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1、高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（中）考点 7 不等式经典易错题会诊命题角度 1 不等式的概念与性质命题角度 2 均值不等式的应用命题角度 3 不等式的证明 命题角度 4 不等式的解法命题角度 5 不等式的综合应用探究开放题预测预测角度 1 不等式的概念与性质预测角度 2 不等式的解法预测角度 3 不等式的证明 预测角度 4 不等式的工具性预测角度 5 不等式的实际应用考点 7不等式不等式的概念与性质均值不等式的应用不等式的证明不等式的解法不等式的综合应用不等式的概念与性质不等式的解法不等式的证明不等式的工具性不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度 1不等式的概念与性质 1(典型例题)如
2、果 a、b、c 满足 cac Bc(b-a)0Ccb 2c，而 ab，ao 不一定成立，原因是不知 a的符号专家把脉 由 dbc，且 acc，故 a0，cbc且 ac0，故 a0且 cc，又a0，abac(2)b-a0，Da-c0，acab;|a|b|；alog a(1+ )a 1+aa a其中成立的是 ( )A.与 B与C.与 D与考场错解 B 1+a 1og a(1+ 1)，a 1+aa 4(典型例题)已知实数 a、b 满足等式 ,)31(2ba，下列五个关系式0-b，a0 时，ab ba1” 不能弱化条件变成“ ba1”也不能强化条件变为“ab0 1 ”考场思维训练 1 若，|a|，|b
3、|0，且 ab0，则下列不等式中能成立的是 ( ) A ba B ab1C |21log|lb D n)2( 答案： C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，|a|，|b|0，又 0N 解析：由 0)(2ab0，得 ba2，由 s，0，b0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A 41ba B 23abC 22 D |考场错解 Di | ba不一定大于或等于 ba专家把脉 D 中直接放缩显然不易比较 对症下药 B A：a+b2ab, )(41)(12时 取baab成立C：a 2+b2+2=a2+1+b2+12a+2b (当且仅当 a=b=1时取“=”) 成立 D：两边平方|a-b|
4、a+b-2 )(ba a-ba+b-2 ab或 a-b-a-b+2 当 ba时显然成立解得 ab 或 ab 成立 2(典型例题)设 x(0，)，则函数 f(x)=sinx+ xsin4的最小值是 ( )A4 B5C3 D6 考场错解 因为 x(0，)，所以 sinx0， xsin40， f(x)=sinx+xxsin42sin4=4，因此 f(x)的最小值是4故选 A专家把脉 忽略了均值不等式 a+b2 ab(a.0， b0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立事实上，sinx= xsin4不可能成立，因为它成立的条件是 sinx=2，这不可能对症下药 (1)f(x)=sinx+ si=
5、sinx+ xsin1+ i3，因为 sinx+ xsin32，当且仅当sinx=1即 x= 2 时等号成立又 i33，当且仅当 sinx=1即 x= 2时等号成立所以f(x)=sinx+ xsin42+3=5，f(x)的最小值是 5故应选 B(2)令 sinx=t，因为 x(0，)，所以 01;()点 P(xo,yo)(00与 a1.求证：b 22(b+2c)；答案：由题意得，当 x(-，x 1)(x 2，+)时，f(x)0；x(x 1，x 2)时 f，(x)1，(x 2-x1)2-10，b 22(b+2c)(3)在(2)的条件下，若 t1+x11+t，t+1-x 20，即 t2+bt+cx
6、1 .2已知数列 ,:xxnn满 足(1)问是否存在 mN ,使 xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在 mN *，使 xm=2，则 2= 14mxxm-1=2，同理可得 xm-2=2，以此类推有 x1=2，这与 x1=1 矛盾，故不存在 mN *，使 xm=2(2)试比较 xn与 2的大小关系；(3)设 .2,|,| 11ninaa时求 证 当答案：当 n2 时，x n+1，-2= 4nx-2= 1nx=- 1,314,21xxnnn又 ，则xn0，x n+1-2与 xn-2符号相反，而 x1=12，以此类推有：x 2n-12；(3) .21)()21()(21,)()(|,2|1|2|1
7、4|2| ,311 nnnni nnnnaaxxxx LQ则命题角度 4 不等式的解法1(典型例题)在 R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)1,解关于 x 的不等式： xkxf2)1()考场错解 ).2()(,21841693024,3)1( 22 xxfbaaxbax 所 以解 得得分 别 代 入 方 程将.1, 0)1(,0)(222kxkx kx故又 即Q专家把脉(2)问中两边约去(2-x),并不知 2-x的符号.对症下药(1)同错解中(1) .0)(1)2(02)1(,2)1()2( kxxxkxkx 即可 化 为不 等 式 即 为 当 10解集为 x(1,
