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1、第 1 页 共 8 页二次函数的复习讲义资料知识点 1.二次函数的定义1、一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y叫做 x的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据2、当 b=c=0时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）Ay=ax 2+bx+c B。 C。 D。y=x(x 1) 2)1()(xxy xy12练习（2）如果函数 是二次函数，那么 m的值为 3(2m知识点 2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对
2、称轴、顶点坐标、增减范围、极值。已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。（1） 、二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cbxay2 y（ 2） 、 二次函数 ，当 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ；0a当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶 点 为 其 最 高 点（3） 、对于 y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ， ） 对于 y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（ ， ） 。 二 次 函 数 用 配 方 法 或 公 式 法 （ 求 h时 可 用cbxay2代 入 法 ） 可 化 成 ： 的
3、形 式 ， 其 中 h= ,k= khxay2)(练习（）抛物线 的图象的开口方向是_, 顶点坐标是_.18x练习（）若抛物线 的最低点在 轴上，则 的值为 23)(2my xm（4） 、二次函数 的对称轴为直线 x= ba运用抛物线的对称性求对称轴，cbxa2由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点 A（m ,n） 、B(p ,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线 x= 2pm练习（）已知 、 是抛物线 上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对AB243yx称，则点 、 的坐标可能是_ （写出一对即可）
4、（5）增减性：二次函数 的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它cba2的增减性）若 ， 当 x 时 （ 在对称轴 侧） ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 时 （ 在对0a第 2 页 共 8 页称轴 侧） ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 若 ， 当 x 时 （ 在对称轴 侧） ， y随 x的0a增 大 而 增 大 ， 当 x 时 （ 在对称轴 侧） ， y随 x的 增 大 而 减 小 ，练习（）已知抛物线 （ 0）的对称轴为直线 ，且经过点2abxc1x21， ， ， 试比较 和 的大小： _ （填“” ， “0时，函数有最 值，并且当 x= 时，y 最 值= ；当
5、al C l D lm练习（12） 、若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3则当 x=1 时，y 的值为 （可用多种解法）2、画二次函数的图象：特性函数特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内练习（9）图第 3 页 共 8 页首先将一般式化为顶点式画对称轴确定顶点确定与 y 轴交点关于对称轴对称的点确定与 x 轴的交点或另选一组较简的对称点连线练习（13）已知二次函数 .画出它的图象215yx3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物
6、线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线a的形状大小完全相同，只是顶点的位置不同.反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系数 的绝对值相同。抛物线的平移、对称、旋转过程中， 的值不变。a 抛物线 y=ax2+bx+C向上平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线 y=ax2+bx+C向下平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线 y=ax2+bx+C向左平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线 y=ax2+bx+C向右平移 n（n0）个单位后的解析式 y= 抛物线 y=ax2+bx+c关于 X轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换
7、为 ，再整理） 抛物线 y=ax2+bx+c关于 Y轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）练习（14）将抛物线 23xy绕原点按顺时针方向旋转 180后，再分别向下、向右平移 1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A. 1)(32xy B. 1)(2xyC. D. 第 4 页 共 8 页二次函数 的图像向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位，得到函数图像cbxy2的解析式为 ，则 与 分别等于（ ）1bcA、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、144、抛物线 y=ax2+bx+c 的位置与参数 a、b、c 及相关特殊代数式的符号的关系：a 的符号判
8、别-开口向上 a 0；开口向下 a 0；c 的符号判别-由抛物线的与 Y轴的交点来确定：若交点在 y轴的正半轴 c 0；若交点在 y轴的负半轴 c 0；若交点在原点 c 0；b 的符号由 a和对称轴来确定：对称轴在 y轴的左侧 a、b 同号；对称轴在 y轴的右侧 a、b 异号。a+b+c 的符号由 x=1 时的点的位置决定; ab+c 的符号由 x=1 时的点的位置决定点（1，a+b+c）在 x轴上方 a+b+c 0点（1，a+b+c）在 x轴下方 a+b+c 0点（-1，a-b+c）在 x轴上方 a-b+c 0点（-1，a-b+c）在 x轴下方 a-b+c 0b+2a 的符号由对称轴与 1的
9、大小关系确定；b2a 或 2a-b的符号由对称轴与-1 的大小关系确定的符号由抛物线与 x轴的交点个数确定2 个交点. 01 个交点. = 00 个交点. 0练习（16）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4知识点 3：确定二次函数的解析式1、二次函数解析式常用的有三种形式：(1) 当已知抛物线上任意三点（题设中直接或间接给出）时，通常设为一般式yax 2bx c 形式。(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式。(3) 当已知抛物线与 x 轴的
10、交点或交点横坐标时，通常设为两根式 ya(xx 1)(xx 2)练习（17）有一个运算装置，当输入值为 x时，其输出值为 ，且 是 x的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为 5, , 此二次函数的解析式是_ 2134练习（18）抛物线与 x 轴一个交点的横坐标为2，顶点为(2,8),它的关系式为 练习（19）直线 交 轴于 A点，交 轴于 B点，过 A、B 两点的抛物线交 轴于另3yy x一点 C（3,0）. 抛物线的解析式为 抛物线与 x 轴有-1 1y练习（16）图第 5 页 共 8 页练习（20）已知抛物线 经过点（0，3） ，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与2y
11、xbcx 轴的一个交点在(1，0)和(3，0) 之间你所确定的 b 的值是 练习（21）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：2axyx 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 你能得到抛物线的哪些特征？（至少写出四条）解析式是什么？知识点 4：二次函数与一元二次方程1、二次函数与一元二次方程的关系：(1) 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的值等于 m 的自变量 x 的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即 ax2+bx+c-m=0)的解。反过来,解方程 ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函数y=ax2+bx+c 值为 0 时求自变量 x 的值.(2)二 次
12、 函 数 的 图 象 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 就 是 一 元 二 次 方 程cbay的 根 cbxa二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的关系.一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点情况b2-4ac0 有两个不相等的根 有两个不同的交点b2-4ac=0 有两相等的根 只有惟一的一个交点b2-4ac0,则 m 的取值范围是( )A.m ; B.m ; C.m ; D.m14141414练习（26）已知关于 x的函数 y（m1）x 22xm 图像与坐标轴有且只有 2个交点，则m 练习（26）
13、已知抛物线 的图象与 x 轴有两个交点为 ，且2 ),0(1x2，m= 521x练习（26）a 取何值时,抛物线 y=x2+ax+a-2 与 x 轴的两个不同的交点间的距离最小?练习（27）已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m的值；5（2）设 C为抛物线与 y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC的面积等于 27，试求 m的值.练习（28）如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A、C 的坐标分别是（-1，0） （0，1.5）（1）求此抛物线的函数关系式。（2）若点 P 是此抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求三角形 ABP 面积的最大值。（3）问：此抛物线位于 x 轴的下方是否存在一点 Q， ，使ABQ 的面积与ABP 的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。知识点 5：二次函数的应用：1、解决实际问题时的基本思路：练习（25）图练习（25）图第 8 页 共 8 页(1)分析理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)设谁为自变量 x，谁为函数 y， ，找到变量间的相等关系，用函数表达式表示出 y与 x之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等2、二次函
