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1、 第 1 页总 15 页 1勾股定理典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为 a、b,斜边为 c ,那么 a 2 + b2= c2。公式的变形:a 2 = c2- b2, b 2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a,b,c,且满足 a2 + b2= c2,那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点: 已知的条件:某三角形的三条边的长度.满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论:这
2、个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 ) 4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆2. 如图,以 RtABC 的三
3、边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半 第 2 页总 15 页 2圆的面积之间的关系3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是 S1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( )A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31) ,那么它的斜边长是()1n2A、2n B、n+1 C、n 21 D、 1n27、在 RtABC 中,a,b,c 为三边长,则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.以上都有可能22abc22acb22cba8、已知 RtABC 中,C=90,若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC 的面积是()A、24
4、 B、36 C、48 D、602cm2cm2c2cm9、已知 x、y 为正数,且x 2-4+(y 2-3) 2=0,如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A、5 B、25 C、7 D、15 考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示,等腰 中, , 是底边上的高,若,求 AD 的长;ABC 的面积 第 4 页总 15 页 4考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. 11,1
5、2,13 D. 8,15,172、若线段 a,b,c 组成直角三角形,则它们的比为()A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中:ABC 中,C=AB;ABC 中,A:B:C=1:2:3;ABC 中,a:b:c=3:4:5;ABC 中,三边长分别为 8,15,17其中是直角三角形的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4、若三角形的三边之比为 ,则这个三角形一定是( )1:2A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a,b,c 为ABC 三边,且满足(a 2b 2)(a2+b2c 2)0,则它的形状为()A.直角三角形
6、 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足 试判断ABC 的形状。22abc01a6b20c, 第 5 页总 15 页 58、ABC 的两边分别为 5,12,另一边为奇数,且 a+b+c 是 3 的倍数,则 c 应为 ,此三角形为 。例 3:求(1)若三角形三条边的长分别是 7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度。(2)已知三角形三边的比为 1: :2,则其最小角为 。3考点五:应用勾股定理解决
7、楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示,其中 米, , ,因某种活动要求铺设红色地毯,则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1米,当他把绳子的下端拉开 5 米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗? 2、一架长 2.5 的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底 0.7 (如图) ,如果梯m m子的顶端沿墙下滑 0.4 ,那么梯子底端将向左滑动 米ABC 第 6 页总 15 页 63、如图,一个长为 10 米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米,如果梯子的顶端
8、下滑 1 米,那么,梯子底端的滑动距离 1 米, (填“大于” , “等于” ,或“小于” )4、在一棵树 10 m 高的 B 处,有两只猴子,一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处; 另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm)计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 .6、如图:有两棵树,一棵高 8 米,另一棵高 2 米,两树相距 8 米,60120140B60AC第 5 题图 78米 2米 8米 第 6题 图 86C ADB 第 7 页总 15
9、 页 7一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米7、如图 18-15 所示,某人到一个荒岛上去探宝,在 A 处登陆后,往东走 8km,又往北走 2km,遇到障碍后又往西走 3km,再折向北方走到 5km 处往东一拐,仅 1km 就找到了宝藏,问:登陆点( A 处)到宝藏埋藏点( B 处)的直线距离是多少?考点七:折叠问题1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6,BC=8,将ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 CD 等于( )A. B. C. D. 4253247352、如图所示,已知ABC 中,C=90,AB 的垂直平分线交 BC 于 M,交 AB
10、 于 N,若AC=4,MB=2MC,求 AB 的长3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 CF 和EC。图 18-1515328BAA BCEDAB CEFD 第 8 页总 15 页 84、如图,在长方形 ABCD 中,DC=5,在 DC 边上存在一点E,沿直线 AE 把ABC 折叠,使点 D 恰好在 BC 边上,设此点为 F,若ABF 的面积为 30,求折叠的AED 的面积DCBAFE5、如图,矩形纸片 ABCD 的长 AD=9,宽 AB=3,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长是多少?6、如图
11、,在长方形 ABCD 中,将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置,CE 与 AD 交于点 F。(1)试说明:AF=FC;(2)如果 AB=3,BC=4,求 AF 的长7、如图 2 所示,将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处,已知 第 9 页总 15 页 9CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_8、如图 2-3,把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠,使点 C 落在 C的位置上,已知 AB=3 ,BC=7,重合部分EBD 的面积为_9、如图 5,将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折痕交 AD 于 E,
12、交 BC于 F,边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5。10、如图 2-5,长方形 ABCD 中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使 C 点与 A 点重合, 则折叠后痕迹 EF 的长为( )A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-511、如图 1-3-11,有一块塑料矩形模板 ABCD,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直 第 10 页总 15 页 10角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合) ,在 AD 上适当移动三角板顶点P:能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
13、点 C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点 P 在 AD 上移动,直角边 PH 始终通过点 B,另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q,与 BC 交于点 E,能否使 CE=2cm?若能,请你求出这时AP 的长;若不能,请你说明理由.12、如图所示,ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,E、F 分别是 AB、AC边上的点,且 DEDF,若 BE=12,CF=5求线段 EF 的长。13、如图,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且QPN30,点 A 处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围 100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请