数学建模模拟论文

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1、大学数学建模模拟竞赛 承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话

2、）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘洋阳 2. 张丹昱 3. 余 冲 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 日期： 2011 年 8 月 24 日放射性气体扩散的预估模型摘要在讨论放射性气体扩散的预估模型时，我们的基本思想是从比较简单的理想化的模型入手进行讨论放2射性物质发生泄漏后在不同地区以及不同时段的分布情况，接下来我们引进了一些现实环境中的因子修正，使我们的模型更接近实况。对第一问，我们首先根据物质守恒条件列出基本等量关系式，通过数学上的转化为偏微分方程，但是这个偏微分方程费了很大的力气才解出来，即就是利用 MATLAB 中的前向差分法编程

3、实现代码也很繁琐，而且是数值解，基于此我们就利用在理想条件下气体浓度分布的各向同性的性质，通过简单的数学在函数形式上的变形，就可根据题意容易建立不含四重积分的积分方程，或去建立繁琐的偏微分方程，从而使计算极为方便。对于第二问，在外界有风时，且速度为 k（m/s）,我们在解决该问题时，我们的核心思想为概率分布思想。假设风速沿 x 轴正向，先简要从几何上结合实际中浓度的空间分布是服从与正态分布，即就是Gauss 模型的中心思想，同时我们还通过数学手段简单地证明了在空间与坐标轴垂直截平面上浓度所服从的正态分布与真实空间中浓度所服从的三维正态分布的数学表达式的组合形式确实就是 Gauss 所提出的组合

4、形式，当得到 Gauss 模型表达式时，接下来的主要工作就是要对 Gauss 进行参数修正，使其在修正之后在误差范围内，可以用于我们所研究的系统组要修正因子有热力抬升作用 ，放射性衰变的修正，地面h等可反射截面的全反射修正，雨水（海平面，大气中的水蒸气等）吸收的修正，其中对风速的处理方法是运用速度变换实现。对第三问，我们分别讨论风速大于气体扩散速度和小雨气体扩散速度的不同情况，进而利用（2）中的模型求解处于上风和下风 L(km)处的放射性物质浓度分布模型。在求解第四问时，我们首先选定中国东南沿海的研究对象为上海，而美国西海岸的研究对象为旧金山。由于是一个现实中的问题，首先我们查找了需要用到的数

5、据，或者通过化学和物理的知识求解出来。具体是：先求出有泄漏源处在和速度运动下到达目的地所需时间，再将这个已得到的时间与目的地对应坐标和其他所需参数代入我们已经建立的模型之中，就会得到目的地的浓度值大小，再进一步分析其实际影响。关键词：积分中值定理 偏微分方程 正态分布概率模型 Gauss 模型修正惠更斯原理 概率密度函数的修正 放射性元素衰变 质量守恒定律 能量守恒定律一、问题重述目前核能的发展为每个国家带来了重大的意义，但是在发展过程中难免会出现一些严重的核泄漏问题，这使得有害放射性气体在大气中不断扩散，从而严重地影响和危害了周边环境。然而精确地研究有害放射性气体的扩散之后的分布位置，对保护

6、生态环境具有极其重要的意义。设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为 p0的放射性气体以匀速排出，速度为 m kg/s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为 s m/s. 1） 请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。2） 当风速为 k m/s 时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。3） 当风速为 k m/s 时，分别给出上风和下风 L 公里处，放射性物质浓度的预测模型。4） 将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。3计算所用数据可以在网上搜索或根据具体情况自己模拟。二、模型假设1.假设核

7、电站稳定排放放射性气体；2.假设在无风情况下放射性气体的扩散满足各向同性且相互独立；3.福岛核电站面积较考虑扩散范围很小，放射性粉尘的扩散视为点源扩散；4.假设放射性气体从核电站排出来速度减为零的过程中，放射性气体的上升轨迹近似视为垂直向上；5.假设放射性气体在扩散过程中是质量守恒定的；6.假设放射性气体的排放浓度、排放速度、流量是均匀的、连续的；7.假设风向与地面水平，且在气体扩散的过程中保持不变；8.假设整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变；9.放射性物质只考虑碘 131 的影响，其他放射性气体含量较小，可忽略；10.假设放射性气体自发生一次反射。三、符号说明m：放射性气体的排出速度k：

8、风速s:放射性气体在无风情况下向四周扩散的速度t:气体扩散时间，在气体泄漏初始时刻 t=0x，y，z：以泄漏源为坐标原点，空间任意一点的坐标P(x,y,z,t)：时刻 t 无穷空间中任意一点(x,y,z)的放射性气体浓度R：一规则球体的半径 x：x 方向上的扩散参数 y：y 方向上的扩散参数 z：z 方向上的扩散参数T0:：核泄漏出口处的温度T：环境温度Q0：从泄漏源泄漏的放射性物质的总量P0：泄漏源的总浓度Q：放射性物质的表况总量H：核泄漏后放射性物质被抬高后的有效高度h：核泄漏口的有效高度h：放射性物质抬升高度A：泄漏源处在排出时的气体柱体截面积四、问题分析对于问题一，在无风的情况下放射性

