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1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目 二次型在微积分中的应用学 生 姓 名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 数学 052 指导教师 二 00 九年五月十日目 录0 引言（1）1 二次型在广义重积分计算中的应用（1）1.1 预备知识 1（1）1.2 考虑形式为 12,12nfxnedx 的广义积分 （4）1.3 应用（5）2 二次型在求多元函数极值上的应用（7）2.1 利用海森( Hesian)矩阵的正定性判断多元函数的极值（7）2.2 利用矩阵 A 的正定性及秩(A)的情况判断二次多项式的极值 （9）结束语 （10）致谢 （10）注释 （10）参考文献 （11）辛慧凡 二次型在微积分中的
2、应用1二次型在微积分中的应用辛慧凡（数学与应用数学系 指导教师：陈梅香）摘要：二次型是线性代数的基本内容，其用途十分广泛，而积分上下限皆为无穷的 n重广义积分，在工程技术等领域中有着重要应用，但用变量替换的方法求解这类重积分往往会比较复杂，本文将以二次型与正交变换为工具，给出一类特殊重积分的基本计算公式；其次数学中求函数极值问题的方法有很多种,本文着重研究用二次型矩阵的正定性来求一种特殊类型的多元函数的极值，然后讨论一般元二次式的极值，给出一种极值的判定和求极值的一般方法关键词：二次型 正定矩阵 极值 n重积分 应用Abstract：Quadratic form is the basic co
3、ntent of linear algebra with a wide application. In fact, n-tuple improper integral plays an important role in engineering technology, but it is quite complicated to solve this kind of problem by variable substitution. This article uses quadratic form and orthogonal transformation as tools to give a
4、 calculation formula of this type of integral. Second, there are many calculations of the function extremum. The paper mainly studies a method to calculate the extreme value of a class of multivariate function by the positive definite of a matrix, then talks about the general condition and gives gen
5、eral method for the decision and calculation of extreme value.Keywords: quadratic form positive definite matrix extreme value n-tuple integral application0 引言 二次型理论已广泛应用于力学、物理学以及数学的其它分支，如二次型在多元函数求极值上的应用、在 n重广义积分计算上的应用因此，二次型理论的思想与方法不仅是高等代数研究的一个重要内容，也是进一步学习其它相关学科的基础在解数学题的过程中，大家总是尝试着寻找更简便的方法来解答，数学分析中主要
6、应用变量替换求解重积分，这类方法比较复杂，而通过二次型的理论求解一类特殊的 n重积分，会更简便另一方面，对于函数的极值问题，在所学的数学分析中，已给出了判断二元函数 ,fxy在点 0,取极值的充分条件(见文献1 )，但是这种方法对三元及 n4元的函数并不适用，但在实际应用问题中更经常遇到三元以上函数的极值问题，现通过讨论二次型的正定性，来探讨多元函数的极值问题 1二次型在广义重积分计算中的应用1.1预备知识 11.1.1正定矩阵的判定 2：设 A是一个 n阶实对称矩阵，以下条件都是 A为正定矩阵的充要条件：1) 的特征值都是大于零；2) 的顺序主子式都大于零1.1.2 有关半正定矩阵的若干等价
7、条件 2： 1） 是半正定矩阵；2） 的所有主子式 0；3） A的特征值 1.1.3负定矩阵的判定 3：对 X，有 ，则 A为负定矩阵定义 13 欧氏空间 的线性变换 称为正交变换，若它保持向量的内积不变，即对于任意V，都有 ,V,定理 13设 是欧氏空间 的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1) 是正交变换；2) 保持向量的长度不变，即对于 ， |；3) 若 12,ne 是标准正交基，那么 12(),()nee 也是标准正交基；4) 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵定理 24正交变换不改变向量的夹角，即方向不变定理 34正交变换的雅可比( Jacobi)矩阵行列式值之绝对值等于
8、 1辛慧凡 二次型在微积分中的应用2即若12112212nnnnxccy 为正交变换，则 12,1nxJy 定理 4设正交变换 ： 12112212nnnnxccy 若 12(,)nfx 在 上连续，则有12 12121, ,nniii nixdxfcycydy 证明 因为 是正交变换，所以由定理 3 知 12,nxJ 又由三重积分的变量替换(注释 ) ，故将其推广至 重积分有121212121, ,nnnnniii nifxdxfcycyJdy 12111,iii nifcycyd 得证定理 54设 22111323, TFxaxaxayXA其中 1Xy，32123A， TX表示矩阵 的转置
9、， ijji，矩阵 的行列式记为 若 1230a，则经过平移 0xy，即 0xy(其中 310Ax， 320y),Fxy将成为 22113axa推论 设 12 ,1,11,nnijiinifx x121,21212,21,1nn nnnxaaxx 若 1,0nA，则经过平移后 12,nf 成为辛慧凡 二次型在微积分中的应用311,niji nAax ijjia，其中 1, ,2,000121nnnAxx ，121,1211,21,1nijnnnnaaa ，0120nxxx定理 63 任意一个实二次型 121,nijifxax， ijjia都可以经过正交的线性替换 1212212nnnnccyx
10、 变成平方和 2yy其中平方项的系数 12,n 就是矩阵 121212nnnaaA 的特征多项式的全部的根定理 7 若 1,0nA，则12 ,1,11,nnijiinifxaxxa12,221121,21,nn nn xxxaa 通过两步正交变换（平移与旋转）一定可以化成 221 1,nnAyy，其中 i为矩阵12212nnnaa 的特征值，辛慧凡 二次型在微积分中的应用4且121,21,21,nnnaaA ，1212,12nnnnaaA 证明 由推论知，经平移后，1211,nijjijjii nfxaxaA又由定理 6 知 2211nijj ni yy，其中12112212nnnnxccy
11、故 212 ,1,11 1,nnijiini nAfxaxxay ，得证1.2 计算如下形式的广义积分 12,12nfxnedx ，其中 12,nfx 是二次多项式1.2.1 情形一：设 , 是一个 元二次齐次式，则只需考虑如下形式的 重广义积分： 12TXAnedx 其中 12,=TnfxXA 是一个实二次型， ,T ， A是该实二次型的系数矩阵由定理 6 知，存在正交矩阵 P，使得 221T nyy其中 XPY， 12,nx ， ,TnY ，则 TAXed 2211nyyndy 21 （1）1） 当 是正定矩阵时， 都大于零，上式右端的各积分都存在，而由注释知A12,n，故上式右端积分各项
12、的值分别等于 2xed 12,n又 12n ，于是（1）式右端变为2nA2）当 A是非正定矩阵时， 2,n 中会出现零或负数，从而（1）式右端中相应于零或负数特征值的积分变为发散， （1）式右端变为 故有以下结论：辛慧凡 二次型在微积分中的应用5212,T nXAnAedx 当 是 正 定 矩 阵 时， 当 是 非 正 定 矩 阵 时， 421.2.2 情形二：设 12 ,1,11, 2nnijiinifxaxxa1）设 1nijiaijji为正定型，则矩阵21122nnnBaa 为正定矩阵，且 1,nBA，因 是正定矩阵，所以 B的特征值 120,0n ，从而 1,12nnAA ，故由定理 7 知存在正交变换 P， YX使12 ,1,11, 2nnijiinifxaxxa2 1,nnAyy ,于是由定理 1,234得12,12nfxnedx 121,2=nnAyyndy 21, 11n nAyee 221,1n nyd 1, 1,21 1,n nAAnee 2）当nijiaxijji为非正定型时，类似于情形一的 2）知，积分变为发散则有结论： 1,12,121,nn nAfxneedx 当 是 正 定
