概率论与数理统计第三版

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1、概率论与数理统计下回停第一章随机事件和概率下回停第一节 随机事件和样本空间一、概率论的诞生及应用三、 随机试验五、 随机事件的概念二、 随机现象 四、 样本空间 样本点一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生干局，谁先赢 s 局就算赢 , 当赌徒 A赢 a局 (a s), 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支 .起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需整理和研究大量的随机数据资料 ， 这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题 . 数学家费马向帕斯卡提出下列的问题： “有两个赌徒相约赌若了古典概率论的基础

2、.而赌徒 B赢 b局 (b s)时 , 赌博中止 , 那赌本如何分才合理 ?” 于是他们从不同的理由出发 ,都给出了正确的解法 ， 而在三年后 ,荷兰的数学家惠根斯(1629-1695)亦用自己的方法解决了这一问题 , 更写成了 论赌博中的计算 一书 , 此即概率论最早的论著 , 在他们三人提出的解法中 , 首先都涉及了 数学期望 (mathematical expectation)这一概念，并由此奠定2. 概率论的应用近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域 .许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的 . 在一定条

3、件下可以准确预言结果的现象称为确定性现象 .也称为必然现象 .“在一个标准大气压下 100度的水必定沸腾 ”;1.确定性现象 “恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然作匀速直线运动 ”;“没有外力作用下， 向上抛一颗石子必然下落 ”;实例自然界所观察到的现象:确定性现象 ,随机现象 .二、随机现象 在基本条件完全相同的条件下，可能发生也可能不发生的 现象 称为 随机现象 .2. 随机现象 “函数在间断点处不存在导数 ” 等 .确定性现象的特征 条件完全决定结果 .实例 1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币 ,观察正反两面出现的情况 ”.结果有可能 出现正面 也可能 出现反面 .结果有可能为 :

4、 “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.实例 3 “抛掷一枚骰子 ,观察出现的点数 ”.实例 2 “在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸 ”.结果 : “它们的尺寸总会有一点差异 ”.实例 4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 ”.其结果可能为 :正品 、 次品实例 5 “过马路交叉口时 ,可能遇上各种颜色的交通指挥灯 ”.实例 6 “一只灯泡的寿命 ” 可长可短 .实例 7 出生的婴儿可能是 男 ,也可能是 女 .实例 8 明天的天气可能是 晴 , 也可能是 多云或 雨 .随机现象的特征 条件不能完全决定结果 个别随机现象 ： 原则上不能在相同条件下

5、重复出现（例 6） .3. 随机现象的分类大量性随机现象 ：在相同条件下可以重复出现（其他） . 2随机现象从表面上看，似乎杂乱无章 , 没有规律 .但实践证明 , 如果同类的随机现象大量 重复出现 , 它的总体就呈现出一定的规律性 .注 1随机现象 揭示了条件和结果之间的 非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 .这种规律性随着我们观察的次数的增多而愈加明显 .这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性叫做 统计规律性 .概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科 . 1） 可重复性： 允许在相同的条件下重复地进行 ;2） 随机性： 每次试验的结果可能 不会相同，2.定义

6、在概率论中 , 把具有以下 三个特征 的试验称为 随机试验 .三、随机试验1.问题的提出 如何来研究随机现象 ?随机现象是通过随机试验来研究的 .试验之前不能确定哪一个结果 出现；3） 可观察性： 能事先明确试验的所有可能结果 .注 1 随机试验简称为试验 , 是一个广泛的术语 .它 包括各种各样的科学实验 , 也包括对客观事物行的 “调查 ”、 “观察 ”、或 “测量 ” 等 .实例 “抛掷一枚硬币 ,观察正面 ,反面出现的情况 ”.分析2随机试验通常用 E 来表示 .(1) 试验可以 在相同的条件下重复地进行 ;(2) 试验的所有可能结果 : 正面， 反面 ;进行一次 试验之前不能确定哪一

