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1、毕业设计（论文）题 目： 对称性在简化积分运算中的应用学生姓名：学 号：所在学院： 金融与数学学院专业班级： 应数 1001 班届 别：指导教师：目 录前言 .11.对称性在定积分中的应用 .21.1相关定理及其应用 .22.对称性在重积分计算中的应用 .32.1对称性在二重积分中的应用 .32.2对称性在三重积分计算中的应用 .43.对称性在曲线积分计算中的应用 .53.1对称性在第一类曲线积分中的应用 .53.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 .64.对称性在曲面积分计算中的应用 .94.1对称性在第一类曲面积分计算中的应用 .94.2 对称性在第二类曲面积分运算中的应用 .105.
2、化积分区域为对称区域的几种方法 .11结束语 .12参考文献: .12皖西学院 2014届本科毕业设计（论文）1对称性在简化积分运算中的应用摘 要：在计算积分中，恰当的使用轮换对成性和对称性，以及奇偶性都可以简化计算。本文主要结合实例阐述对称性在化简几类积分计算中的妙用。具体总结平移变换和区域划分方法来构造对称性。关键字：对称性；奇偶性；定积分；曲线积分；曲面积分Symmetry In The Integral CalculationAbstract ：In calculating of the calculus , proper use translatable symmetry、symme
3、try and parity can simplify the calculation . This paper mainly use example to elaborated symmetry in the simplify the calcalation .Specific summarize parallel moving transformation and divide the area to construct symmetry.Keywords:Symmetry; parity; definite integral;curve points; surface integrals
4、对称性在积分运算中的应用2前言微积分是高等数学中的难点和重点。在很多复杂的微积分证明和计算过程中，尤其是涉及多元微积分问题,常规的方法很难解决，恰当的利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，可以大大简化积分计算。积分计算中,有很多积分区域存在对称性的问题.合理、恰当的利用其所具有的对称性的性质，则可以使其计算过程得到简化,甚至有些问题直接可以判断出其结果.当积分形式不具有对称性时，有时可以通过变换积分的区域形成对称。本文具体总结平移变换和区域划分等方法来构造对称性，从而达到简化积分计算的效果。本文主要结合实例阐述对称性在简化定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分计算中的妙用。1.对称性
5、在定积分中的应用1.1 相关定理及其应用定理 1.1【1】 设 在区间 可积：)(xfa-,（1）若 为奇函数，则 ；f 0)(dxfa（2）若 为偶函数，则)(xf aaxff0)(2)(例 1.1：计算积分 其中 为偶dddcos1)cos(1cs120 xxfcos21)(函数，则 0-20 2)(cos1 xxxd令 ，则txtan 32arctn31412412cos2 002000 tdtdtxd在定积分的计算中，当积分区间为任意有限区间 时，该积分区间一定关于直b,线 对称，由此我们可得以下出定理。)(21bax皖西学院 2014届本科毕业设计（论文）3定理 1.24 设 f(x
6、)在a,b上连续，则 baba dxfdxf)()(例 1.2 计算定积分 xx42)3ln()9l(解： 令 ，则 由定理 1.2)l()ln()(xf )9ln()3l(6xxf 知 12621)( 4442 dxxfdf以上是对称性在定积分计算中的应用，可以得出对称性可以大大的简化定积分的运算。2.对称性在重积分计算中的应用2.1 对称性在二重积分中的应用相关定理及应用定理 2.1.135 若 D关于 x轴对称，D 1位于 x轴上半部分，当函数 是关于),(yxfy的奇函数，即 时， ；当函数 是关于 y的偶),(),(yfxf0),(dyf ,f函数，即 时，,y 1),(2,DDf定