9、气体以 s (m/s)的速度在大气中均匀地向四周扩散，在此条件下，建立一个模型来预测核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质的浓度。在此问题中可以将核电站源源不断泄漏引起的气体扩散看作是连续点源导致的扩散过程。根据泄漏出的放射性物质质量守恒定律，可列出反映放射性气体在整个扩散过程中的浓度变化规律的偏微分方程。由于不考虑风力的影响，且扩散出的放射性气体匀速向四周散开，这样经过任意时刻 t，扩散的气体围成一个半径为 R（R=st ）的球体，且距离球心位置不同的地方浓度值不同。为了使模型更贴近实际，可以考虑泄漏源有效高度对浓度分布的影响。对于问题二，我们要在第一问的基础上考虑风速对气体扩散浓度的影

10、响，通过分析 x，y，z 三个轴向4上的浓度变化情况，分别列出垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的截面的浓度表达式推导建立出连续点源放射性物质高斯扩散模型，从人得到任一时刻无穷空间任一点的放射性气体浓度表达式。这时，我们还可加入热力抬升作用、放射性衰变、地面反射和雨水、地表的吸收作用等因素对气体扩散的影响，在原模型的基础上经多次合理修正后得到更好的“优化高斯模型” 。对于问题三，该问题要求建立泄漏源上风口处和下风口处放射性物质浓度的预测模型，在参考第二问的基础上，主要考虑风速和放射性物质的扩散速度在空间中的矢量运算。在对上风口进行分析时，要分类讨论风速和放射性气体的扩散速度之间的大小关系。当风速小

11、于放射性物质的扩散速度时，放射性物质是无法到达上风口的。对于问题四，要求我们将建立的模型应用于福岛核电站的泄漏问题上。此时应参考大量地理、气象和新闻资料，选取我国东海岸的一个地方和美国西海岸的一个地理位置作为研究对象，收集福岛核电站和研究对象之间的距离，以及两地之间的风向、风速等数据，综合考虑多个影响因素，预测出放射性核物质对我国东海岸及美国西海岸的影响。五、模型建立与模型求解5.1 问题一5.1.1 模型建立将气体从泄漏源泄漏时刻记作 t=0，以泄漏点正下方的地面为坐标原点，平均风向为 x 轴，指向下风方向，铅直方向为 Z 轴，水平垂直于风向轴（X 轴）为 Y 向，建立空间坐标系，则核电站泄

12、漏源点 距地O面的高度为 H，则泄漏点位置坐标为 (0，0，H)。如图 1。O设空间内任意一点的浓度为： 。,pxyzt图 2 中阴影部分球体的体积为： ， （5.1.1）331044=VRdt其中， 。=,Rstt经过时间 时间间隔到达 时，从泄漏源泄漏的放射性物质的总量可表为：t00tQApmdt在（t+t）内通过原半径为 R 的球体的流量为： 110,txyztV经过时间 后，原半径为 R 的球体内放射性物质的增量为t20,vtptdv根据质量守恒定律和连续性原理可知，单位时间内通过所选曲面 s 向外扩散的放射性物质与 s 曲面内放射性物质增量之和，等于泄漏源在单位时间内向外泄漏的放射性

13、物质。即 。xyzRO图 2O图 1zyx5012Q将 带入 中得：012Q、 、 012= +tApmdt1,tpxyztVd0,vtpxyztdv5.1.2 模型求解经过运用数学上的积分中值定理转化为偏微分方程为（参考相关文献），并且解此偏微分方程有：2220xyzccpt243(,)()xyzktQxytet考虑到我们解该偏微分方程的繁琐性，我们用另一种方法清晰地给出问题一的解。由于在第一问中我们考虑的是很理想的条件下的扩散，故浓度的分布呈现各向同性，即：气体的扩散在各方向上是相互独立，以泄漏源为球心的同一球面上浓度相等，由此我们有如下做法： 由浓度分布的各向同性和它只与速率有关，可得确

14、定分布函数的方程： 22,pxyzgxyz，22lnlnllnpxyzg则，2222llnxyzgxygz其中 只能是与 x，y 和 z 无关的量，故可得 x，y 和 z 的分布函数为：222,xyzgCeeCe，则 ，=xyzC令13=xyz因此，相应的浓度分布函数为： 22222, =xyzxyzyzx xyzpeeee接下来，我们关键是来确定上述表达式中的 ，下面是以 x 轴向上的分和 这 两 个 参 数 的 值布函数为类比概率密度函数以及数学中的对实际物理含义的处理技巧进行计算的，结果也适用于 y 轴和 z轴。应用积分 ，可由归一性条件 得 2xd gdQxCQ同理可得 yzC再应用积

15、分 可得23014xed 221xgxd又因为 ， 则令 ，根据积分中值定理有st2ftst622 20013ttstxffd所以 ，可得213st23st代入 中得：xCQ2xQst所以可得： 23xtxgeest同理可得： 22yyst223zzstQgCeet综上可得，空间内任意一点的浓度为：我们观察两种方法所得解的结构，明显第二种的解更优于第一种，在第一问之中，引入了一个常数 k,而第二之中，虽然是在相同的位置上有一个常数，但第二个解法的常数是题目中已知量的组合形式，因而就更优。5.1.3 考虑热力抬升作用对模型的修正:实际问题中整个扩散过程分为两个阶段，在第一阶段放射性气体从泄漏源排出的时候有一