8、2) (2,+ ); 当 k2时，解集为 x(1,2) (k,+ ).3.(典型例题)设函数 f(x)=kx+2,不等式|f(x)|0时，k2,当 k0的解集是(1,+ ),则关于 x的不等式 02xba的解集是( )A.(-,-1)(2,+ )B.(-1,2)C.(1,2)D(-,1) (2,+ )答案： A 解析：a0-且 ba=1， 2xb0 021x(x+1)(x-2)0 x22.若 ._)1(log,2sin的 解 集 是则 不 等 式 a答案：(-1，cos)(-cos，1) 解析： 22 00时，原不等式为 12x x1,x1当 x0且 x1命题角度 5 不等式的综合应用1(典型
9、例题)已知函数 f(x)=ax- .81)(2,41,623 xfxx 时又 当的 最 大 值 不 小 于( )求 a的值；()设 0logtba=1，0|logab+logba|故选 D2 已知不等式 x2-2x+a0时，任意实数 x恒成立，则不等式 a2x+10 对 xR 恒成立1不等式(a 2x+10)(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？答案： P=-( x32)+495-24+495=415，当且仅当 21x= x时，即 x=8时，P 有最大值 415 万元探究开放题预测预测角度 1 不等式的概念与性质1下列命题正确的是 ( ) 时 成 立当 且 仅 当 当 且 仅 当均
10、为 正 数当 且 仅 当均 为 正 数当 且 仅 当 02|1|. ),1(,3logllog3.,2aaDcbacbCBbaaA解题思路利用均值不等式成立的条件判断。解答D 对于 A，当 a、b 同为负数时也成立；对于 B，当 a、b、c 中有一个为 0，其余为正数时也成立；对于 C，当 a、b、c(0，1)时也成立；D 正确。2已知 a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )abbaCBA2.2. . 22解题思路利用两角和与差的公式化简 b、a、 .2b然后再比较大小.解答B .,2.1,6sin)415sin(2,60sin2)451sin(2 .
11、Bbababa 故 选又 Q预测角度 2不等式的解法1关于 x的不等式 x|x-a|2a 2(a(-,0)的解集为 ( )A.-a,+ B.a,+ C.2a,a -a+ D.(- ,a)解题思路讨论 a、x 的大小，去绝对值符号.解答A 当 xa,x2-ax-2a20, x-a.当 x 2x.即可求解。解答A 由已知有 f(x)为奇函数，则原不等式变形为 f(x)1 且对任意的实数 x,yR,有 f(x+y)=f(x) f(y)成立，数列a n满足 a1=f(0),且 f(an+1)=4 )()2(1afn(1) 判断 y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2) .,;?10|2|,.,1
12、21 请 说 明 理 由如 不 存 在合如 存 在 请 找 出 这 样 的 集成 立时 都 有当问 是 否 存 在 无 限 集记设 MTMnbTab nnnn (3)若不等式 .,12)1).(21 的 最 大 值求均 成 立对 一 切 kkan解题思路(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出 Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求 k的最大值.解答(1)设 )1(1)()(),()(, 212121212 xfxffxfxffxfx 则 时 隔 不 久当又 由 已 知所 以又所 以又 由 已 知得令对 0,1)(),(0,0(,0)()( xxfxffyyfyf .,)()(),(,)
13、,(0,0 12121 上 为 单 调 减 函 数在所 以可 知由且上所 以 在所 以时 RxfffRf 2,1)(,2 ,),(,()()11 1 nafaa fafafffn nnnQ 上 为 单 调 减 函 数在知由由 已 知 有得由 ),12(),)( nTb .250,|,50,10|2|,10|2| 即 可取存 在 这 样 无 限 集则若 nMnnTn(3)由 )(.12).(1,).(21 Fnaakkaa nn 设恒 成 立知恒 成 立 32)1).(1(,).()(2naaFn则 .32,32,3)1( ).(1(,1)4()( 的 最 大 值 为即即又 kkFn nFf预测
14、角度 4 不等式的工具性1若直线 2ax-by+2=0(a、b0)始终平分圆 x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则 ba1的最小值是 ( )A.4 B.2 C. 41 D. 21解题思路利用重要不等式求最小值。解答A 直线 2ax-by+2=0过圆心(-1,2), a+b=1, 4)(1ba2.已知函数 f(x)=ax2+8x+3(abc),已知 f(1)=0,且存实数 m,使 f(m)=-a.(1)试推断 f(x)在区间0，+上是否为单调函数，并说明你的理由；(2)设 g(x)=f(x)+bx,对于 x1，x 2R,且 x1x 2,若 g(x1)=g(x2)=0,求|x 1-x2|的取值范围；(3)求证：f(m+3)0.解题思路由二次函数的对称轴两边为单调的