7、理 2.1.25 若 D关于 y轴对称，D 2位于 y轴右半部份，当函数 f(x,y)是关于 x的奇函数，即 时： ；),(),-(xff0),(Ddxyf当函数 f(x,y)是关于 x的偶函数，即 时：,yfxf。2),(),(DDdyfdxyf定理 2.1.36 若区域 D为关于原点对称，其中 D3为 D中关于原点对称的右侧。当 为奇函数即 时，有),(f ),(),(yxfxf0),(dxyf当 为偶函数即 时，有,yxf ,ff3)(2)(DDdxyd推论 1 设 D是有界平面区域，函数 在平面内连续，且 D关于 x轴、y 轴对),(f称，则对称性在积分运算中的应用4（1）若函数 关于
8、变量 x、y 都是偶函数，则),(yxf，1,4),(DDddyxf 0,),(1D（2）若函数 关于其中一个变量 x或者变量 y为奇函数，则),(yxf0),(Dyxf为方便叙述，以下为轮换对称性的定理和定义：定理 2.1.57 设函数 在 xoy平面上的有界区域 D上连续，且 D关于 x,y),(yxf存在轮换对称性，则 DDdfd）,定义 2.1.47 设 D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段） ，若，则称区域 D（或光滑平面曲线段）关于 x,y具有轮换对称性。xyx),(),(例 2.1.2 设区域 D由 x=0,y=0,x+y=1围城，求 DdyfxbaI)(解 由题意得，变量
9、 x,y互换，积分区域区域 D不变则 DD yfxbadyfxbaI )()(所以 )(4121)()(212 )()()(1babad dbadyfxfbafID D 2.2 对称性在三重积分计算中的应用三重积分应用对称性定理如下：定理 2.2.18 设函数 是定义在空间有界闭区间区域 上的连续函数，且),(zyxf 关于坐标平面 对称，则 0x（1）若 是关于变量 的奇函数，则 ；),(zyf 0),(dVzyxf皖西学院 2014届本科毕业设计（论文）5（2）若 是关于变量 的偶函数，则 。),(zyxfx 1),(2),( dVzyxfdVzyxf其中 是 的前半部分，10),(1zy
10、同理可写出 关于坐标平面 对称时的情形0或相似于二重积分，得出结论定理 2.2.2 设函数 为定义在空间有界区域 的连续函数，且 关于原点),(zyxf 对称，则（1）若 ， ，则),(),(ff),(zyx0),(dVzyxf（2）若 ， ，则 ,.zfyzxf , 321 ),(2),()(2),( zyxfdVzyxfdVxdVy， ，0,1zx 0),(2z 0,类似于二重积分，为方便叙述，三重积分轮换对称性的定理与定义如下：定理 2.2.27 设函数 f（x,y,z)是定义在空间有界区域 上的连续函数，且 关于变量 x,y,z具有轮换对称性，则 dVyxzfdVxzyfdVzyxf
11、),(),(),(定义 2.2.17 设 是一个有界可度量的集合体（ 可为空间区域、空间曲线或曲面块） ，且它的边界光滑，若 ，则称 关于变),(),(), yxzxzyzx，（量 具有轮换对称性。zyx,例 2.2.2计算三重积分 ，xyzdV422zyx：解：有题意知， 关于 为奇函数，由上述定理知,),( 0xyzdV3.对称性在曲线积分计算中的应用3.1 对称性在第一类曲线积分中的应用平面上第一类曲线积分的对称性定理：定理 3.1.110 设平滑分段光滑曲线 关于 轴（或 轴）对称，且 在 上Lyx),(yxfL有定义、可积，则（1）若 为关于 （或 ）的奇函数，则 ；),(yxfxy
12、0),(Ldsf对称性在积分运算中的应用6（2）若 为关于 （或 ）的偶函数，则 ，),(yxfxy1),(2),(LLdsyxfdsyxf)0(,1 L或例 3.1.1 设 L是圆周 ，求解 1222RyxLsyxI)32（解： ，因为 关于 轴、 轴对称，且 关于变量 和 是偶函LdsI32 2xxy数，由上述推论可得 为 位于第一象限的部分。124Lx1又因为 3020222 41)(1 RdxdRdsxRRL 故 314当曲线 关于原点对称时，相关定理如下：定理 3.1.211 设平面分段光滑曲线 关于原点对称，且 在 L上有定义、可L),(yxf积，则（1）若 0),(,),(, L
13、dsyxfyxfyxf 则）（是 的上半平面或右半平面部分。1L曲线的轮换对称性定理如下:定理 3.1.3 设平面分段光滑曲线 关于 存在轮换对称性， 在 上有定Lyx, ),(yxfL义且可积，则 dsyxfsyxfLL),(),(3.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用由第二类曲线积分的物理背景为变力做功可知，它与曲线的方向相关，与上述积分对称性的几种结论不同，与第二类曲线积分相关结论如下。定理 3.2.112 设 为平面上分段光滑的定向曲线， 为定义在 上的L ),(,yxQPL连续函数；（1）当 关于 轴对称时：x若 是关于 的偶函数，则 ；),(yP0),(Ldxy若 是关于 的奇函数，则 1),(2LdxyP若 是关于 的偶函数，则 ；),(yxQ),(LxyQ皖西学院 2014届本科毕业设计（论文）7若 是关于 的奇函数，则),(yxQ
