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1、1,矩 阵 理论,2,前言,矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。,随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。,3,问题一 线性方程组的求解,给定一个m个方程n个变量的线性方程组,记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量
2、， 则线性方程组可表示为,4,其中,解的形式：,（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为,当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线性方程组的解又如何表示呢？特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。,广义逆矩阵问题,5,问题二 矩阵的算术运算,矩阵的加法与减法定义为,矩阵的乘法运算,6,如何定义矩阵的除法运算,在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A -1即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX = B的解为X = A-1 B问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。,
3、7,问题三 矩阵的分析运算,在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。,分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。,8,问题四 矩阵的简单形式,矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论 矩阵的标准形和矩阵分解问题。,常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R ）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。,9,课程教学内容,一 线性空间及线性映射（变换） 内积空间 相似矩阵
4、二 范数理论三 矩阵分析四 矩阵分解五 特征值的估计及对称矩阵的极性六 广义逆矩阵七 若干特殊矩阵类介绍(自学),10,课程教学要求,通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。,要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。,11,常用记号一,用R 表示实数域，用C表示复数域。R n 表示n维实向量集合；C n 表示n维 复向量集合； 表示 实矩阵集合； 表示 复矩阵集合；,12,常用记号二,n阶单位矩阵n
5、阶矩阵的行列式矩阵 A的范数向量b的范数n阶矩阵A的 逆矩阵A-1 ; 矩阵A的广义逆矩阵A+ , A-,13,复数基本知识,称下列形式的数为复数z = a + b i其中a , b 都是实数，i 2 = -1;称a 是复数z的实部， b i 是复数z的虚部；Z的共扼复数为,14,代数基本定理,任意n次多项式必有n个复根。即,其中,15,线性代数的有关知识,1. 矩阵的概念 1) 矩阵的定义 定义 1 由 mn 个数aij ( i = 1, .,m; j = 1, ,n)排成 m 行 n 列的数表,16,叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 mn 矩阵. 这 mn 个数叫做矩阵的元素, aij 叫
6、做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)mn 或 A = (aij) ,mn 矩阵 A 也记作 Amn .,17,2) 方阵 列矩阵 行矩阵 对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.,18,3) 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,m;j=
7、1,n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作A=B.,19,4) 零矩阵 单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O. 主对角线上的元素都是 1 , 其它元素都是 0 的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位方阵, 简记作 E 或 I.,20,5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵. 6) 除了主对角线以外, 其它元素全为零的方阵称为对角矩阵.,21,2. 矩阵的运算 1) 矩阵运算的定义 设 A = (aij)sn , B = (bij)tm 为两个矩阵, 当 s=t, n=m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为 A + B = (aij + bij)A + B 称
8、为 A 与 B 的和.,22,当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)sm , 其中,( i = 1,2, , s ; j = 1, 2, , m),AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.,23,矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算,二个线性变换为,则它们的复合为,24,2) 矩阵的运算性质 (i) 矩阵的加法满足 交换律: A + B = B + A, 结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) 矩阵的乘法满足结合律: (AB)C = A(BC).,25,(iii) 矩阵
9、的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足: ( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB; k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).,26,3) 方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = Ak A,其中 k 为正整数. 4) 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.,27,3. 一些特殊的矩阵 1) 设 A 为 mn 阶矩阵
10、,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A 或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有 (AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ; (A)T = AT ; (AB)T = BTAT .,28,2)、共轭转置矩阵,复数, 记,称为 A 的共轭转置矩阵 .,29,共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, ,为复数, 且运算都是可行的):,30,3)设,，如果,，则称,是Hermite矩阵，如果,，则称,是反Hermite矩阵。,，如果,，则称,是（实）对称矩阵，如果,，则称,是（实）反对称矩阵。,设,31,设 A 为 n 阶方阵
11、,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵. 若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.,32,5) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成的方阵,叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.,33,1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘运算吗?,思考,答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这时 AB 才存在.,34,2. 两个矩
12、阵 A、B 相乘时, AB = BA 吗? |AB| = |BA| ?,答 AB 不一定等于 BA .若要 AB = BA , 首先要使 AB 和 BA 都存在,此时A、应为同阶方阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况下, AB BA . 但对同阶方阵 A、B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律是成立的, 即 |AB| = |A|B | = |B|A| = |BA| .,35,3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗?,则 AB = AC , 但 B C.,答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律. 例如,36,4. 非零矩阵相乘时, 结果一定
13、不是零矩阵吗?,但,又如,但,答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如,37,5. 设 A 与 B 为 n 阶方阵, 问等式 A2 - B2 = (A + B)(A - B)成立的充要条件是什么？,答 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件是AB = BA . 事实上，由于 (A + B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2,故 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 当且仅当 BA - AB = 0，即 AB = BA.,38,4. 逆阵的概念 1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使AB = BA = E, 则称矩阵 A
14、 是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 . 2) 相关定理及性质 (i) 方阵 A 可逆的充分必要条件是: |A| 0 . (ii) 若矩阵 A 可逆, 则 A-1 = A*/ |A|.,39,(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 ); (AT)-1 = (A-1)T . (iv) 若同阶方阵 A 与 B 都可逆, 那么 AB 也可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1 . 5. 矩阵的分块运算 矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证, 其运算法则同普通矩阵类似.,
