数学模型实习指导

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1、实验一 最优价格问题（2 学时）【实验目的】1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用 Matlab 命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab 软件中有关求导命令 diff【实验内容】某房地产公司拥有 100 套公寓当每套公寓的月租金为 1000 元时，公寓全部租出。当月租金每增加 25 元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2.若租出去的公寓每月每套平均花费 20 元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大【实验方案】1.方法一：设每套公寓月租金在 1000 元基础上再提高 x 元，每

2、套租出公寓实际月收入为( )元，共租出( )套。10x1025x收益 R( )= ( )( ) (0 2500)0125xR( )= x6令 R( )=0，解得驻点 =750。R( )= f=inline(-(1000+x)*(100-x/25) %通过内联函数建立函数 f，定义求最大值的语句函数，注意负号%a=fminbnd(f,0,2500)x=-f(a)f =Inline function:f(x) = -(1000+x)*(100-x/25)a =750x =122500方法二 f=inline(-x*(100-(x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500)x=-

3、f(a)f =Inline function:f(x) = -x*(100-(x-1000)/25)a =1750x =122500 (2) f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)f =Inline function:f(x) = -(980+x)*(100-x/25)a =760实验二 通信卫星在地面上的覆盖面积（2 学时）【实验目的】 1.加深对曲面积分概念的理解2.会用积分理论解决实际问题3.会用 Matlab 命令求曲面积分，用数值解法求二重积分【实验要求】 1.掌握曲面积分的应用2.了解二重积分的数值解法【实验内容】 将一颗通信

4、卫星送入太空，使该卫星轨道位于地球赤道平面内，卫星运行的角速率与地球自传的角速率（ ）相同时成为同步卫星。设卫星)36024(w距地面的最低高度为 ，试计算卫星所覆盖的地球面积 S.kmh3580图 1 通讯卫星覆盖地面剖面图【实验方案】 将地球视为球体（地球半径为 ） ，以球心为原点建立kmR6378如图 6-12 所示的坐标系。因上半球面方程为,22yxz故被卫星覆盖的地表面积为 ,dsS其中， 为上半球面 上被半顶角为 的圆锥所截的曲面)0(22Rzyx 部分。所以卫星的覆盖面积为 ,1222 DDyx yxRddzS其中 D： . 注意到 , 于是 D：22coshRsin.)(122

5、2hRyx利用极坐标变换，求得.hRRD drdyxdSh 2)(102222 当 , 时，S =2.1694e+008.3580h67R【实验过程】 M 源程序： clear allclcFrt=inline(6378*r./sqrt(63782-(r.*cos(t).2-(r.*sin(t).2);R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(R+h)2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi)对二重积分作数值计算运行结果：S =2.1694e+008实验三 乘公交,看奥运（4 学时）一 问题提出与分析1.1 问题重述目前北京市的交通线路繁多，由于大量的中外观

6、众到现场观看比赛，造成人口量的聚增，为了最大限度地保证公众出行时，乘坐公交的满意程度，亟待设计一个研发解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。从实际出发，充分考虑设计该系统的核心在于建立合理的线路模型与制定高效的算法。应用模型与算法的结果，设计一个公交线路查询系统，最终确保各查询者根据不同的需求选择最佳路线。具体需要解决的问题如下：仅考虑公汽线路时，建立任意两站点之间一般模型与制定高效的算法。设计一个公交线路查询系统，其功能：根据各查询者不同的需求而选择最佳路线。并求出具体的 4 对起始站终点站之间的最佳路线。1.2 问题分析上述问题是一个追求任意两公汽站点最佳路线的优化问题。需要找到的这条

7、最佳路线包括以下内容：从起始站乘坐某编号的公交到某站，然后转乘另一编号的公交，如此反复，最终到达终点站。由于公众乘坐公交的满意程度包括：出行耗时、换乘次数、乘车总费用，由于这三者之间具有相关性，所以先分别建立以出行耗时最少、换乘次数最少、乘车总费用最少为目标函数的优化模型，再以它们的积为目标函数建立优化模型。由于是 01 变量过多的整数规划，用lingo 软件无法求出最佳结果，因此可以运用回溯法，结合递归法、深度优先搜索法和利用剪枝函数等算法，运用 Matlab 编程，从而求出相应的 4 对起始站终点站之间的最佳路线。最后，进行模型分析和检验，从而设计自主查询计算机系统。1.3 模型准备1.3

8、.1 对查询者不同需求的理解由于使用公交线路选择自主查询系统的公众，可能从事不同的职业，来源于不同的收入层次，年龄的大小不尽相同。而在具体查询选择路线时，公众会根据自身当前对出行耗时最少、换乘次数最少、乘车总费用最少的不同偏爱程度(可转化为公众的满意度权重)决策选择当前最佳路线。譬如，一味追求时间效率的公众可能只关注车辆的行驶时间，而对车费与转车次数没有太多的苛刻要求，就是说为了达到时间上的要求，即使花费数倍的车费以及经历屡次转车的劳顿也心甘情愿。对于公众只对换乘次数或乘车总费用有要求的情况可类似考虑。当然，在一定的时间与空间的限制下，公众可以综合考虑以时间、车费、转车次数整体最优为目标，相当

