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1、- 1 -2014高考数学模块跟踪训练简单几何体一、选择题(8540 分)1(2009山东，5)已知 ， 表示两个不同的平面， m为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面 、 垂直时， 内的直线 m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面 ，充分性不成立，故选 B.2(2009北京宣武一模)若 a， b是空间两条不同的直线， ， 是空间的两个不同的平面，则 a 的一个充分不必要条件是()A a ， B a ， C a b， b D a ， 答案：D解析：选
2、项 A中，若 a ， ，直线 a与平面 可能平行，如图，所以 A不正确；选项 B中，若 a ， ，直线 a与 可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图，所以 B不正确；选项 C中， a b， b ，直线 a与 可能平行，如图，所以 C不正确，故选 D.3(2009北京海淀一模)已知 l是直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中真命题的是()- 2 -A若 l ， l ，则 B若 ， l ，则 l C若 l ， l ，则 D若 l ， ，则 l 答案：C解析：选项 A中，如图， 与 可能相交，所以 A不正确；选项 B中，如图， l与 可能平行，所以 B不正确；选项 D中，如图，可能有 l ，所以
3、 D不正确，故选 C.4(2009东北三省十校一模)三棱锥 P ABC中 ABC90， PA PB PC，则下列说法正确的是 ()A平面 PAC平面 ABC B平面 PAB平面 PBCC PB平面 ABC D BC平面 PAB答案：A解析：如图，因为 ABC90， PA PB PC，所以点 P在底面的射影落在 ABC的斜边的中点 O处，连结 OB、 OP，则 PO OB.又 PA PC，所以 PO AC，且 AC OB O，所以 PO平面 ABC.又 PO平面 PAC，平面 PAC平面 ABC，故选 A.5给出下列四个命题：直线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件；过
4、空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件；一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补其中真命题为 ()A B C D答案：C解析：是必要条件，相等或互补或不确定，如图面 ABCD面 BEFC，面 ECDG面 BEFC.此时二面角 A BC F与二面角 G EC B的大小关系不确定，- 3 -故选 C.6已知二面角 l 的大小为 30， m、 n为异面直线， m平面 ， n平面 ，则 m、 n所成的角为()A30 B60 C120 D150答案：A解析： m ， n ， m，
5、 n所成的夹角与二面角 l 所成的角相等或互补二面角 l 为 30，故异面直线 m， n所成的夹角为 30，故选 A.7(2010湖北八校联考)在下列四个正方体中，能得出 AB CD的是 ()答案：A解析： CD在平面 BCD内， AB是平面 BCD的斜线，由三垂线定理可得 A.8(2009四川，5)如图所示，已知六棱锥 P ABCDEF的底面是正六边形， PA平面ABC， PA2 AB，则下列结论正确的是()A PB AD B平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAE D直线 PD与平面 ABC所成的角为 45答案：D解析： PB在底面的射影为 AB， AB与 AD不垂直， PB与 A
6、D不垂直，排除 A.又 BD AB， BD PA， BD面 PAB.但 BD不在面 PBC内，排除 B. BD AE， BD面 PAE， BC与面 PAE不平行，排除 C.又 PD与面 ABC所成的角为 PDA， AD2 AB PA， PDA45，故答案选 D.二、填空题(4520 分)9如右图所示， PA矩形 ABCD所在的平面，那么以P、 A、 B、 C、 D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是_答案：9 个解析： C 11019，(包括 PBD，为什么说 PBD不为35Rt)易判断 PDB90. PBD90，只须判断 BPD90.假设 BPD90，设 PA a， AD b， AB c
7、.- 4 - PB2 a2 c2， PD2 a2 b2 BPD90， BD2 b2 c22 a2而由 Rt ABD得： BD2 b2 c2.这显然不成立 BPD90.综合而得： PBD不是 Rt，共有 9个10在三棱锥 P ABC中， ABC90， BAC30， BC5，又 PA PB PC AC，则点 P到平面 ABC的距离是_答案：5 3解析： ABC90， BAC30， BC5， AC10.又 PA PB PC AC10， P在平面 ABC内的射影是 ABC的外心，即斜边 AC中点，设为 O，显然 PO5 .311对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：若 AB AC， BD CD，则
