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1、弹塑性力学中有关泊松比的讨论赵衍摘要 本文在塑性变形体积不可压缩的条件下导出了以塑性应变 定义的塑性泊松比 和以弹塑性总应变 定义的弹塑性泊松比 的计算式, 指出在小变形 范围内可以看作 = 0. 5, 而 则总是小于0. 5; 当变形较大时, 无论是 还 是 均远小于0. 5。关键词：材料弹塑性 泊松比 大应变1 引言泊松比是材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，是材料的一个弹性常数。当材料进入弹塑性变形阶段后, 泊松比不再是常量而成为应变的函数。一般认为随着塑性变形的增加, 泊松比渐趋于0. 5。塑性变形的泊松比到底是多大? 若是0. 5, 其条件又是什么? 本文对
2、上述问题进行了探讨 , 在塑性变形体积不可压缩条件下的结论是: 小变形时, 以塑性应变定义的塑性泊松比 = 0. 5, 以弹塑性总应变定义的弹塑性泊松比 则总是小于0. 5; 大变形时, 无论是 还是 均远小于0. 5。这个结论澄清了长期 存在的一些模糊认识。在材料科学和加工手段飞速发展的今天, 高塑性和超塑性等大变形工程问题大量出现，迫切的需要对这些问题进行深入的研究。2塑性泊松比 以 表示材料的弹性泊松比, 它是常数。简单应力状态下进入弹塑性变形阶段后的总应变包括弹性应变和塑性应变这时三个方向的应变可表示为设研究对象初始体积为V0,则变形后体积为由塑性变形体积不可压缩,即仅有弹性应变e影响
3、体积的改变,故又有由以上二式可解得若略去弹性应变e,可得简化式根据(1)式和(2)式进行计算的结果表明,材料的弹性性质即e和e对p的影响微乎其微,可以忽略不计。如当e0.005时, (2)式相对(1)式的误差小于0.7%;当e=0.01时,误差不超过1.3%,故用简化式(2)代替式(1)是可行的。表1给出了一些计算结果。从表中看到在小变形(0.01)条件下可以认为p=0.5,但变形较大时这一结论不再成立。表1(e=0.3)在大变形问题中,一般将应变定义为自然应变e,塑性自然应变为ep,即则可导出用塑性自然应变表示的塑性泊松比为表2给出了大变形时p的一些计算结果。可以看到,随着应变的增长,p下降
4、到远离0.5,且自然应变表示的p下降得更快。图1为大变形时p-p关系曲线。3弹塑性泊松比ep令弹塑性总应变ep=e+p,其对应的弹塑性泊松比为ep,材料的弹性模量为E,应力是总应变ep的函数=(ep)。弹性泊松比仍为e,弹性应变e=E。此时三个方向的应变为1=ep 2= 3=-epep设研究对象初始体积为V0,则由弹性变形,体积改变为(塑性变形体积不变)由总应变ep表示的体积为由上两式可解得考虑到一般E,可得简化式计算结果表明,当变形较大时,简化式(5)与式(4)相比误差很小,特别是大变形情况下误差极小,故可取式(5)作为大变形弹塑性泊松比ep的一般计算式。式(4)对ep求导并令其为零可得方程
5、式(6)的解即为ep的极值点,这一极值小于0.5。对钢材,ep的极值约为0.470.49。若以自然应变表示,ep为图2为ep-ep关系曲线。图中虚线为(5)式,两条实线为两种理想弹塑性材料根据(4)式画出,其一为e=0.28,0=0.0012;另一为e=0.30,0=0.0017。0为材料的屈服应变。从图中可以看到,进入弹塑性变形阶段后,随着ep的增大,ep急剧增加,在ep为0.02左右时,ep达极值后又逐渐减小。在ep0.1的范围内尚可以认为ep接近0.5。图中虚线为实线的渐近线,这表明大变形时e与e对ep的影响可忽略不计,即可以认为ep与材料无关。(2)式与(5)式形式一致,表明大变形时无
6、需再区分塑性泊松比与弹塑性泊松比。其原因在于大变形情况下总变形中弹性变形的成分很少,绝大部分均为塑性变形。4结论1)塑性泊松比p是p的单调减函数,可以认为它与材料的弹性性质无关,且在小变形范围内为0.5;随着变形的增大,p逐渐减小。2) 由于大变形时泊松比p和ep远非0.5,故工程中的大变形问题,特别是大变形的位移分析与应变分析可采用本文提供的算式来计算其实时泊松比。3)若采用实验手段进行测试,由于不易从总应变ep中分离弹性应变e和塑性应变p,故一般测得的是弹塑性泊松比ep,它永远也不会达到0.5。只有分离出塑性应变p后,才能测得极接近0.5的塑性泊松比p。4) 弹塑性泊松比ep为ep的先单调增后单调减的函数,式(6)的解为其极值点,这一值总是小于0.5;随着变形的增加,ep趋于与p一致。
