数学与应用数学毕业论文

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1、0学科代码：070101 学 号：092014020059 贵 州 师 范 大 学 求 是 学 院（本 科）毕 业 论 文题 目：浅谈中学数学中的逆向思维-以实习学校学生解题为例院 系：求是学院专 业：数学与应用数学年 级：2009 级姓 名：晏 勇指导教师：罗 淼(副教授)完成时间：2013 年 4 月 15 日1浅谈中学数学中的逆向思维-以实习学校学生解题为例 摘要：逆向思维是数学中的一种重要的解题思想，它在公式、定理、定义都有体现，它是一种学生解题的新思路，这种思路摆脱定势的传统思维，摒弃已有的习惯性解题框架。最终使解决的问题大大的简化。 那么这种思想如何在教学课堂中体现，如何让培养学生

2、的这种逆向思维，也是新课改课程下，老师们面临的一大任务和挑战。本文是结合实习学校上课情况，进行编写。关键词：公式；定理；定义；逆向思维本文是以实习学校班级学生做题情况为研究对象进行编写，实习期间发现很多学生解题思维比较定势，很多问题都是以常规思维解题，不管有多麻烦，最终还是一股劲的做下去，最后的结果是算出来了，但是过程比较繁琐。其实这也是现阶段的学生的一种普遍的现象。在数学解题中，通常是从已知到结论的方式，然而有些数学题，若总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解答，在这种情况下，只要我们多注意定义、定理、公式的逆用，往往可以使问题简化。经常性地注意这方面的训

3、练可以培养学生思维的敏捷性。现实生活中也往往会用到逆向思维，当然它给人们带来的是方便、简约、快捷等好处。很多的数学教师也在努力的研究这一中使用的方法，将这样的思想带入教学中去。在当代素质教育的形式下，要求我们的要培养多方面的高素质人才，最重要的就是要培养创新性人才，那逆向思维的培养也是必不可少的，本文着重介绍了，教师在在教学工作中应该做到什么，如培养学生的逆向思维，提出了几点意见，希望对未来的老师的教学有点帮助。教学是一个灵活的过程，老师应该发挥主导作用，有力的引导学生多方面思考问题，灵活发挥学生的想象力，更具学生的实际情况，更有力的培养他们如何利用已有的只是解决实际问题。1.逆向思维的应用1

4、.1.什么是逆向思维和 其 他 的 数 学 思 维 一 样 ， 逆 向 思 维 是 数 学 解 题 当 中 的 一 种 常 规 思 维 ， 也是 重 要 的 一 种 思 维 方 式 。 逆 向 思 维 也 就 是 我 们 说 的 求 异 思 维 ， 它 是 对 我 们 常规 的 、 司 空 见 惯 的 似 乎 已 成 定 论 的 事 物 或 观 点 反 过 来 思 考 的 一 种 思 维 方 式 。敢 于 “反 其 道 而 思 之 ”， 让 思 维 向 对 立 面 的 方 向 发 展 ， 从 问 题 的 相 反 面 深 入地 进 行 探 索 ， 树 立 新 思 想 ， 创 立 新 形 象 。

5、当 人 们 都 朝 着 一 个 固 定 的 、 常 用 的思 维 方 向 思 考 问 题 时 ， 而 你 却 独 自 朝 相 反 的 方 向 思 索 ， 这 样 的 思 维 方 式 就 叫逆 向 思 维 。其 实 在 现 实 生 活 中 ， 大 多 数 的 人 也 是 习 惯 于 沿 着 事 物 发 展 的 “正 方 向 ”2去 思 考 问 题 并 寻 求 解 决 办 法 。 有 时 候 绞 尽 脑 汁 也 无 法 给 出 结 论 。 其 实 ， 有 些问 题 ， 尤 其 是 一 些 特 殊 问 题 ， 从 结 论 入 手 ， 逆 向 思 考 ， 从 求 解 回 到 已 知 条 件 ，反 过

