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1、简明数学史课程背景数学是人类文化的重要组成部分。数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。数学史是数学文化里的重要组成部分。高中学生通过对数学发展简史的了解，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，从而提高自身的文化素养和创新意识。二.学习方式 本课程教师讲座与学生上网或图书馆查资料同时进行，有些课可组织学生进行交流。三.课程计划1 开设年级：本课程拟在高一年级开设。2 课时：定 4 课时，包括课堂学习、相互交流。四.课程内容简明数学史数学是自然科学的一种，是其它科学的基础和工具。从本质上看，数学是研究客观世界的数量关系与
2、空间形式的科学。简单讲，数学是研究数与形的科学。对这里的数与形应作广义的理解，它们随着数学的发展，而不断取得新的内容，不断扩大着内涵。数学来源于人类的生产实践活动，即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地和测量容积、计算时间和制造器皿等实践，并随着人类社会生产力的发展而发展。对于非数学专业的人们来讲，可以从三个大的发展时期来大致了解数学的发展。第一节 初等数学时期初等数学时期是指从原始人时代到 17 世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转
3、折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用“初等数学”(即常量数学)来概括，它大致相当于现在中小学数学课的主要内容。随着生产实践的需要，大约在公元前 3000 年左右，在四大文明古国巴比伦、埃及、中国、印度出现了萌芽数学。现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版，这些泥版是在胶泥还软的时候刻上字，然后晒干制成的(早期是一种断面呈三角形的 “笔 ”在泥版上按不同方向刻出楔形刻痕，叫楔形文字)。这些数学泥版表明，巴比伦自公元前 2000 年左右即开始使用 60 进
4、位制的记数法进行较复杂的计算了，并出现了 60 进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算。公元前 300 年左右，已得到 60 进位的达 17 位的大数；一些应用问题的解法，表明已具有解一次、二次(个别甚至有三次、四次 )数字方程的经验公式；会计算简单直边形的面积和简单立体的体积，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比伦人对于天文、历法很有研究，因而算术和代数比较发达。巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的理论。对埃及古代数学的了解，主要是根据两卷纸草书。
5、已经发现的一卷约写于公元前 1850年，包含 25 个问题(叫“莫斯科纸草文书 ”，现存莫斯科)；另一卷约写于公元前 1650 年，包含 85 个问题(叫“莱因德纸草文书 ”，是英国人莱因德于 1858 年发现的) 。从这两卷文献中可以看到，古埃及是采用 10 进位制的记数法，但不是位值制，而是所谓的“累积法” 。正整数运算基于加法，乘法是通过屡次相加的方法运算的。除了几个特殊分数之外，所有分数均极化为分子是一的“单位分数”之和，分数的运算独特而又复杂。许多问题是求解未知数，而且多数是相当于现在一元一次方程的应用题。利用了三边比为3：4：5 的三角形测量直角。埃及人的数学兴趣是测量土地，几何问
6、题多是讲度量法的，涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了发展。由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响，成为欧洲最先创造文明的地区。在公元前 775 年左右，希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母后，文字变得容易掌握，书写也简便多了。因此希腊人更有能力来记载他们的历史和思想，发展他们的文化了。从公元前 6 世纪到公元
7、 4 世纪，古希腊成了数学发展的中心。希腊数学大体可以分为两个时期。第一个时期开始于公元前 6 世纪，结束于公元前 4 世纪，通称为古典时期。泰勒斯开始了命题的逻辑证明；毕达哥拉斯学派对比例论、数论等所谓“几何化代数”作了研究。进入公元前 5 世纪，爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运动的悖论；研究“圆化方”的希波克拉茨开始编辑原本 。从此，有许多学者研究“三大问题” ，有的试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题。柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里士多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具；德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。公元前四世纪，泰埃特托斯研究了无理量理论和
8、正多面体理论，欧多克斯完成了适用于各种量的一般比例论。 “证明数学”的形成是这一时期希腊数学的重要内容。但遗憾的是这一时期并没有留下较为完整的数学书稿。第二个时期自公元前 4 世纪末至公元 1 世纪，这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚，因此被称为亚历山大里亚时期。这一时期有许多水平很高的数学书稿问世，并一直流传到了现在。公元前 3 世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的集大成的著作几何原本 ，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为数学史乃至思想史上一部划时代的名著。之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来，根据力学原理去探求几何图形的面积和体积，第一
9、个播下了积分学的种子。阿波罗尼写出了圆锥曲线一书，成为后来研究这一问题的基础。公元一一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的测量术等著作。二世纪的托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成著作数学汇编 ，结合天文学研究三角学。三世纪丢番图著算术 ，使用简略号求解不定方程式等问题，它对数学发展的影响仅次于几何原本 。希腊数学中最突出的三大成就欧几里得的几何学，阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论，标志着当时数学的主体部分算术、代数、几何基本上已经建立起来了。从 5 世纪到 15 世纪，数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这 1000 多年时间里，数学主要是由于计算的
