学美,古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。”,古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他认为

2、“万物最基本的元素是数，数的和谐-这就是美。”,返回,庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”,克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”,高斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我研究的主要动力。”,返回,二、数学美的涵义,返回,返回,返回,第二节 数学美的特征,返回,一、 简单美,简单性，在数学中普遍存在。

3、数学中的每个概念，都是经过人们精心“雕琢”得到的，是人类智慧的结晶，数学就是以它的这种独特的“简”来展示它的美的。 简单性是数学美的本质之一 。数学是客观的数量关系和空间形式的高度抽象和概括，而经过不同程度的抽象后，所得出的数学形式和结构总是在不同的范围内呈现出简单的形态，简单性可用图表示。,返回,简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用,才有极强的生命力。 简洁的阿拉伯数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保留并

4、广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音,运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。,符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的符号去表现复杂的数学内容。,返回,在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号,用今天的符号表示即：,宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究，当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式 412x2x +136 其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。,返回,16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直到笛卡尔才第一个倡用x,

5、y, z表示未知数。 他曾用 xxx9xx +26240表示方程 x39x2 +2624 = 0 这个演变过程就是对简单美的追求过程。,返回,如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数学符号却能精确地表示它们。,有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊字母来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无理常数欧拉常数,返回,2. 形式简单,艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。,返回,数学家们也十分注重

6、数学的形式美，美国数学家柏克提出了一个公式 审美度= 即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比，与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的表现形式越简单就越美。,格林公式,斯托克斯公式,返回,空间解析几何中,椭球,椭圆抛物面,它们不仅便于记忆，而且具有形式美。,返回,球,3. 语言简单,数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。,如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。,数列极限,函数极限,导数概念,返回,4. 方法简单,数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式，并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结

7、果。,例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们都有一个共同的不足，就是不能判别当极限值 时级数的敛散性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。,比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法,设,则 当 r1时，级数 收敛； 当 r1时，级数 发散。,返回,然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗日型余项,其中 在x与x0 之间。,返回,又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)罗赫(Roche)余项，柯西余项和拉格朗日余项等。 在整体性余项中

8、，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而，从整体性考虑，前一种余项更完美。,拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便。从审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。,对称是指一个整体的几个部分或几个整体在构成上的比为1时，作为协调的特例，给人以平衡感，从而作为审美对象使人产生对称美的感觉。在数学上一般指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结构的对偶、对应、对逆等。 几何图形中的对称图形是典型的视觉对称美，平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、平面空间图形的面对称等都是这种典型。而既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴的平面图形是圆，既是中心对称而且所有过对称中心的平面都

9、是对称平面的立体图形是球。 毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”就是它们达到了“全”对称的原因。,返回,二、 对称美,1. 形式对称,解析几何中的标准图形,返回,代数中二项式的展开，呈现出的也是一种对称：,返回,返回,返回,对称多项式,对称行列式:,对称矩阵 ：,返回,微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程,空间曲面S ：F(x, y, z) = 0的法线方程,导数的运算法则,返回,2. 关系对称,运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等；,概念的对称：函数与反函

10、数、奇与偶、单增与单减、连续与间断、收级与发散等；,命题的对称：,返回,“共轭”关系对称性：,共轭无理数,共轭矩阵,共轭积分,返回,返回,“对偶”关系对称性：,集合中的对偶关系,线性规划中的对偶关系,返回,由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对偶规划问题(*)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值相等。反之也成立。,返回,返回,例 有A、B、C、D、E五个人站成一横排，如果B必须站在A右边(A、B可不相邻)，有多少种不同站法?,例 求 展开式中的整数次幕各系数的和。,三、和谐美,数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在的联系或共同规律，从而形成

