《2.4曲线拟合的二乘法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4曲线拟合的二乘法（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.9 曲线拟合的最小二乘法 2 提纲 1. 什么是曲线拟合问题 2. 最小二乘法的定义 3. 最小二乘法求解的一般过程 4. 曲线拟合的一种最常用情况 多项式拟合 5. 非线性问题的线性化 3 用到的知识： 多元函数取极值的必要条件 的极值点，则有是函数点并且存在偏导数所有对在点如果函数Iaaajaaaa,x,xxInjnn),(,)n,0(),()(1010100jaI4 a b 这组数据的内在规律。，来描述曲线，希望构造近似函数离散数据点 )()(),( xSyx ii代数插值一 .曲线拟合问题 问题的提出 5 a b 误差。，曲线将保留所有实验由实验得到，存在误差数据 ),(),1,0
2、(,)()(iiiiiyxniyxfxp 佳。和稳定性，逼近效果不并影响多项式的收敛性复杂，多项式次数增高，计算当数据点很多，使插值(i) (ii) (iii) 的表达式时当我们已知 )( xf6 曲线拟合问题： a b 寻找一条曲线较好地拟合这些数据，即寻找合适的函数，使它与数据的总体误差最小。 条件： 1.不要求拟合函数严格通过所有数据点 2.要求拟合函数尽可能靠近所有数据点 7 1)合适的函数： 1 2 n,x, x , xs p a n 例如：: n210 ,s p a n 函数类, Raaaaa inn221100 即选取适当的函数类（某类函数的集合） 个线性无关的连续函数上是 1,
3、 nba, n210 2 Raxaxaxaa inn210 的所有多项式的全体。次数小于等于 n8 2)总体误差 : miyxsxsyx iiiii ,2,1,0,)(,)(),( ，设已知a b i mii0mii02mii09 miiixSmiixS yxs02)(02)()(m i nm i n ，准确度。来表示某一点的重要性面加一个权函数实际应用中，通常在前 ,0)( xmiiiixS yxsx02)()()(m in 使总体误差最小，即 使 误差的平方和最小 的原则，称为 最小二乘原则 ，按这一原则选择拟合曲线的方法就称为 曲线拟合的最小二乘法 。 10 二 .曲线拟合的最小二乘法
4、11 定义： 这种求逼近函数 s*(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法， s*(x)称为该问题的最小二乘解。 nn221100miiixsmiiimiiaaaaxsxfxsxfxs ,)()()(m i n)()(12)(1212这里满足使中寻找一个函数，要求在给定的函数类对于给定的数据)()()()(),2,1)(,(0110xsmnxaaaaxs,s panmiyxnkkknn0n210ii 12 例： )1)()()(),(iiixxsbaxxsyxm函数的最小二乘解。做拟合，求用，个点设已知a b 三 . 最小二乘解的求法 13 要求拟合曲线 miiinkkkimiiiinyxaxyx
5、sxaaaI0200210)()()()(),(我们令 nn0 aaaxs 110)(),(m i n 10 naaaI 平方和最小就是要所以，要求误差的加权14 求解的一般过程 miiinkkkimiiiinyxaxyxsxaaaI0200210)()()()(),(我们令),1,0(,0 njaIj令002 ( ) ( ) ( ) 0mni k k i i j iikjI x a x y xa 将上式按 合并同类项， ka15 得到 iijmiijijikmiijkyxxfxxx)()(),()()()(),(00称为两个函数的内积。 imiijinkmikijiki yxxaxxx 00
6、 0)()()()()( 令 改写为 ),2,1,0(),(),(0njfa jnkkjk 0)()()(0 0 ijmiinkikkijxyxaxaI 16 写成方程组： ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000fffaaannnnnnnn0101, , :nn 方 程 组 系 数 构 成 关 于 的 克 莱 姆 行 列 式 。由 的 线 性 无 关 性 ， 可 证叫做 的 法方程 （正规方程组） ja系数行列式不为零，方程组 存在唯一解 。 17 .,)2( *1*0法方程得到可以通过解最小二乘解的系数 naaa 结 论 ;)
7、1( 而且唯一最小二乘问题的解存在18 计算步骤： 1.描点，确定分布形式； 2.根据分布形式确定函数类； 3.化为多元函数的极值问题，建立法方程； 4.解方程组，得到最小二乘问题的解 a b 19 多项式拟合 s(x)= a0+ a1 x + + an xn为一个多项式，称为数据拟合多项式。 此时 miijiijjkimiijikimiijkyxxfxxxxx000)(),()()(),(,1 22 Raxaxaxaa,x, x , xs p a n inn210n 20 多项式拟合的法方程为 iminiiimiiiimiinminimininmiiminimiimiinmiimiimiiy