8、BC AD；若 AB CD， AC BD，则 BC AD；若 AB AC， BD CD，则 BC AD；若 AB CD， AC BD，则 BC AD.其中真命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案：解析：本题考查四面体的性质，取 BC的中点 E，则 BC AE， BC DE， BC面ADE， BC AD，故正确设 O为 A在面 BCD上的射影，依题意 OB CD， OC BD， O为垂心， OD BC， BC AD，故正确，易排除，故答案为.12(2009江苏，12)设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；(2)若
9、外一条直线 l与 内的一条直线平行，则 l和 平行；(3)设 和 相交于直线 l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直；(4)直线 l与 垂直的充分必要条件是 l与 内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案：(1)(2)解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确由线面平行的判定定理可知，(2)正确对于(3)来说， 内直线只垂直于 和 的交线 l，得不到其是 的垂线，故也得不出 .对于(4)来说， l只有和 内的两条相交直线垂直，才能得到 l .也就是说当 l垂直于 内的两条平行直线的话， l不一定垂直于 .三、解答题(41040 分)13如图，在四棱锥 P
10、ABCD中， PA底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC60，PA AB BC， E是 PC的中点证明：(1)CD AE；- 5 -(2)PD平面 ABE.证明：(1)在四棱锥 P ABCD中， PA底面 ABCD， CD平面 ABCD， PA CD. AC CD， PA AC A， CD平面 PAC.而 AE平面 PAC， CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA. E是 PC的中点， AE PC.由(1)知， AE CD，且 PC CD C， AE平面 PCD.而 PD平面 PCD， AE PD. PA底面 ABCD， PA AB.又 AB AD
11、，且 PA AD A， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， AB PD.又 AB AE A，综上可得 PD平面 ABE.14如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AA1 a， BC a， M是 AD中点， N是 B1C1中2点(1)求证： A1、 M、 C、 N四点共面；(2)求证： BD1 MC；(3)求证：平面 A1MCN平面 A1BD1；(4)求 A1B与平面 A1MCN所成的角解析：(1)取 A1D1中点 E，连结 ME、 C1E， A1N綊 EC1， MC綊 EC1. A1N綊 MC. A1， M， C， N四点共面(2)连结 BD，则 BD是 BD1在平面 AB
12、CD内的射影 ，MDCD CDBC 12 22Rt CDMRt BCD， DCM CBD. CBD BCM90. MC BD. BD1 MC.(3) 连结 A1C，由 A1BCD1是正方形，知 BD1 A1C. BD1 MC， BD1平面 A1MCN.- 6 -平面 A1MCN平面 A1BD1.(4) BA1C是 A1B与平面 A1MCN所成的角且等于 45.15如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E为棱 CC1上的动点(1)求证： A1E BD；(2)当点 E恰为棱 CC1上的中点时，求证：平面 A1BD平面EBD；(3)在棱 CC1上是否存在一个点 E，使二面角 A1
13、BD E的大小为45？如果存在，试确定点 E在棱 CC1上的位置；如果不存在，请说明理由解析：(1)证明：连结 AC，则 BD AC又 EC平面 ABCD，AA1平面 ABCD， AC是 A1E在平面 ABCD上的射影，由三垂线定理知： A1E BD.(2)证明：设 AC BD O，连结 A1O、 EO. A1D A1B， A1O BD，同理可证 EO BD， A1OE是二面角 A1 BD E的平面角设正方体的棱长为 2a，由平面几何知识，得A1O a， EO a， A1E3 a，6 3 A1E2 A1O2 EO2， A1OE90，即：平面 A1BD平面 EBD.(3)在正方体 ABCD A1B1C1D1中，假设棱 CC1上存在点 E，使二面角 A1 BD E的大小为 45，由(2)知 A1OE45.设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2a， EC x，由平面几何知识，得： EO ， A1O a，2a2 x2 6A1E ，8a2 (2a x)2在 A1OE中，由余弦定理得：A1E2 A1O2 EO22 A1OEOcos A1OE即： x28 ax2 a20(0 x2 a)，解得： x(43 )a.2(43 )a2a，(43 )a0，2 2棱 CC1上不存在满足条件的点 E