11、本质上的严谨与统一。,和谐指事物之间具有匀称、有序、明确的变化规律。,1. 严谨是和谐的基础,数学的严谨自然显现出它的和谐。为了追求严谨，消除数学中的不和谐因素，数学家们一直在努力。,数学史上所谓的“数学危机”正是某些数学理论不和谐所致。,返回,第一次危机-无理数的诞生。,第二次危机-实数理论得以建立, 导致集合论的诞生。,第三次数学危机-“罗素悖论”和其它悖论的产生，为了避免悖论，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一种公理系统，后经弗兰克尔(Fraenkel)在1921年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。,函数的连续性，是当今数学中的一个重要基本概念，

12、然而它的现代定义的形成，也经历了一个从不和谐到和谐的漫长过程。,18世纪，数学家欧拉认为，由一个单独表达式给出的函数是连续的，而由几个表达式给出的函数是不连续的。例如, 欧拉函数,返回,是不连续的，而由两个分支组成的双曲线(反比例函数)，因为它是由一个表达式 给出的，就认为它是连续的。,19世纪，傅立叶证明：定义在某个区间上的任意函数可表示成该区间上的正弦与余弦的无穷级数。 比如，,返回,可表示为,这样一来，上述函数依照欧拉的见解既不是连续的，同时又是连续的。,1821年，柯西对“连续”概念重新叙述，直至1850年魏尔斯特拉斯给出“形式” 的定义，才使得“连续”这一概念有了新的解释。,2. 统

13、一是和谐的标志,统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节与章节之间客观存在的相互联系。,返回,解析几何中, 引入极坐标之后，椭圆、双曲线、抛物线统一于公式,平面上的二次曲线方程,由于系数A, B, C, , F不同，其形态万千，但是欧拉通过坐标变换，将它们化为下面九种标准形状:,返回,可描绘椭圆、抛物线和双曲线，描绘天体运动和万有引力场中运动物体的轨迹,(双曲线),(两虚直线相交),(虚椭圆),(椭圆),返回,(两重合直线),(两平行虚直线),(两平行直线),(抛物线),(两相交直线),返回,在积分学中，不定积分与定积分是两个截然不同的概念，但在微积分基本公式,之中得到和谐统一, 从

14、而极大地推动了微积分的应用与发展。,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分，它们表述的实际意义各不相同，但却都统一于黎曼积分之中。,各类积分之间都有着内在联系 ：,返回,返回,四、奇异美,奇异指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人既惊奇又赞赏与折服。,徐利治先生说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”,返回,一性的升华，而新的和谐统一性又是奇异性的进一步发展。,返回,在数学史上曾吸引人们广泛关注的有“蝴蝶定理”。,1815年，数学家奥纳首先解决了这个问题的证明。但由于它优美的外形及包含的深刻内涵，引起了人们广泛的兴趣，100多年来研究者众多，给出了不少初等与高等的证明，其中被公认为最奇妙

15、的证明是1973年由斯特温等人给出的。,蝴蝶定理：若过圆O中AB弦的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P，Q，则PM = MQ。,证明：由图所示，圆内共有四对相等的角 。,设 PM = x , MQ = y, AM = MB = a, 则有,化简得,返回,由相交弦定理知,故有,因x, y都大于0, 上式仅在x = y, 即PM = MQ时成立。,上述证明中没有添加任何辅助线，证明过程简明、匀称，好优美漂亮！,返回,高等数学中这种“离经叛道”的奇异现象，随处可见。,比如，人们长期以为，周期函数一定存在最小正周期, 然而狄利克雷函数,是周期函数，但不存在最小正周期。,实数轴上的有理点与无理点都是处处稠密的，然而无理点却比有理点多得多。,洛比达(LHospital)法则是求未定式极限的锐利武器, 但它对极限,返回,却无能为力。,在不定积分中，有些看上去非常简单的函数，却“积”不出来：,在欧拉公式,代入 , 得,人们把这5个常数戏称为数学中的“五朵金花”。,返回,巧妙的联系起来了,第三节 感受数学美,如何在数学教学过程中展现数学美，让学生在数学学习中能够感受和欣赏数学美，张奠宙教授认为，数学教学中的美学教育有以下4个层次：,