10、需要，特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲学家不同，东方的数学家大多数是天文学家。从公元 6 世纪到 17 世纪初，初等数学在各个地区之间交流，并且取得了重大进展。古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何；而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用，强调数学是支配自然的工具，重点是算术和代数。大约在公元前 1000 年，印度的数学家戈涅西已经知道：圆的面积等于以它的半周长为底，以它的半径为高的矩形的而积。印度数学的全盛时期是在公元五至十二世纪之间。在现有的文献中，499 年阿耶波多著的天文书圣使策的第二章，已开始把数学作为一个学科体系
11、来讨论。628 年婆罗门这多( 梵藏 )著 梵图满手册 ，讲解对模式化问题的解法，由基本演算和实用算法组成；讲解正负数、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等组成。已经有了相当于未知数符号的概念，能使用文字进行代数运算。这些都汇集在婆什迦罗 1150 年的著作中，后来没有很大发展。阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元 8 至 15 世纪) 在阿拉伯语的文献中看到的数学。阿拉伯数学有三个特点：实践性；与天文学有密切关系；对古典著作做大量的注释。它的表现形式和写文章一样，不用符号，连数目也用阿拉伯语的数词书写，而“阿拉伯数字”仅用于实际计算和表格。阿拉伯人改进了印度的计数系统，
12、 “代数”的研究对象规定为方程论；让几何从属于代数，不重视证明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来。在西欧的历史上， “中世纪”一般是指从 5 世纪到 14 世纪这时期。从 5 世纪到 11 世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代，除了制定教历外，在数学上没什么成就。12 世纪成了翻译者的世纪，古代希腊和印度等的数学，通过阿拉伯向西欧传播。13 世纪前期，数学在一些大学兴起。斐波那契著算盘书 、 几何实用等书，在算术、初等代数、几何和不定分析方面有独创的东西。14 世纪黑死病流行， “百年战争”开始，相对地是数学
13、上的不毛之地。奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定点的位置。15 世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着希腊文化的财富流入意大利。大约在这个世纪的中叶，受中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底变革了书籍的出版条件，加速了知识的传播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲，不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、航海、天文学和测量学的影响下，西欧作为初等数学的最后一个发展中心，终于后来居上。15 世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著三角全书是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。16 世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和
14、四次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数。16 世纪最伟大的数学家是韦达，他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中最著名的分析方法入门改进了符号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数；雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人，他还雇用了一批计算人员，花费 12 年时间编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。其中一个是间隔为 10、10 位的 6 种三角函数表，另一个是间隔为 10、15 位的正弦函数表，并附有第一、第二和第三差。由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加，一批普及的算术读本开始出现。到 16 世纪末，这样的书不下三百种。 “” 、 “”、 “”等
15、符号开始出现。17 世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就。1614 年，耐普尔首创了对数，1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向前推进了一大步。初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前 6 世纪以前；几何优先阶段，公元前 5 世纪到公元 2 世纪；代数优先阶段，3 世纪到 17 世纪前期。至此，初等数学的主体部分算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。中国古代数学将在后面的作专门介绍。总的说来，萌芽阶段是数学发展过程的渐变阶段，积累了最初的、零碎的数学知识。第二节 变量数学时期变量数学时期从 17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代，这
16、一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成了现代大学数学课程(非数学专业 )的主要内容。十六、十七世纪，由于资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念，从此数学进入了变量数学时期。它以笛卡儿的解析几何的建立为起点(1637 年) ，接着是微积分的兴起。在数学史上，引人注目的 17 世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事。首先是伽里略实验数学方法的出现，它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。伽里略的实验数学为科学研究开创了一种全新的局面。在它的影响下，17 世纪以后的许多物理学家同时又是数学家，而许多数学家也在物理学的发展中做出了重要的贡
