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1、1摘 要导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容,思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值,利用微分中值定理,利用泰勒公式,利用函数的凹凸性,利用两导数的不等性及利用偏导数等七个方面阐述导数在不等式证明中的应用.关键词:导数,不等式,证明,函数.2AbstractThe knowledge of derivative is an extremely important part of higher mathematic，it
2、s content,ideas,and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic.As to the proofs of inequalities,the use of the derivative proved to be an effective measure.It earns a place in the various methods of the proofs of inequalities.This article will elaborate the application of deriva
3、tive in the use of the proofs of inequalities,that is,the monotonic property of the function,the maximum or minimum value of a function,differential mean value theorem,Taylors formula,concavity,inequality of two derivative and partial derivative.Key words:derivative,inequalities,prove,function.3目 录1
4、.引言 .52.利用函数的单调性证明不等式 .63.利用函数的最值(或极值)证明不等式 .74.利用 Lagrange 中值定理证明不等式 .85.利用泰勒公式证明不等式 .96.利用函数的凹凸性证明不等式 .117.利用两导数的不等性证明不等式 .128.利用特殊例题的推广来证明不等式 .149.结束语 .16参考文献 .164引 言不等式与等式一样，在数学问题中都是有着十分重要而且广泛应用的课题，而不等式的研究范围更广，难度更大.有些不等式用初等数学方法是很难证明的，我们将以函数的观点认识不等式，应用导数为工具，使不等式的证明化难为易，迎刃而解.在数学分析课程中，不等式是证明定理与公式的工
5、具，不等式的证明又蕴涵着许多数学分析的技巧.文献1微分中值定理及其应用这一章节中主要阐述了拉格朗日微分中值定理、函数的单调性等概念. 文献 2中研究了用导数来证明不等式 ,其中侧重的方法是拉格朗日中值定理、函数的单调性来证明不等式. 文献3中讨论了利用函数的最值来证明不等式. 文献4中用利用函数的凸凹性这一方法来证明不等式.利用导数证明不等式,其传统的方法是利用微分中值定理、函数的单调性及函数的最值等来证明不等式.查阅相关文献十五篇,其中详读十篇.在文献5中找到创新之处,得出利用特殊例题的推广这一方法来证明不等式.并且对常用的证明方法进行归纳总结,更进一步地,对归纳的证明方法及创新之处加以应用
6、.52 利用函数的单调性证明不等式该方法使用于某区间 I 上成立的不等式，一般地，证明区间 I上成立的不等式 时，可以选择 作为辅助函()fxg()()Fxfg数。对 求导，判断 是大于 0 或是小于 0,判定 的单调F()Fx性，从而证明不等式.定理 设函数 在区间 I 上可导,则 在区间 I 上递1f()f增(递减)的充要条件是( )()0fx0fx例 1 设 x0,证明不等式 成立.2 2ln1(1)x证明 令 ,显然 .当 时,有2()ln1)xfx0f0x2()1fxx从而 在(0,+)内严格递增,又 在 处连续,所以,当()fx f0时, .0(0)f即 . 2ln(1)x6(1)
7、设 ,则 时,2()ln1)(1)xgx022 () 01(1)xxgx所以 在(0,+)内递减,又 在 处连续,故 时,有()x()g00g即 2ln()(1)x(2)由 (1)(2)可知,当 时,有0x.22ln(1)(1)x注 构造适当的辅助函数，使得证明简洁些是很有必要的。为此，往往对待证的不等式作适当的恒等变形。3.利用函数的最值(或极值)证明不等式由待证不等式建立函数,通过导数求出极值并判断极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式,这就是利用函数的最值(或极值)证明不等式的思路.定理 2.1 设 在点 连续,在某邻域 内可导.2f0x0(,)Ux(1) 若当 时 ,当
