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1、兰州交通大学数学建模数 学 建 模 论 文银行贷款问题模型姓 名 1： 学号：姓 名 2： 学号： 姓 名 3： 学号：班 级：指导教师：2014 年 5 月 24 日 兰州交通大学数学建模- 0 -目录摘要- 2一、问题叙述- 2二、问题分析- 2三、基本假定-54、模型的建立及求解1、等额本金还款法2、等额本息还款法5、模型的进一步分析6、模型的评价及推广7、参考文献附：等额本息还款法和等额本金还款法的比较-5兰州交通大学数学建模- 1 -摘要随着社会的不断发展，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，目前商业银行已经加大了个人贷款的力
2、度，“门槛”也一降再降，申请个人贷款已经不是件难事。对于贷款，大多数银行主要采用两种还贷方式 ：等额本息还款法和等额本金还款法。若我们根据已知年利率，针对每月还款额和个月限满后的最后一月付款后本利和为零，推导出等额本金还款法和等额本息还款法的还款总额、利息负担总和、月供的公式。合理假设的前提下，运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，通过计算讨论比较偿还贷款本息的多少。关键词：贷款 利率 还款总额 等额本金还款 等额本息还款 一、问题叙述某家庭贷款 30 万元购买一套房子，贷
3、款 (年)利率为 7%，用 15 年的时间还清贷款。不同的贷款方案将会产生不同的效益，根据问题的要求，建立相应的数学模型解答出不同情况下每月还款额以及利息、还款的时间。对不同方法进行比较，并选出最优方案。问题如下：1. 等额本息还款的方式偿还贷款；2. 等额本金还款的方式偿还贷款；3. 首先前 5 年用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款；4. 考虑收入增长的情况下，贷款人收入每年增加一次且增加额为 k 的方式偿还贷款。2、问题分析银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。等额本息还款法：利息和=本金 年利率个月限兰州交通大学数学建模- 2 -月供=本息和 /总个
4、月数= 本金（1+ 年利率个月限） /个月限/12 个月等额本金还款法：利息和=本金 （总个月数+1）/2年利率/12 个月月供=固定每个月应还本金+ 当个月利息=本金/总个月数+（本金-固定每个月应还本金已还个月数）年利率/12 个月以上两类还款法计算公式都为绝对公式，是在利率不变的前提条件下来计算总利息和月供的，所以假设银行在贷款个月利率不变。由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初个月，剩余本金较多，所以可见，贷款初个月每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，
5、利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式.其他公式都可由此导出。三、基本假设1、贷款月利率不变 (目前个人房贷 5-30 年的贷款年利率为 7%)i=7%/12=5.83 ，每月还息近似用月利率按月计算计算，不到 5 年的也近似用该利率计算。2、假设贷款人 5 年后有现金净现值（时间因素）3、贷款人有足够能力支付每月房贷4、贷款人每月消费十分理智5、贷款人没有其他获取钱的渠道，不足的款项只能从银行合法获得6、贷款人的目标是在保证基本生活前提的条件下，努力偿还贷款。四、模型的建立及求解模型一：等额本金还款法设：
6、贷款本金为 A 元平均每月应还本金 B 元还款额为 x 元贷款年利率为 r兰州交通大学数学建模- 3 -贷款月利率为 贷款个月为 m还款月数为 n设第 n 个月应付的金额为 ( i = 1.2.3. m ) (单位：元)nx因此，第一个月应付的金额为 ： (1BA第二个月应付的金额为 ： )22x那么，第 n 个月应付的金额为 ： )(nn累计应付的还款总额为 ： 221 AxxCnL利息负担总和为 ： nAD)1(22)( 将每个月还款制成表格如下：年份 月数 月利率() 年利率(%) 每月应还利息 月还款总额1 12 5.83 7 1642.116667 3308.7833332 24 5
7、.83 7 1525.516667 3192.1833333 36 5.83 7 1408.916667 3075.5833334 48 5.83 7 1292.316667 2958.9833335 60 5.83 7 1175.716667 2842.3833336 72 5.83 7 1059.116667 2725.7833337 84 5.83 7 942.5166667 2609.1833338 96 5.83 7 825.9166667 2492.5833339 108 5.83 7 709.3166667 2375.983333兰州交通大学数学建模- 4 -10 120 5.8
8、3 7 592.7166667 2259.38333311 132 5.83 7 476.1166667 2142.78333312 144 5.83 7 359.5166667 2026.18333313 156 5.83 7 242.9166667 1909.58333314 168 5.83 7 126.3166667 1792.98333315 180 5.83 7 9.716666667 1676.383333支付利息：Y=（n+1）a/2=158284.5（元）还款总额：M=（n+1）a/2+a=458284.5（元）若用 C+语言编写，其主程序如下：#include#includ
