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1、142韶关学院第一届数学建模竞赛题（ 大专组 ）一、水厂设立、两镇相距公里，镇位于一直线形河岸边，镇距离河岸公里.两镇计划在此河边处合建一个水厂取水.已知从水厂到镇和镇水管铺设费用分别为 和 .试确定水厂的位置，使水管铺设公 里元 公 里元总费用最少.并求出其最少费用.二、 截割方案有一批米长的合金钢材.现要截割成长为厘米和厘米两种规格.试确定截割方案（即一根米长的钢材截几根厘米和几根厘米的材料） ，使钢材利用率最高.并求出最高利用率.三、 投资决策某公司正筹划投资生产产品或产品，根据以往情况和市场预测显示：投资产品需要费用万元，投资产品需要费用万元；若市场销路好，产品年利润可达万元，产品年利
2、润可达万元；若市场销路坏，产品年亏损万元，产品年亏损万元；未来十年内销路好的频率为.，销路坏的频率为.公司决定在、两产品中选择一种投资，请你为公司决策：确定投资的产品，使投资回报率（即投资利润与投资金额之比）最大.并求出两产品的投资回报率.四、 生产安排某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力143及所获利润如下表所示：品种 原材料（千克）能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千元）甲 乙 现有库存原材料 1400 千克；能源消耗总额不超过 2400 百元；全厂劳动力满员为 2000 人，试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大，并求出最大利润.五、 最优
3、联网某乡的乡政府与它的几个村、进行信息联网，已测得各村及乡政府间的联网费用如下表（单位：千元）“一”表示两村不能直接联网.请设计一个最优联网方案，使各村之间与乡政府都能连通，而联网费用又最小（图示联网方案） ，并求出最小联网费用.六、 最佳存款S A B C D E FS 7 8 6 3 4 5A 7 2 _ _ _ 2B 8 2 5 3.6 _ 4C 6 _ 5 5 _ _D 3 _ 3.6 5 3 5.6E 4 _ _ _ 3 4F 5 2 4 _ 5.6 4144中国人民银行经过几次下调存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：存期 一年期 二年期 三年期 五年期年利率% 2.25% 2
4、.43% 2.70% 2.88%现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存一万元，以供 6 年后上大学使用。若此期间利率不变，请为其设计一种存款方案，使 6 年后所获收益最大.并求出最大收益.第一届校内数模竞赛（大专组）参考答案一水厂设立如图，设 ，则 AC 的费用为 400x，（ 公 里 ）2.31540,2ADxC的费用为 ，此问题的数学模型为B.6xmin S = 400x + 22.310x模型的求解：，22.31564xdxs令 = 0 ，得到驻点 x 8.80由实际意义或求二阶导数可说明驻点 x 是最小值点，最小费用为0( 答略).（ 元 ）.2367S二截割方案设 1 米长的钢材截
5、27 厘米的 根,15 厘米的 根.则此问题的数学模型为:xy145Zyxyxts,0,1527.ma模型的求解:方法 1: 在区域 内确定出与直线15.027.,0yx最近的格点；15.027.:yxl方法 2: 由 穷举.27x方法 3: 用 数学软件.Lindo求解结果: .3,yx最高利用率： .%9103527max三投资决策投资生产 A、B 两产品的利润分别为（万元）42010)4.26.01( R（万元）33B投资回报率分别为.40132,.1042BA故应对 A 产品进行投资, 投资回报率将最大.四生产安排设安排生产甲产品 件，x146乙产品 件，相应的利润为 S.则此问题的数
6、学模型为yZyxxtsyxS,0,246143.5ma模型的求解：方法一：图解法.可行域为：由直线 0,24:46132:31yxll及组成的凸五边形区域.直线 在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当 过 的交点时，Cl65: l31l与S 取最大值. 由 解得：20413yx 20,4yx（千元）(答略)605max方法二：用 Lindo 软件或 Maple 软件求解.五.最优联网以村（包括乡政府）为顶点，可直接联网的两村则连边，联网费用作为边上的权，得到一个赋权连通图 G 如下：147由破圈法或避圈法求得 G 的最优树 T（上图波浪线） ，最优联网方案为SD、DC、DE、DB、BA、AF
7、或 SD、BC、DE、DB、BA、AF最小联网费用为 千 元 ）(6.185.32min s六、最佳存款设存款分 n 次进行，每次的存期分别为 , 这里 1 n 6，1x.,2nL，存期集合为 S1,2,3,5.nix16存期为 时，对应度年利率为i ir当 =1 时， =0.0225；当 =2 时， =0.0243；ixirixi当 =3 时， =0.0270；当 =5 时， =0.0288；ii iir设将一万元分 n 次进行，每次存期分别为 , 所得的收益为1x.,2nL.则此问题当数学模型为xf,21Lniinrxf 14210,mas.t. . 1 n 6 ，nix1Si易知函数 的
8、值与 , 的顺序无关.nf,2L1x,2nL不妨设 .则（ , ）的所有取值为xx1 .（1，1，1，1，1，1） ， （1，1，1，1，2）,（1，1，2，2） ， （1，1，1，3） ，（1，2，3） ， （1，5） ， （2，2，2） ， （3，3）现计算 的值如下：nxf,L25.14805.,6414807.146203.2105.12, 44 f 952.7.3,34f 41.02031240125012 .698.5,4 f .315027.13,4f故最佳存款方案为：先存一年期再存一个五年期，所得的最大收益为 11697.4元.韶关学院第一届数学建模竞赛题A 题、水产的养殖与捕
