数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换

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1、第 3章 离散傅里叶变换(DFT) Discrete Fourier Transformation 第一节 引 言 一、序列分类 对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为： 无限长序列： n=-或 n=0或 n=- 0 有限长序列： 0nN-1 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。 二、 DFT的 引入 由于有限长序列，引入 DFT (离散傅里叶变换 )。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机 DFT的有效快速算法 -FFT, 因而使离

2、散傅里叶变换 (DFT)得以实现，它使 DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。 三、本章主要讨论 离散傅里叶变换的推导 离散傅里叶变换的有关性质 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题 第二节 傅里叶变换的几种形式 傅 里 叶 变 换 ： 建 立 以 时 间 t 为 自 变 量 的 “ 信 号 ” 与 以 频 率 f 为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ” (频谱 ) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 . 所以“时间”或“频率”取连续还是离散值 , 就形 成各种 不 同 形 式 的 傅 里 叶 变 换 对 。 在 深 入 讨 论 离 散 傅 里 叶 变 换 D F T 之 前 ,

3、 先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 里 叶 变 换 对 . 一、四种不同傅里叶变换对 傅 里 叶 级 数 (FS): 连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 连 续 傅 里 叶 变 换 (FT): 连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 序 列 的 傅 里 叶 变 换 (DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 . 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT): 离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 1.傅 里 叶 级 数 (FS) 周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。 周期为 Tp的周期

4、性连续时间函数 x(t) 可展成傅里叶级数 X (jkW0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为 : FS 例子 通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周 期 的 频 谱 函 数 , 而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应 . (频域采样，时域周期延 拓 ) 2.连 续 傅 里 叶 变 换 (FT) 非周期连续时间信号 通过连续 傅 里叶变换 (FT) 得到非周期连续频谱密度函数。 例子 从以下变换对可以看出 时域 连 续 函 数 造成 频域是非周期 的谱 , 而是 时域的非周期 造成 频域是连续

5、的谱 . 3.序 列 的 傅 里 叶 变 换 (DTFT) 非周期离散的时间信号 DTFT (经过单位园上的 z变换 ) 得到周期性连续的频率函数。 例子 同样可看出 ,时域的离散 造成频域的 周期延拓 ,而时域的非周期 对应于 频域的连续 . 4.离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT) 上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函 数 是 连 续 的 . 因 为 从 数 字 计 算 角 度 , 我 们 感 兴 趣 的 是 时 域 及 频 域 都 是 离 散 的 情 况 , 这 就 是 我 们 这 里 要 谈 到 的 离 散

6、 傅 里 叶 变 换 . 周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性时间信号 可以产生 频谱是离散 的 离散时间信号 可以产生 频谱是周期性 的。 得出其 频谱为周期性离散 的。也即我们所希望的。 DFT的变换 总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。 二、四种傅里叶变换形式的归纳 第三节 离散傅里叶级数 (DFS) 我 们 首先 从 周 期 性 序 列 的 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 开 始 讨 论 , 然 后 再 讨 论 可 作 为 周 期 函 数 一 个 周 期 的 有 限 长 序 列 的 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT). 一、 DFS定义 设 为周 期 为 N 的

7、 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 其中 : )( nx10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxD F SkX10102)()(1)()(NknkNNknkNjWkxekXNkXI D F SnxNjN eW2二、 DFS离散傅里级数的推导意义 用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式 (DFS)对数字信号处理有实用价值。 但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种

8、形式推出 DFS. 1.由非周期连续时间信号推出 DFS 连续 信号 x(t)经过抽样为 x(nT), 对离散的时间信号进行 DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为 DFS. x(t) t 取样 x(t) t DTFT X(ejT) 采样 X(ejw) w 2.周期性连续时间信号函数 周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数 (DFS)。 x(t) X(ejw) t w 采样 3.非周期离散时间信号 非周期离散时间信号经过序列傅里叶变换 (即单位园上的 z变换 )DTFT, 得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。

9、 x(t) t X(ejT) w X(ejw) DTFT 采样 三、推导 DFS正变换 以下由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。 非周期信号 x(n),其 DTFT(单位园上 z变换 )为 其为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为： nj n wjw enxeX )()(N2推导 DFS正变换续 得到频间距为： 代入 DTFT式子中得： kNw 2 12,1,0 Nk 1022 )()()( NnkNjnkNwjw enxeXkX12,1,0 Nk 四、 DFS的反变换 即证： 证明： 已知 两边同乘以 ,并对

10、一个周期求和 )()( nxkX I D F T 102)()(NnkNjnenxkX12,1,0 Nk krNje 2DFS的反变换续 )()1)()()(10)(210210210210rxNeNnxNeenxekXNknrkNjNnrkNjNknkNjNnkrNjNk根据正交定理 nrnr01用 n置换 r得： 102)(1)(NnknNjekXNnx 12,1,0 Nn 回顾 DFS 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxn

11、xD F SkX210101( ) ( ) ( )()Nj nkNkNnkNkx n I D F S X k X k eNx k WNjN eW2其中 : 五、离散傅里叶级数性质 可以由抽样 z变换来解析 DFS， 它的许多性质与 z变换性质类似。 它们与 z变换主要区别为： (1) 与 两者具有周期性，与 Z变换不同。 (2)DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系。 它们主要性质分为：线性、序列移位 (循环移位 )、调制性、周期卷积和 )( nx )( kX(1)线性 )()()()( 2121 kXbkXanxbnxaD FS (2)序列移位 (循环、移位 ) 时域 频域 )()( kX

12、WmnxD F S mkN )()( nxWlkXI D F S nlN(3)调制性 )()( lkXnxWD F S nlN (4)时域卷积 周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积。 时域卷积等于频域相乘。 频域 ： )()()( 21 kXkXkY 11201210( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )NmNmy n I D F S Y k x m x n mx m x n m (5)频域卷积 )()()( 21 nxnxny 10121021)()(1)()(1)()(NmNlmnXmXNlkXlXNnyD F SkY时域： 第四节 离散傅里叶变换 DFT 一、由 DFS引出 DFT的定义 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 , 因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换 (DFT). 具 体 而 言 , 我 们 把 (1) 时域周期序列看作是有限长序列 x(n) 的周期 延拓 ; (2) 把频域周期序列看作是有限长序列 X(k)的周期 延拓 . 由 DFS引出 DFT的定义 -续 (3) 这 样 我 们 只 要 把 DFS 的 定 义 式 两 边 取 主 值 区 间 , 就 得