6、去 想 或 许 会 使 问 题 简 单 化 ， 往 往 就 会 使 得 解 决 的 这 个 问 题 轻 而 易 举 ， 甚至 因 此 而 有 所 发 现 ， 创 造 出 惊 天 动 地 的 奇 迹 来 ， 这 就 是 逆 向 思 维 和 它 的 魅 力 。当 然 这 也 是 我 们 研 究 这 种 方 法 的 目 的 所 在 。1.2.逆向思维在初、高中的应用下面来看下面初、高中数学中的几道题目（以自己在实习学校为例）：(1).初中例题（2012 年下半年白云区沙文中学初一（4）班）。初中数学中讲解了两个公式第一个是完全平方公示还有一个是平方差公式我现在来看一下这两个公示的引用。例 1：计算

7、)3(22ba解法一： )(6922）（ba81442解法二 )3(-（92ba8144显然，逆向运用幂的性质解本题要简单的多。例 2：计算： 109.4321分析：如果本题采用常规方法：先同分后相加，必然感到繁琐且难以下手。若逆向用减法法则： 或 则带来很大的简便。ab)(n解：由题意可知： 109.43121 109109321在此我们再来看看初一数学中的另外一道数学题：3例 3：计算 时，若不逆用幂的性质： 将无法进207207)3()( nba)(行。从这三道题中用逆向思维显然比较简单，但大多数同学都是以第一种思路做出来的，比如第一道中，运用了两个公式第一个是完全平方公示还有一个是平方

8、差公式，首先看这题目大多数学生会很容易的想到完全平方公式，形成定势的思维方式致使学生无法养成逆向思考的原因。(2).高中例题这是我在实习学校中同学们的一次家庭作业题（2012 上半年白云区第六中学高一（2）、（4）班）。 例 1:已知正数 a、b、c 成等差数列，求证： ， ， 也成ab2c2ab2等差数列。(高一数学）从交上来的本子看，大多数同学的的做法都是从条件入手，所以很多同学都没有做出来，有的同学虽然做出来了但是解题的方法比较繁琐，下面我们来分析一下：其实我们可以从结论入手，要证原结论成立，只需证：（等差中项）即cba22)( 22)(bab而 所以上式成立，所以原结论成立。例 2.

9、k 为何实数时？x 的任何值都不满足不等式（高一数学）我们分析一下也可以知道其实这道题只去找 k 的取值范围是没法找的，但是我们从 这个不等式入手姐可以看到满足 k 的取值范围。02解：这一问题等价于“ 为何实数时？k不等式 对一切实数 恒成立”则可以令 由抛物线02kxxkxy2性质可知：欲使 ,应有 ，即 由此解得 。y004k0所以，当 时， 的任何值都不满足不等式0kxx2xk0可以看出，和初中数学相比，高中数学在学科特点上出现了数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增等新特点。而且在新课程改革后，相比原来的老教材，新教材中的高中数学以必修和选修两种类型

10、出现，选修是以必修课中的不足之处提出来的，当中增加了大量的探究性活动素材和众多的研究性学习，为所有学生的数学学习构筑不同的起点；增加了大量的数学阅读材料，以学生的全面发展为本，让学生经历知识的形成与应用的过程，倡导学生自主学习、主动探索和发现，培养学生主动体验获取知识的技能，从而进一步发展学生的实践能力和创新能力；增加了实际应用型4知识板块，通过学生自主探究，数学建模实践过程，获得学习心得体会，从而建立起符合个人知识特点的认知水平；改变了传统教材的数学知识的单一接受模式，强调学生学习过程能力的培养，强调知识运用的灵活性。这就要求高中学生要改变以往对数学学科的认识，努力的适应初高中数学的特点变化