9、捞人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖） ，其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比.而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加.但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去.现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。用 x（t）表示养殖场中第 t月的虾量（单位：斤） ，用 y(t)表示第 t 月的月养殖费（单位： ）.根据以往经月元验和市场调查，我们有如下数据：这种虾的自然死亡率为 ;月 ）1(05.,环境容许的最大虾量为 10 （斤） ；N， 4在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量 x(t)的增加速度与月养殖费 y(t)成正比，其比例系数是
10、x(t)的函数；当 x(t)达到 N 时，此函数为 0；当 x(t)为 0 时，此函数为常数 ） ；元 ）斤（， 1虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量 x(t)成正比，比例系数为 E.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为 0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为 ；斤 ）元(1.0,149小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为 5 元，7 元和 10 元.1、若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费 y(t)与该月虾量 x(t)成正比，比例系数为 .试制定捕捞策略月 ）斤元 (2.0,a（确定 E） ，使虾的月利润最大
11、，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？2、若某人承包此养殖场 5 年，且月养殖费 y(t)与该月虾量 x(t)成正比，比例系数为,又取 E0.08 .试制定养殖策略（确定 a）,使 5 年的总利润最大.如果初a）月（ 1始虾量为 10 斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？33、若某人承包此养殖场 5 年，每月按强度 E0.1 捕捞，试制定养殖场策略）月（ 1（确定养殖费 y(t)）,使年的总利润最大.题、产品的零件安装设计一种产品由个零件安装而成，这个零件分别用 表示，一1521,A个零件只能由一个工人来安装，一个熟练工人安装 需要时间为 （单位：分钟）iAit. 16,5,9,7,1,
12、4 13,0,82658014321 97432 ttttt tt此产品的个零件正等待工人来安装.若这个零件由一个工人来安装，试给出一个安装次序，使各零件安装完的时间（包括等待安装时间）之和最少，并给出其最优性的证明.在一个工人安装时，若零件 紧接着零件 安装完后进行安装，需要准备时间jAi满足ijt, ).15(mod,150,kikij p试设计一个安装次序，使这个工人完成此产品安装任务的时间最少，并算出最少时间.若某些零件必须另一些零件安装后才能进行安装，各零件需先前安装的零件如下表： iA12A345A678A先前安装的零件 62, 61,41,243,73,150iA910A1213
13、A415A先前安装的零件 875, 105,97,32,4,不考虑准备时间 即 .,ijtij（）当此产品的零件由两个工人来安装时，完成任务的最少时间是多少？并为此两工人设计出安装方案.（）如果工人足够多，完成产品的零件安装任务的最少时间将如何？（）当此产品的零件仍由一个工人来安装，设计一个满足要求的安装次序，使各零件安装完的时间（包括等待安装时间）之和最少.（）韶关学院第一届数学建模竞赛题(本科组)A 题 水产的养殖与捕捞一、模型假设、养殖场不与其它水域发生关系，是一个独立的生态群体；、虾群是一个独立的种群，不与其它生物发生竞争；或者虽有竞争，但其影响限于虾的自然死亡率之内；3、虾的捕捞采用
14、固定努力量捕捞，每月的捕捞强度系数 E 是常量；4、虾的销售不成问题，即打捞的虾都能卖出，且价格不变. 销售成本费用忽略不计；、在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量 x(t)的增长速度与月养殖费y(t)成正比. 其比例系数是 x(t)的线性减函数：P(x(t)=A Bx(t).二、基本模型1、自然死亡规律： = x(t)dtx)(2、捕捞模型 ： =Ex(t)3、由假使 5 知：P(x(t)=ABx(t)，又由题设条件：当 x(t)=N 时，P(x(t)=0；当 x(t)=0 时,P(x(t)= .解得: A= ,B= . 从而 P(x(t)= (1 ).NNtx)(1514、在捕捞和自然死
15、亡的情况下,养殖场虾量随时间变化的数学模型为：= (1 )y(t)( +E)x(t)dtx)(Ntx)5、关于虾的平均价格设虾的价格是一随机变量 ,由题设知： 的取值为 5、7、10. 其出现的概率分别为： P( =5)=0.2,P( =7)=0.5,P( =10)=0.3， 则 的数学期望( 平均值)为：E =5 0.2+7 0.5+10 0.3=7.5. 即虾平均每斤的批发价格为 7.5 元. 记为 p三. 关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略1、每月虾量相等的养殖场虾量每月的虾量相等 =0.dtx)(由基本模型 4 知： =0 (1 )y(t)( +E)x(t)=0.Ntx)又由题设条件:：y(t)=ax(t). 得 =0 a(1 )x( +E)x=0.dtNxx =N ，x =0 (舍去) .1aE
