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1、本科生毕业论文（设计）在不等式教学中培养学生的探究思维能力姓 名： 汪笃武 指导教师： 方辉 院 系： 数学系 专 业： 数学与应用数学 _提交日期： 2010 年 5 月 5 日 黄山学院本科毕业论文- 2 -目 录中文摘要3外文摘要4引言51. 比较法52. 几何法63. 配方法74. 二分法75. 三角代换法76. 反证法77. 判别式法88. 向量法89. 均值不等式法810. 分析法911. 综合法912. 利用对称性1013. 利用欧拉恒等式1014. 复数法1115. 矩阵法1116. 柯西不等式1117. 拉格朗日数乘法1218. 推广形式13结束语 15参考文献 15致谢16
2、黄山学院本科毕业论文- 3 -在不等式教学中培养学生的探究思维能力汪笃武指导教师：方辉（黄山学院数学系，黄山，安徽 245041）摘要：探究思维能力是学生智力开发的核心，是由分析、综合、比较、概括和运用等能力组成的整体，是一种主动积极的思维能力.数学问题中明显或隐含存在大量的不等关系，不等式的证明蕴含着丰富的数学思想方法. 不等式作为热点内容，有很多命题都可以引申、推广和应用，为我们在不等式的教学中培养学生的探究思维能力提供了契机.本文尝试从不等式的一题多解入手探索如何培养学生的探究思维能力. 关键词：数学教育；不等式；探究思维黄山学院本科毕业论文- 4 -Explore Thinking A
3、bility in Inequality TeachingWang DuwuDirector：Fang Hui（Department of Mathematics, Huangshan University, Huangshan, China）Abstract：Students explore the thinking ability is the core of intellectual development, by analysis, synthesis, comparison, generalization and the use of such capacity to the ove
4、rall composition, is a proactive thinking. Mathematics learning problems, explicitly or implicitly a large number of non-existence and other relations, Inequality rich in mathematical thinking. inequality as hot content, there are many propositions can be extended, the promotion and application of o
5、ur teaching in the inequality of inquiry thinking ability students provided an opportunity. This paper attempts to inequality of a given problem to start exploring how to cultivate the students explore the thinking ability.Key Words：Mathematics Education；Inequality；Explore thinking 黄山学院本科毕业论文- 5 -引言
6、在数学教育中，不仅要注意传授具体的解题方法，更注意数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的思维能力和探究精神.提高思维能力，能更好认识事物的本质及其内在联系，而探究思维能力是学生智力开发的核心，是由分析、综合、比较、概括和运用等能力组成的整体，是一种主动积极的思维能力.教师只有在传授知识的同时，重视对学生的探究思维能力的培养，才能达到知识、能力的统一.数学中数量关系的不等比相等更加广泛，数学问题中明显或隐含存在大量的不等关系，不等式的证明蕴含着丰富的数学思想方法.从各种数学杂志期刊上，不等式作为热点内容，有很多命题都可以引申、推广和应用，这为我们在不等式的教学中培养学生的探究思维能力提供了契机
7、.在不等式的教学中可以一题多解为抓手培养学生的探究思维能力.不等式的许多题目有多种解法，不少老师和学生是为了解题而解题，一个问题只要能解决就匆匆而过，很少去分析和横向探索，挖掘其中的价值，错过了很多完善知识结构，提升思维能力的好机会.做一道题从不同角度想出几种方法与做几道相似题型的题目相比，效果自然要很多.下文将通过一个例题探讨一题多解对培养探究思维的重要性.在射击训练中，假设一个射击运动员击中靶的概率为 ，不中的概率为 ，ab那么 ，求两次射击全中或者全不中的概率.1ab解析：一次射中一次射不中的概率为 ，两次射击全中或者全不中的概率为xy, , , ,而 即x22yab21ab22 0ab
8、，所以 .2ab1本题可以简单表述为： ， ，求证 .以下的十几0， 21种解法都是数学解题中的常用方法.1. 比较法 作差比较法黄山学院本科毕业论文- 6 -要证不等式 ，只需证 即可.ab0ab其步骤为：作差 变形(常用变形方法有：通分，因式分解，配方等)判别符号222210abab 作商比较法若 ，欲证 ，只需证 ；欲证 ，只需证 .0bab1ab1a其步骤为：作商 变形 判断结果与 的大小关系.2 2221aa或 22 211abab.22. 几何法根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形
9、的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观图 1如图 1，线段 AB 在直线 上，任意取点 p , 为 P 点到xyxy2y黄山学院本科毕业论文- 7 -原点的距离，原不等式的证明可转为求证原点到 AB 的最短距离不少于 .2假设 为三角形 的面积，有SAOB最短距离 ,得证. 22N3. 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形配成“完全平方”的技巧.在解决相关问题是，将目标看成某个目标的二次式，并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和的形式，以达到发现和研究问题性质、化繁为简之目的. ；2222 11abaa .22 222 1bbb4. 二分法二分法可以看做特殊
10、的配方方法，能让一些不等式的证明变得简捷.这里，令 ， ，12atbt12t有 .2bttt5. 三角代换换元法是数学中的基本方法，在数学中随处可见，三角代换是换元法的一种，有其一定的规律性.常见的三角代换法有：若 ，可设12yx sin,coyx ，可设2r,(01,2)rrr若 sin,|x可 设本题中，令 ，2coa2ib则 244222sics1insi1cosb= 2= si黄山学院本科毕业论文- 8 -而 ，得 .2sin1221sinab6. 反证法反证法的模式为：否定结论推出矛盾肯定结论.反证法的实质是证明否命题会导致矛盾，从而肯定命题成立. 假设 221abab有 ，矛盾22
11、0故假设不成立， 1ab 假设 2，而 ，二者矛盾1222 1abab故假设不成立，原不等式同样得证.7. 判别式法判别式是等式与不等式联系的重要桥梁，其要领是合理地构造二次方程或二次函数.令 22211Saba对于方程 有解0S则 2481Sa2而 ，故 .0121b8. 向量法运用向量知识解决代数问题，关键在于适当构造向量，然后利用数量积来求解.如图 1，设 到 的距离为 = ， 为 上任意点，OABN,1aPAB，即 ，得 ，故 ，即0ABN0a2,222ON黄山学院本科毕业论文- 9 -= .221ab9. 均值不等式均值不等式： ,当且仅当 时等号成立.2ab,aRab常用变形： .
12、 ；2,b均值不等式在求最值及参数的取值范围等范围有着广泛的应用，对于给定的函数或者多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后运用公式解决. 2222 111ababab 222221 1ab或，2a2b两式相加得， 21ab2ab10. 分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，其模式为： ( 是成立的).123nABBC22abab220ab，显然成立211. 综合法从已知或已证明的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式，黄山学院本科毕业论文- 10 -其模式为： (结论)123nABBC20ab22ab2112. 利用对称性对称性
13、是自然界的基本性质之一，利用这个性质可以简化一些不等式的证明.如果题设条件及所证明的多项式都是对称的，可以设未知量满足不等关系.由于 与 都是对称的，不妨设1ab2 0ab则 ，022只需求上式右边的最大值又因为 即214a2max1所以 .b注： 22in,b2max1i,13. 利用欧拉恒等式瑞士数学家欧拉，发现了一个代数恒等式，用语言叙述为：如果两个数的每一个都可以表示成两个数的平方的和，那么它们的乘积也一定可以表示成两个数的平方的和.公式形式为： 222211111xyxyxy此题中，令 , .则12黄山学院本科毕业论文- 11 -222 222211ababab14. 复数法数学中许多问题可以通过化归与转化成复数问题，借助复数的不同表示形
