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1、 数值分析课程设计三次样条插值算法院（系）名称 信息工程学院 专 业 班 级 09 普本信计 1 班 学 号 090111073 学 生 姓 名 宣章然 指 导 教 师 孔繁民 2012 年 06 月 08 日 数值分析 课程设计评阅书题目 三次样条插值学生姓名 宣章然 学号 090111073指导教师评语及成绩指导教师签名：年 月 日答辩评语及成绩答辩教师签名： 年 月 日教研室意见总成绩：教研室主任签名：年 月 日课程设计任务书20082009 学年第二学期专业班级： 09 普本信计 1 班 学号： 060111060 姓名： 宣章然 课程设计名称： 数值分析 设计题目： 三次样条插值 完
2、成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的 熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用 Matlab 软件编写相应的程序和使用 Matlab 软件函数库软件。 二、设计要求 (1)用 Matlab 函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。 (2)使用所用的方法编写 Matlab 程序求解,对数值结果进行分析。 (3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。 三、设计内容 首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结 四、参考文献 1 黄明游,冯果
3、忱.数值分析M.北京:高等教育出版社 ,2008. 2 马东升,雷勇军 .数值计算方法M.北京:机械工业出版社,2006. 3 石博强, 赵金.MATLAB 数学计算与工程分析范例教程 M.北京:中国铁道出版社.2005. 4郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001 5姜健飞，胡良剑，数值分析及其 MATLAB 实验， 科学出版社，2004 6薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012 年 6 月 18 日指导教师（签字）： 教研室主任（签字）： 批准日期： 年 月课程设计说明书（论文） 第 I 页三次样条插值摘 要分段低次样条插值虽然计算简单、稳
4、定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用 MATLAB 软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。关键字:三次样条 插值函数 MATLAB 编程 收敛性 算法步骤一 三次样条函数定义及特征定义 1：若函数 ,且在每个小区间上 上是三次多项式，2()SxabC1,jx其中 是给定节点，则称 是节点 上的三0nax()s01,nx次样条函数。若节点 上 给定函数值 ,且 jx()jjyfx,1n
5、（1.1）()jjsxy(0,1)成立，则称 为三次样条差值函数。)sx从定义知，要求出 ，在每个应小区间 上确定 4 个待定系数，共( 1,jjx有 n 个小区间，故应确定 4n 个参数，根据 在 上二阶导数连续，在节点()sab处应满足连续性条件1,23,1jxn(0)(),jjsxs (0)(),jjsx（1.2） jj共有 3n-3 个条件，再加上 满足插值条件（1.1） ，共有 4n-2 个条件，因此()sx还需要 2 个条件才能确定 。通常可在区间 端点 上各加一个条件(),ab0,nxb（称边界条件） ，边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种：课程设计说明书（论文） 第 I
6、I 页(1) 已知两端的一节导数值，即（1.3） 00 ()()nnsxff(2)两端的二阶导数已知，即（1.4） 00 ()nnsxff特殊情况下的边界条件（1.4） 0()nsx称为自然边界条件（3）当 是以 为周期函数时，则要求 也是周期函数，这时边界()fx0n()sx条件应满足(0+0)=(0),(0+0)=(0)(0+0)=(0),而此时式中 , 这样确定的样条函数 称为周期函数。0= ()二 函数推导原理及构造我们采用待定一阶导数的方法即设 S(Xj)=Mj,j=0,1,.,n,因为分段三次 Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处
7、的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！ 1,),0()( nixSxii )()()( 110 iiii hxihxihxihi myy ,11xxiiii 22)1()()(x课程设计说明书（论文） 第 III 页由于在内部节点处二阶导数连续条件：整理化简后得：第一类三次样条插值问题方程组由于已知：基本方程组化为 n-1 阶方程组化为矩阵形式并 整 理 后 得求 二 阶 导 数对 ,)(xSi )()2(6131iiii yhx 1122464ii iii ixxmmh1122li()0)()iiiiixSxyh 112164li()()i i iix i iih )(31111 iii
8、iii hyhy(0)(),iiSxn 1112 iiiii mhhm)(3212iihyyi,ni1111 iiii )(31iiiiii hyhy113()iiiiyygh个 未 知 量个 方 程共 个 ,1n0)(mxS nxS)(0121fgkkk 2,3nnnn f1211 11022 2233 334222111nnnmggm ii ii i课程设计说明书（论文） 第 IV 页这是一个严格对角占优的三对角方程组,用追赶法可以求解！第二类三次样条插值问题的方程组,由于已知：故得：稍加整理得联合基本方程组得一个 n+1 阶三对角方程组，化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优第三类样条插值问
9、题的方程组，由于：立即可得下式：其中:0)(MxS nxS)(时 ， 称 为 自 然 边 界 条 件00nM)(6)(0120yhxS 04mh120M121nn 1nnh4001023hymnnnM2111 g 2123211 nn nmm1210ngg1210nnxSx 00)()( )2(60101200hyh )()( nnnn mxSnnngm211nnnnhh1,010课程设计说明书（论文） 第 V 页联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：求解这些不同类型的样条插值问题的方程组，我们可得所要待定的一阶导数：再代入 S(x)的每一段表达式，就求得三次样条函数的表达式!利用插
10、值（即求过已知有限个数据点的近似函数）的基本原理，用多项式作为研究插值的工具，进行代数插值。其基本问题是：已知函数 f (x)在区间a,b上 n +1 个不同点 x0，xn 处的函数值 (i = 0,1,n)，求一个至多 n 次多项式 n(x)使其在给定点处与 f (x)同值，即满足插值条件: n(x)= = .许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间a,b的一个分划 如果函数 s(x) 满足：（i）在每个小区间 (i=0,1,n)上 s(x)是 k 次多项式；（ii）s(x)在a,b上具有 k 1 阶连续导数。则称 s(x)为关于分划 的 k 次样条函数，其图形称为 k 次样条曲线。由于三次样条插值我、函数 s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为 （1.01） ()(0,1.)ksxmn根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是 s(x)在每一个小区间1013nnhyyg1 11222311nnn mg nm,210 )()()()()(100 iiii
