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1、15 利率衍生工具定价在了解了利率衍生工具的基本特征后，本章将讨论如何对前面介绍的几种利率衍生工具及其定价，主要有利率期货、利率互换及利率上、下限协议等。15.1 利率期货合约在衍生工具定价的讨论中，经常使用的一种思考方法被称为无套利分析法，其基本原理是假定市场是充分有效的、市场信息是充分且完全的、市场信息的扩散是瞬间完成的，在这些假定下，任何套利机会，即不需要任何净投资就能获得净利润的机会都不可能长期存在，即任何套利机会都可能在瞬间即被利用，市场价格对资产真实价值的任何偏离，都可以在瞬间回到资产的真实价值上来。衍生工具定价分析中常用的技术之一是所谓的证券组合复制技术，即在理论上，通过不同的金
2、融工具，组合成风险和收益相同的资产组合，并根据市场有效原理，即风险与收益相同的资产组合在市场上应具有相同的价格，任何价格差都会因为市场的套利机制而消失。本章对债券期货的定价讨论，也将沿用这一思路。15.1.1 债券期货的无套利定价现假定某 6 个月期国债券期货相关条件如下：债券期限为 20 年、息票利率为 8、市场无风险借贷利率为 5，且标的债券当前的市场价格为 110 美元元，则债券期货的价格应为多少呢？根据上面的无套利原理，可以设想，国券期货的价格无论是高于还是低于其真实价值，都可能出现套利机会。要求出债券期货的理论价值，关键是弄清楚对债券期货进行套利的过程。这里涉及的资产包括：债券、债券
3、期货、无风险可借贷资金。其中，期货的要求是，到期时必须按合同进行交割，这一合约的标的债券本身是一种可接受债券，直接购买标的债券是可以满足期货交割要求的；相应的交易方式包括：债券的多头或空头、债券期货的多头或空头；无风险可借贷资金的借入或借出。相关资产的收益情况为：现金用于投资可产生无风险收益、借入资金须付出至少无风险利率的成本、债券有息票收入。债券期货多头的风险与收益情况是：与空方签订期货合约，在合约到期后按期货合约规定的价格买入债券；债券期货空头的风险与收益情况则是：与多方签订期货合约，在合约到期时，按合约规定的价格出售债券给对方。要使这些资产相互衔接，形成风险与收益和债券期货相似的组合，无
4、非有两种交易策略，一种是在签订多头合约的同时卖空标的债券、并以卖空所获得的资金按无风险利率进行投资，在期货合约到期时，收回投资的资金和利息，并用其在市场上按期货合约规定的价格买入债券，从而偿还卖空时借入的债券，卖空债券所得- 按期货价格购买债券的支出卖空所得的投资收入就是这一交易策略的所得；另一种策略是签订合约的同时，通过借入资金、并使用借入的资金买进债券，在期货到期时，用先买入的债券按期货价格进行交割，这时，交割时取得的收入-债券的购买成本 -借入资金的利息成本就是这一交易策略的全部收入。下面先看第一种情况：假定当前期货的价格为 X 美元元，投资者按市场价格 110 美元元卖空债券，获得 1
5、10 美元元，并以无风险利率 5进行投资，半年后，能取得的全部资金为 112.75 美元元，而期货到期时，要使卖空债券的投资者相对于期货投资者无法取得净无风险收益，则期货的价格应为：X 1008/2110+1105/2，即 X 应为 108.75 美元元。其中，1008/2 表示债券所累积的息票利息收入（这里假定了息票利息的支付时间与债券的交割时间是一致的，且归债券的买入方所有） ，1105/2 表示，将卖空债券获得的资金作无风险借出时取得的收益。再看第二种情况，同样假定债券期货的价格为 X 美元元，假如投资者从市场上借入110 美元元，并用于购买债券；同时按 X 美元元的价格卖空债券期货，将