8、xyxyaaaxxxxxxxx111101211111121111因为任何连续函数至少在一个比较小的邻域内均可以用多项式 任意逼近 ，因此，在许多实际问题中， 不论具体的函数关系如何 ，都可以用适当的 多项式做数据拟合 。 21 1.线性拟合 已知 f(x)的一组对应数据 (xi ,yi) ， (i=1,2, m), 取 span1， x， 法方程为 imiimiimiimiimiiyxyaaxxxm111012111)(,)( 10 ixxaaxS 并假设22 2.抛物拟合 已知 f(x)的一组对应数据 (xi ,yi) ， (i=1,2, m), 取 span1， x ， x2， S(x)
9、=a0+a1x +a2x2, 法方程为 imiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm1211210141312131211211)( ix并假设23 例： 炼钢是个氧化脱碳的过程 ， 钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短 ， 下表给出某厂平炉生产的记录 。 xi表示熔毕碳的含量 ， yi表示冶炼时间 ， 已知 y=a+bx。 i 1 2 3 4 5 xi 165 123 150 123 141 yi 187 126 170 125 148 试根据数据 确定参数 a 和 b ， 并估计熔毕碳的含量为 130时的冶炼时间 。 24 i
10、1 2 3 4 5 xi 165 123 150 123 141 702 yi 187 126 170 125 148 758 xi2 27225 15129 22500 15129 19881 99864 xi yi 30855 15498 25500 15375 20868 108096 法方程： 5a+702b=758 702a+99864b=108096 解之得： a= 28.62, b=1.28 y 28.62 + 1.28x 解：准备数据： f(130)138.25. 25 26 例： 上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线过下列各点，试设计压轴边缘曲线的方程 。 x 0
11、125 250 375 500 612 750 870 1000 1125 1250 y 0 0.01 0.02 0.028 0.036 0.043 0.049 0.054 0.057 0.059 0.06 27 散点图 200 400 600 800 1000 1200-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0128 0.00027574 x 4.56555 106x24.26629 108x32.1128 1010x46.17042 1013x51.11656 1015x61.26539 1018x78.73639 1022x83.35774 1025x95.5046 10
12、29x10作 10次插值函数为： 29 200 400 600 800 1000 1200-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01插值曲线 30 作二次拟合得 0.000663757 0.000091548 x 3.41261 10 8 x 2200 400 600 800 1000 1200-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01拟合曲线 31 0.0000298491 0.0000834848 x1.71732 10 8 x 2 9.0525 10 12 x 3作三次拟合得 拟合曲线 200 400 600 800 1000 1200-0.06-0.
13、05-0.04-0.03-0.02-0.0132 前面讨论的是线性最小二乘问题 ， 下面给出几种常用函数 ， 并可通过适当变换将其化为 线性的拟合 。 非线性问题的线性化 njjj xaxs0)()( 拟合函数类型的确定： 根据经验或理论推导 当无法分析拟合函数的类型时： 可根据已知数据的散点图的分布情况和特点选择适当的拟合曲线类型 33 指数函数： bxaey bxay lnln34 幂函数： baxy xbay lnlnln 35 现有一组测量数据如下表： xi 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 yi= f (xi) 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3 用曲线拟合的最小二乘法求形如 y=beax的经验公式，并用该公式估计 x 1.4时的 y= f (1.4)的近似值 . 例 36 解： 将 y=beax变形， lny=lnb+ax 令 Y = lny ,
