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1、学 校 代 码 : 10475学 号 : 104753100950河 南 大 学 研 究 生 硕 士 学 位 论 文一 种 新 的 间 断 Galerkin 有 限 元 方 法 在反 应 扩 散 方 程 上 的 应 用A New Kind of Discontinuous Galerkin FiniteElement Method in the Application of ReactionDiusion Equations专 业 名 称 : 计算数学专 业 代 码 : 070102研 究 方 向 : 偏微分方程数值解年 级 : 二零一零级研 究 生 姓 名 : 曹济伟导 师 姓 名 、 职
2、称 : 葛 志 昊 副 教 授完 成 日 期 : 二零一三年五月论 文 主 题 词 : DG 方 法 , 先 验 误 差 估 计 , 后 验 误 差 估 计关 于 学 位 论 文 独 立 完 成 和 内 容 创 新 的 声 明本 人 向 河 南 大 学 提 出 硕 士 学 位 申 请 。 本 人 郑 重 声 明 ： 所 呈 交 的 学 位 论 文 是 本 人 在 导师 的 指 导 下 独 立 完 成 的 ， 对 所 研 究 的 课 题 有 新 的 见 解 。 据 我 所 知 ， 除 文 中 特 别 加 以 说 明 、标 注 和 致 谢 的 地 方 外 ， 论 文 中 不 包 括 其 他 人 已
3、 经 发 表 或 撰 写 过 的 研 究 成 果 ， 也 不 包 括 其他 人 为 获 得 任 何 教 育 、 科 研 机 构 的 学 位 或 证 书 而 使 用 过 的 材 料 。 与 我 一 同 工 作 的 同 事 对本 研 究 所 做 的 任 何 贡 献 均 已 在 论 文 中 作 了 明 确 的 说 明 并 表 示 了 谢 意 。学 位 申 请 人 (学 位 论 文 作 者 )签 名 :20 年 月 日关 于 学 位 论 文 著 作 权 使 用 授 权 书本 人 经 河 南 大 学 审 核 批 准 授 予 硕 士 学 位 。 作 为 学 位 论 文 的 作 者 ， 本 人 完 全 了
4、解 并 同意 河 南 大 学 有 关 保 留 、 使 用 学 位 论 文 的 要 求 ， 即 河 南 大 学 有 权 向 国 家 图 书 馆 、 科 研 信 息机 构 、 数 据 收 集 机 构 和 本 校 图 书 馆 等 提 供 学 位 论 文 (纸 质 文 本 和 电 子 文 本 )以 供 公 众 检 索 、查 阅 。 本 人 授 权 河 南 大 学 出 于 宣 扬 、 展 览 学 校 学 术 发 展 和 进 行 学 术 交 流 等 目 的 ， 可 以 采取 影 印 、 缩 印 、 扫 描 和 拷 贝 等 复 制 手 段 保 存 、 汇 编 学 位 论 文 (纸 质 文 本 和 电 子 文
5、 本 )。(涉 及 保 密 内 容 的 学 位 论 文 在 解 密 后 使 用 本 授 权 书 )学 位 获 得 者 (学 位 论 文 作 者 )签 名 :20 年 月 日学 位 论 文 指 导 教 师 签 名 :20 年 月 日摘 要本 文 中 ， 我 们 引 入 一 种 新 的 稳 定 间 断 Galerkin 有 限 元 方 法 . 由 于 添 加 一 项 加 在 沿 单元 公 共 边 （ 面 ） 的 法 向 流 上 的 稳 定 项 ， 所 以 这 种 方 法 不 同 于 一 般 的 DG 方 法 . 我 们 导 出 变分 等 式 满 足 一 种 局 部 的 守 恒 性 ， 并 通 过
6、Inf-Sup 条 件 也 证 明 这 种 新 格 式 的 适 定 性 . 此 外 我们还给出了这种方法的先验、 后 验 误 差 估 计 . 最后给出一个二维的数值算例用以检验这个 方 法 的 合 理 性 .关 键 词 : 间 断 Galerkin 方 法 ， 先 验 误 差 估 计 ， 后 验 误 差 估 计IABSTRACTIn this paper, a new stabilized discontinuous Galerkin method within a new functionspace setting is introduced, which involves an extra
7、 stabilization term on the normaluxes across the element interfaces. It is dierent from the general DG methods. Theformulation satises a local conservation property and we prove well posedness of the newformulation by Inf-Sup condition. A priori error estimates and a posteriori error estimatesare de
8、rived. At last, a 2D experiment is given to prove the rationality of the method.KEY WORDS： DG methods, Priori error estimation, Posteriori error estimationIII目 录摘 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9、 . . . . . . . . . . . . . . IABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III第 一 章 引 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 问 题 的 背 景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 论 文 的 结 构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11、. . . . . 2第 二 章 模 型 与 变 分 问 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 一 些 基 本 的 记 号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32.2 模 型 与 相 应 的 变
12、分 问 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.3 变 分 问 题 （ 2.12） 的 适 定 性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6第 三 章 误 差 估 计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 先 验 误 差 分 析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 后 验 误 差 估 计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14、 . . . . . . . . . . . . . . . . 24第 四 章 数 值 结 果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1 数 值 算 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15、 . . . . . . . . 294.2 结 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30参 考 文 献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16、 . . . . . . . . . 33致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37V一 种 新 的 间 断 Galerkin 有 限 元 方 法 在 反 应 扩 散 方 程 上 的 应 用VI第 一 章 引 论1.1 问 题 的 背 景自 然 界 中 的 许 多 现 象 ， 尤 其 是 物 理 现 象 ， 如 大 洋 洋 流 的 运 动 ， 影 响 天 气 的 风 的 运 动 ，核 爆 炸 等 ， 最 后 都 可 以 归 结 为 各 种 类 型 的 线 性 或 非 线 性 的 偏