6、 X 美元元以无风险利率借出，当期货到期时，投资者要支付给贷款方的金额是：110+1105/2 美元元，而从卖空期货合约所取得的全部收入为：X 1008/2 美元元（假定息票利息归卖空债券期货的空方） ，同样，要使这两种投资方式之间没有套利机会，二者就应相等，同样，可以计算出债券期货的价格应为 108.75 美元元。将上面的例题一般化如下，设：市场的无风险投资与融资利率均为：r息票收益率为：Y c债券的面值为：F v债券的市场价格为：P债券期货的价格为：F时间单位（年）：t则期货的价格 F 可以表示为：（16- 15-vcPrtY1）为了进一步简化公式，假定债券的当期收益率为 rc，按当期收益
7、率的公式，rc=FvYc/P，则前面的公式可以改写成：（16-()crt15-2）前面的例中，当期收益率为 8/1107.2727，如果代入公式，可以计算出F1101100.5（5-7.2727）108.75 美元元。从上面的公式，可以容易的看出，是 r 和 rc 的大小，决定了期货价格与现货价格间的差异，即：（16-()cFPtr15-3）当 rrc 时，期货价格高于现货价格；rS 虚值 实值X=S 平价 平价XS 实值 虚值期权的时间价值，是指超过期权内在价值部分以外的价值，这部分价值的来源是，在期权到期之前，标的资产的市场价格可能存在有利于选择权持有方的情况发生，例如，对于看涨期权，如果
8、在期权到期之前，标的资产的市场价格上涨了，或者存在上涨的可能性，则到期之前这段时间内的这些可能性，就会影响到期权的价值。当然，期权到期前，标的资产价格既可能上涨，也可能下跌，所以这部分价值将取决于标的资产价格上涨或下跌的概率、及上涨与下跌的幅度。影响期权价值的因素很多，主要包括标的资产的价格、期权的执行价格、期权有效期限、及执行时间的选择方式、利率结构及利率的波动率、期权有效期内的短期无风险借贷利率、标的资产的收益率等。这些因素对期权价格的影响，不完全是相互独立的，还可能存在相互作用。相关因素中，时间、标的资产价格波动率、利率波动率无论对看涨期权还是看跌期权的价格都起着提高期权价值的作用，这是
9、因为时间越长、期权的时间价值越大，亦即在有效期内出现有利于期权选择方的可能性越大。而较高的波动率的含义则意味着期权标的资产价格波动的幅度比波动率小的时候会更大。价格波动既可能是上涨、也可能是下跌，而两者中，总会有一种情况对期权的持权方是有利的，因此，也会增加期权的价值。标的资产的价格高低与执行价格的高低对于看涨期权和看跌期权价值的影响刚好相反，即较高的标的资产价格和较低的执行价格有利于提高看涨期权的价值，而较低的标的资产价格及较高的执行价格则有利于提高看跌期权的价值。出现这种情况的原因，标的资产价格与执行价格间较大的、有利的价格差时，期权的内在价值也较大。标的资产的息票收益或其它收益，将会降低
10、看涨期权、升高看跌期权的价值。这是因为标的资产的息票收入或其它收益是归标的资产的持有者，不是归期权的持权人。只有当期权的持权人在行使了期权权利，并拥有标的资产以后，才可能获得标的资产的收益。而越高的息票收入，意味着期权持权人在行使期权权利、拥有标的资产时将在标的资产原价值的基础上，作更多的扣除（扣出归原标的资产持有人） ，标的资产相对期权持权人贬值的部分也越大，因此，标的资产的收益率越高，越会降低看涨期权或升高看跌期权的价值。短期无风险利率的高低对期权价值的影响则较为复杂。对于无收益标的资产，较高的短期无风险借贷利率，不仅会增加期权投资者的资金成本，更会增加直接投资于标的资产的投资者的资金成本
11、，由于期权的杠杆效应，期权投资者成本增加的部分会小于直接投资于标的资产的投资者的成本，从而会增加看涨期权的价值，并降低看跌期权的价值。但对于有收益的标的资产，如果资产的收益率大于短期无风险借贷利率，短期利率的影响将被标的资产的收益率掩盖，不一定能表现出来，特别是与无收益标的资产相比时，更不容易表现出来。总结这些相关因素，可以得到下表：表 16-6 不同因素对期权价值的影响图表 15-6 不同因素对期权价值的影响看涨期权 看跌期权标的资产价格 + -标的资产价格的波动率 + +执行价格 - +期权有效期 + +期权执行次数 + +利率结构及波动性 + +短期无风险借贷利率 + -标的资产收益率