9、evoid main()double x,s=0,d;int i=1;do x=(300000-300000*（i-1）/180)*0.0051+300000/180;printf(第%d 个月还款总额：%6.2fn,i,x);s=s+x;i+;while(i#includevoid main()double i=0.00583,Y=8000,A=300000;兰州交通大学数学建模- 11 -n=log(x/(x-A*i)/(log(1+i);X1=Y-C+B1；X2=(Y+K1)-C+B2；X3=(Y+K1+K2)-C+B3；X4=(Y+K1+K2+K3)-C+B4；X5=(Y+K1+K2+
10、K3+K4)-C+B5；X1=X2=X3=X4=X5；12*（B1+B2+B3+B4）+(n-48)*B5=A;printf(“x1=%8f A=%8f n=%8f);5、模型的进一步分析如何选择适合自己的方式，并且需要考虑下面几个方面：要考虑现有经济实力。 借款人在完成购房首个月付款后，如果还剩有一定积蓄，且在一段时个月内没有合适的投向、用途或投资理财能力欠强，那么专家提议可选择“本金法”。充足的积蓄既可以自如应付还款前个月较大的压力，又可降低借款的利息支出，好处看得见。对于一些临近退休收入递减的中老年职工家庭，这是一个不错的选择。 要把握未来收入预个月。 长个月稳定的职业是保障稳定收入的基
11、础，由于“本息法”前个月还款压力较小，更适合于就业时间短、收入处于上升个月的年轻人。而且，由于每个月还款金额是固定的，在借款人家庭收入相对固定的情况下，一般不会感到太大的压力。 兰州交通大学数学建模- 12 -要合理设定还款个月限。借款个月限长意味着还款总额高，但月还数额小又降低还款压力。对青年家庭来说，未来的岁月里需要花费的还很多，尽可能延长借款个月也许是不错的选择。对于年长者来说，在能承受的前提下，尽可能压缩借款个月，以免退休时收入骤减、债个月还遥遥无个月而影响晚年生活质量。 不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。从静态看，三种还款方式存
12、在着利息差，但从动态看，在考虑时间因素情况下，三种还款方式完全不存在差异！正因为忽略了资金的时间价值因素，很多借款人误以为自己选择等额本息还款法多付了利息。但是，不管采取哪种贷款还款方式，银行都没有做吃亏的买卖；客户也不存在节省利息支出的实惠。六、模型的评价及推广一个好的模型不能由于初始的数据的微小误差而导致结果的较大改变。我们对最少还款在一定条件下做了随机的微小波动，分别对模型 1、模型 2 加以检验，从检验的结果可以得出两个模型的稳定性比较好。（一）模型的优缺点与改进方向1、模型的优点：（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（2）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样
13、性，从而使模型更贴近实际，更实用。（3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。2、模型缺点：（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来3、模型的改进（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法兰州交通大学数学建模- 13 -（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平（二）模型推广根据前面模型所建立的还款系统，可以很好的解决人们的房屋贷款问题。在建模过程中，简化了很多因素，因而与实际问题有所偏差，因此，要想建立更好的还款
14、方案，可以对一个实际的房屋贷款方案进行计算机模拟，将得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的还款方案。七、参考文献1 吴建国，数学建模案里例精编，北京：中国水利水电出版社,20062 李尚志，数学建模竞赛教程，南京：江苏教育出版社，19963 冯伟，黄力伟，王勤，尹成义，数学建模原理与案例：科学出版 4 朱道元，数学建模案例精选，北京：科学出版社 ，20035 周开利，邓春晖，MATLAB 基础及其应用教程：北京大学出版社，2007 6 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，19937 冬雪，关于贷款偿还方式的数学模型，http:/ ，2013.6.2兰州交通大学数学建模- 14 -附
15、件： 等额本息还款法和等额本金还款法的比较1、等额还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。 由于每月的还款额相等，因此，在贷款初个月每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后个月因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。 这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择！ 2、等额本金还款法，即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款