9、于分别取定对应满意度的权值，建立加权的优化模型，或者通过寻找三个目标的相关性，利用目标乘积度量法建立优化模型。为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下 6 对起始站终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明） 。(1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 (3)、S0971S0485 (4)、S0008S0073 基本参数设定相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3 分钟公汽换乘

10、公汽平均耗时： 5 分钟(其中步行时间 2 分钟)公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：020 站：1 元；2140 站：2 元；40 站以上：3 元注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。公交线路及相关信息 注：数据文件 data.txt 中每段数据中第一个数据表示公交线路（1 路100 路） ；第二个数据表示计价方式，其中 1 表示单一计价，2 表示分段计价；-1 表示一条公交线路结束，其余数据表示的是站点代码，为了程序实现的方便，把公交站点代码中的 S 换成了 1。每段表示的是公交线路从起点 A 到终点 B，再从起点 B 到终点 A

11、。1.3.2 对最佳路线的理解在目前的条件下，北京市的公交线路已经达到 800 条以上，一方面，这使得全市的交通在一定程度上更加便利与快捷；另一方面其也产生乘车时的多条线路选择问题。所谓最佳线路就是根据公交乘车查询者的选择目标(或者是当前乘车时间最少，或者是换乘次数最少、乘车总费用最少)，建立满足相应的约束条件的优化模型，设计相适应的高效算法，求解得到对应目标函数的最小值时，得到的一条或几条路线。1.3.3 对查询系统的核心在于模型与算法的理解奥运会期间，尽管北京市的公交路线已经到达充分的数量，交通更加畅通与便利，但是线路的选择不得不是一个制约乘车效率的关键因素。为了筛选出最佳线路，在研究开发

12、公交线路选择自主查询计算机系统时，所建立的优化模型与设计的算法必须都要受到时间的限制。其原因在于模型往往决定着求解的具体算法，而算法又直接关乎于计算的时间效率，然而算法的时间效率又直接联系着查询者的主观感受以及对计算机系统的接受程度。因而模型越简单，算法的时间效率越高，自主查询系统的反应就越敏捷，市场的服务效果就越好。综上，设计查询系统的核心应放于模型的建立与算法的设计。1.4 模型假设与符号说明1.4.1 模型假设(1)在任意站点的任意时刻有公交相向而行；(2)公交路线不存在堵塞现象，且公共汽车之间依次行进，不存在超车的现象；(3)公交从起点出发后，都能在额定的时间里达到所行的路线上的每个站

13、点；(4)乘客转站后都能顺利在规定的时间内乘上另一号车；(5)公交在白天和黑夜的运行状况一样；(6)公汽之间可以换乘；(7)不同的公交线路之间可以换乘；(8)平均行驶时间为 3 分钟(包括停站时间) ，且平均行驶速度相等；(9)乘公汽平均耗时 5 分钟(其中步行时间 2 分钟) ；(10)公汽票价分为单一票价和分段计价两种，其中分段计价的票价为：020 站：1 元，2140：2 元，40 站以上：3 元；(11)公众在一次出行从始点站到终点站中，乘坐同一路车的次数只能为一次 ；1.4.2 符号说明：表示从始点站到终点站是否乘坐了 j 路公汽，乘坐记为 1，否则记为 0；jx：表示是否在第 i

14、车站乘坐第 j 路公汽，乘坐记为 1，否则为 0；ij：表示从始点站到终点站乘坐单一票价公汽的集合(单位: 元)；D：表示从始点站到终点站乘坐分段票价公汽的集合(单位: 元)；E：表示从始点站到终点站经过第 j 站时是否乘坐单一票价公汽，乘坐记为jh1，否则记为 0；：表示从始点站到终点站是否乘坐分段票价公汽，乘坐记为 1，否则记为jb0；：表示从始点站到终点站乘坐公汽所需要的时间(单位: 分钟)；ty：表示公众对计算机查询系统的综合满意度；Q：表示从始点站到终点站乘坐公汽所需要的费用(单位: 元)；R：表示从始点站到终点站乘坐公汽转车次数。n二 模型建立与求解2.1 模型建立模型一：以出行耗

15、时最少为目标函数 101035ij jti jMinxxy约束条件：从起点到终点乘坐第 j 路公车的 0-1 变量约束；* 1010,ijij ijixxMERGEFORMAT (1)从始点站到终点站经过第 i 车站乘坐第 j 路公汽的 0-1 变量约束；* 0,1ijxMERGEFORMAT (2)综上，建立模型如下： 101035ij jti jMinxxy(,)0,1;.1;0ijsijikjsijikxxst模型二：以转车次数最小为目标函数 10jjMinx约束条件：从始点站到终点站经过第 i 车站乘坐第 j 路公汽的 0-1 变量约束；* 101,ijjijxxMERGEFORMAT (3)乘车时间非负约束；* 10ijjixMERGEFORMAT (4)转车次数上限限制；* 10nMERGEFORMAT (5)综上，建立模型如下；10jjMinx10101.,ijjiijij ijinst xx模型三：以乘车费用小为目标函数 jjjDEMinRhb约束条件：从始点站到终点站经过第 j 站时乘坐单一票价公汽的 0-1 变量约束；* 0,1jhMERGEFORMAT (6)公众乘坐单一票价与分段计价票价的公汽经过的站点数量之和等于其从始点