12、- +15.3.2二叉树模型以固定收益证券为基础资产或标的资产的期权定价，常用的模型主要是布莱克-肖尔斯模型（Black-Scholes Model）和二叉树模型。与前面介绍的二叉树模型一样，在分析债券期权的价值时，必须先确定利率二叉树结构及债券价值的二叉树结构。由于债券的收益曲线的不规则性及其对债券价值的重要影响，对债券价值的计算更多地是使用无套利的二叉树模型，也就是是布莱克-德曼- 托伊模型（ Black-Derman-Toy Model） 。假定当期国债的拍卖利率为：当期国债利率为 3，且根据 1、2、3 年期国债拍卖利率计算得的各年远期利率分别为： 3.5、4、4.5，则利率二叉树结构
13、如下图：利率树是根据对利率波动性的假定为 15，按公式较高利率为较低利率之间的关系为：RH=e2 RL 计算的。同样，根据债券在不同时期的现金流量及相应时间阶段的利率水平，可以计算出各期债券的价值。这里所使用的债券有关参数是：期限为 3 年，息票利率为7，每年末付息，则各期债券的价值如下图：回到第 9 章中的例题，假如三年二年期看涨期权的执行价格为 100101.5 美元元，则可从第二年末，即期权到期时开始计算，可以算出只有当债券价值高于执行价 101 元时，期权才会被执行，且可以得到被执行时四种不同价值情况下的收益值。再按假定的利率上升和下降的概率一样，可以反推出第二期时期权的价值，并以当期
14、的利率贴现，可以得到当期时债券期权的价值，依次反推回去，可以得到期权当前的值，当利率流动率在 20%时为0.0102 元；利率波动率在 40%时，为 0.8861 元。同样，假定看跌期权的执行价格也为 101元时，可以得到二年期欧式看跌期权的价值，当利率的波动率在 20%时为 1.3947 元，利率波动率在 40%时为 2.3371 元，相关的情况 则欧式看涨期权的价值如下图所示：100.00 2.50 99.46 3.0531%100.40 0 100.00 0.1414 1.8410% 2.50 1.0000 101.37 0.0000 100.19 r 0.0400 1.9375% 2.
15、3009%R 1.0408 102.39 0.0000 101.50 0 100.00 U 1.1519 2.0000% 1.3875% 2.50 D 0.8681 0.0102 102.83 0.0000 100.75 p 0.6085 1.4602% 1.7341%1-p 0.3915 0.0266 102.35 0 100.00 看 涨 期 权 101.00 1.0457% 2.50 0.0689 101.18 1.3069%0.1777 100.00 2.50 欧 式 看 涨 期 权 的 价 格 (利 率 波 动 率 20%）100.00 2.50 99.46 3.0531%100.40 1.5367 100.00 0.1414 1.8410% 2.50 1.0000 101.37 1.2278 100.19 r 0.0400 1.9375% 2.3009%R 1.0408 102.39 0.9552 101.50 0.8054 100.00 U 1.1519 2.0000% 1.3875% 2.50 D 0.8681 1.3947 102.83 0.5788 100.75 p 0.6085 1.4602% 1.7341%1-p 0.3915 1.8337 102.35 0.2471 100.00 看 涨 期 权 101.00