8、 时 ,则 在0(,)x()f0()0fxf点 处取得极小值;0x(2) 若当 时 ,当 时 ,则 在0(,)x()fx0(,)x()fxf7点 处取得极大值.0x证 下面只证(2),(1)的证明可类似地进行.由定理的条件及单调性定理知, 在 内递增,在 递f0()x0(,)x减,又由 在 处连续,故对任意的 ,恒有 .即 在f0xU)ff处取得极大值.0x若函数 的最大(小)值点 在区间 内,则 必是 的极大(小)值f 0xab0xf点.又若 在 可导,则 还是一个稳定点.所以我们只要比较 在所0x0有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到 在f上的最大值与最小值.ab利用函数的
9、最值(或极值）证明不等式的步骤:1、确定函数自变量所在的区间;2、求导,确定 在区间上的极值,并确定最值;()fx3、由最值得到不等式.例 2.1 设 且 ,求证: .nN321n证 设 .则有21xf. ln,(3)xf因为 ,所以 .所以 在 上为增函数.故3x3l20fxf,的最小值为 .所以 恒成立,即命题 得f 1x21n证.若我们不用函数的最值方法去证明，我们可以这样证明:证 用数学归纳法.当 时, 恒成立.3n28318假设当 时, 成立.那么,当 时,有nk21k1nk.242k又因为 且 ,所以易证 成立.从而得到3kN43k.11k即当 时命题也成立,从而原命题得证.1nk
10、从此例题我们可以看出利用函数的最值证明不等式思路更为清晰,方法更为简明,有利于避免不等式证明中的一些转化,放缩等问题.在不等式的证明中,转化与放缩恰恰又是难点所在,所以以后遇到当函数取最大(或最小)值时不等式都成立的问题时,我们可以把不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题.因此利用导数求函数最值是不等式证明的一种重要方法.4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 要使用拉格朗日中值定理，关键是找出函数 及其区间，()fx看它是否满足格朗日中值定理的条件，还可结合不等式的特点来找。定理 2（拉格朗日中值定理） 若函数 满足以下条件：()fx（1） 在闭区间 上连续；()fx,ab（2） 在开区间 内
11、可导；()则在（a,b）内至少存在一点 ，使 ()fbaf例 2 设 为非线性函数，在a,b在连续，在（a,b）内可()fx导，证明： 使,ab9。()fbaf证明 引入辅助函数 ()() ()fbaFxfax由于 非线性， ，故 ，使得 ，而()fx0,c0Fc。0Fab设 ， （ 类似可证） ，在 与 上分别使用拉()c()Fc,ac,b格朗日中值定理，得 1 1()0,(,)Fcca2 2bb而 ，()()faxf即 .()bfFx 所以 ，21()()faf f 令 12()mx,fff故 ()baf注 一般地，若函数满足拉格朗日中值条件，则有不等式1min()()max()xffff
12、 它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想。5.利用泰勒公式证明不等式10我们先对泰勒公式作简单介绍.定理 4.1 若函数 在点 存在直至 阶导数,则有2 f0xn,即0()()nnfxTox. () 20 000 0 00() )()!nnnfxfxff xL（*）证 设,0()(),()nnnRxfTxQx现在只要证 .0limnx又由关系式,000nnnRxRxL并易知.1000,!nnnnQxQx因为 存在,所以在点 的某邻域 内 存在 阶导函数0nf Uf1.于是,当 且 时,允许接连使用洛必达法则 次,()x0xU0xn得到 00 01limlilimnnnxxx
13、RRQQL01100li 2nnnxfffx01100li!nnnxfxff .11定理所证的（*）式称为函数 在点 处的泰勒公式. f0x用此公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式.例 4.1 当 时,证明不等式 成立.02x221cosxx证 由于 ,故 .4cos1cos,0!2221cos4x显然有 ,22 221cs44963x 即.21cos1x两边乘以 ,得2x.221cosxx所以结论成立.注意 用泰勒公式证明命题时,关键要注意一点,即究竟要展开到第几阶,而对于命题则没有统一的规律,我们要根据题中的有关信息加以适当取舍.6 利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式，许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难，但利用函数的凸凹性质，可以方便、快捷地得到结论。12