11、，从而更快进入角色，只有这样才能为真正的学好数学做准备。由此可看出新课程改革下对学生的教法、学法都要有所改变，对刚进入高中的学生了来说还不太适应，学生也养成了思维定势的习惯，无法转变解题思路。2.如何看待正向思维与逆向思维2.1.正向思维和逆向思维的关系正向思维和逆向思维处于矛盾的两个方面,没有逆向思维也就没有正向思维, 没有正向思维也就没有逆向思维,它们相辅相成的。因此,它们应该具有同等重要的地位然而,在一般的数学教材中,运用逆向思维来处理的内容很少,由此导致学生的逆向思维能力很差，遇到问题是不会灵活处理问题。他们的思维活动长期 处于正向定势思维活动之中,因此,给出一个数学问题后,他们总是想

12、方设法通过正向思维来思考去获得问题的解决的思路。但是,有很多数学问题利用正向思维很难获得问题的解决。如果改变一下思维方式,采用逆向思维去思考,则可以使问题很快得到解决,甚至可以得出一些创新的解法 。由此可见,在数学学习过程中,教师应注意学生逆向思维的培养,这样就会使得学生能够更加灵活地去解决数学问题。2.2.逆向思维在社会生活中的优越性在大力倡导素质教育的今天, 逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力,培养高素质人才也有着十分重要的意义.这种思维方式学生们在现实生活中也会有很大的帮助。比如我们都知道的司马光砸缸的故事，如果当时伙伴的第一反应是把他从缸里拉出来，可能无法在有效的时间救出伙伴，但

13、是关键时刻司马光知道了，砸缸会让水很快的流出，这对救援节省了不少时间。当然这样的逆向思考的例子很多，法拉第两次“后过来试试看”使大规模生产和利用电能成为可能，而这又引发了第三次产业革命。美国汽车大王福特一世在街上散步时，偶然间看到肉铺仓库里的几个工人顺次分别切牛的里脊肉、胸肉、头网，他的脑海里马上浮现出与些相反的过程：让工人顺次分别装上汽车的种种零部件。在传统的动物园内，无精打采的动物被关在笼子里让人参观。然而有人反过来想，把人关在活动的“笼子”里(汽车中)，不是可以更真实地欣赏大自然中动物的面貌吗?于是野生动物园应运而生。从上面的例子中我们都可以看出，这些无不体现生活中逆向思维的应用价值与好

14、处。我们应该在传统的思维方式上，还应具有一定的逆向思维方式。认真思考事物的本质特征，适当的运用一些逆向思维观察，培养自己的多想思维能力。真正的将理论和实际联系起来看问题。那么，怎样才能培养学生的逆向思维呢？对于现在的教师来说我们应该怎样做呢？3.如何培养学生的逆向思维53.1.影响学生思维定势的主要原因从以上数学事例和生活事例中我们可以看出，“逆向思维”在解决一些数学问题与一些实际问题时，确实起到简洁明了的作用，这样的方法是我们应该值得推广引用的，这就要求我们的老师在平时的教学中，多反思应如何培养和提高学生的“逆向思维”的能力？要回答这个问题我们首先分析一下影响学生思维定势的主要原因。不管是初

15、中还是高中，逆向思维都是我们学生们应该重点掌握的一个解题方法，就从学生们平常做题的情况来看，大多数学生都没有掌握这样的方法，不知道什么时候转换为逆向思维解题。初中生从思维过程上看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是从一个方面其作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难性，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练，需要我们从某些特殊问题上多做引导。而且从思维能力看，初中学生的思维是刚刚从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束

16、；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。高中生也是一样，初中的解题思路和方法也带入了高中，致使思维没有很好的展开，大多数学生还是一样的思路，思维定势，不活跃，无法将复杂问题简单化，这对培养全面发展的学生，照成了很大的阻碍。同时大多数老师以“建立定理证明定理运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的传统教学模式进行教学，忽视了逆向思维的培养与训练，使得学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维，简化做题步骤。这样，学生往往也就形成了一种定势思维，无法有效的进行逆向思考。从上面的问题我们可以总结出几点建议。3.2.教学中如培养学生的逆向思维实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及