7、个结果会出现 . 故为随机试验 .1.“抛掷一枚骰子 ,观察出现的点数 ”.2.“从一批产品中 ,依次任选三件 ,记录出现正品与次品的件数 ”.同理可知下列试验都为随机试验3. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人 数 .4. 考察某地区 10 月份的平均气温 .5. 从一批灯泡中任取一只 ,测试其寿命 . 1. 问题的提出2. 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的 样本空间 , 记为 .样本空间的元素 , 即试验 E 的每一个 (最简单的不能再分解的 )可能结果 , 称为 样本点 ， 记作 .四、样本空间 样本点随机试验的结果怎么去表述？现代集合论为表述随机试验提供了一

8、个方便的工具 .例 11)观 将一枚硬币连抛 N次 ,观察正面出现的次数 .写出下列随机试验的样本空间 .2) 抛掷一枚骰子 , 观察出现的点数 .3) 从一批产品中 ,依次任选三件 ,记录出现正品与次品的情况 .4) 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数 .5) 考察某地区 12月份的平均 气温 .6) 从一批灯泡中任取一只 , 测试其寿命 . 2 同一试验 , 若试验目的不同 , 则对应的样本空 间也不同 .如： 对于同一试验 : “将一枚硬币抛掷三次 ”.若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为若观察出现正面的次数 , 则样本空间为注 1 试验不同 , 对应的样本空间也不

9、同 . 3建立样本空间 ,事实上就是建立随机现象的数学模型 .因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题 .如： 只包含两个样本点的样本空间 ,它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面 的模型 , 也可以作为产品检验中 合格 与 不合格 的模型 , 又能用于排队现象中 有人排队 与 无人排队 的模型等 . 所以在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间 . 随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集称为 E 的随机事件 , 简称事件 . 2. 基本概念五、随机事件的概念如何描述满足某些条件的样本点 ?在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现 .

10、这就是 随机事件 .1. 问题的提出事件是概率论中最基本的概念 ,能将所关心的事件正确地表达出来是学习概率的基本要求 . 试验中 ,骰子 “出现 1点 ”, “出现 2点 ”, ,“出现 6点 ” “点数不大于 4”, “点数为偶数 ” 等都为随机事件 .抛掷一枚骰子 , 观察出现的点数 .实例 如： “出现 1点 ”, “出现 2点 ”, , “ 出现 6点 ”.(1) 基本事件 由一个样本点组成的单点集 .(2) 复合事件 由若干个样本点组成的点集 .如： “点数不大于 4”, “点数为偶数 ” .3. 随机事件的分类 基本事件是不能再分解的事件。 复合事件是由基本事件组成的事件。如： 上

11、述试验中 “点数不大于 6” 就是必然事件 .(1) 必然事件 随机试验中必然会出现的结果 . 记为 4. 两个极端随机事件 必然事件是每次试验中都会发生的事件。 所有确定性事件都是必然事件。如： 上述试验中 “点数大于 6” 就是不可能事件 .记为 。(2) 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果 .必然事件的对立面是不可能事件 , 不可能事件的对立面是必然事件 ,它们互称为对立事件 .4. 几点说明1随机事件可简称为事件 , 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件 .例如 抛掷一枚骰子 , 观察出现的点数 .可设 A = 点数不大于 4, B = 点数为奇数 等等 .2随机事件中只

12、要有一个样本点发生，就称为随机事件发生 .3随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间 , 样本空间的子集就是随机事件 .随机试验 样本空间 子集 随机事件不可能事件随机事件 基本事件必然事件复合事件互为对立事件内容小结随机现象的特征 :1. 条件不能完全决定结果 .2. 随机现象是通过随机试验来研究的 .随机试验3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系 .(1) 允许在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的结果具有随机性，试验之前不能确定哪一个结果出现；(3)事先明确试验的所有可能结果 .思考问题：1. 样本空间有什么性质？(1) 每次试验必有属于样本空间中的

13、某个样本点发生 ;(2) 样本空间中任意两个不同的样本点不会在同一次试验中发生。2. 如何判定在一次特定试验条件下事件 A是否会发生？答案 :例 1-1 写出下列随机试验的样本空间 .1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数 (设以百分制记分 ).2) 生产产品直到得到 10件正品 ,记录生产产品的总件数 .备用题实例 抛一枚骰子的试验中 E, 观察其出现点数。第 2节 事件的关系和运算在此试验中 , = A1,A2, A3, A4, A5, A6。A1=“出现 1点 ”, A2=“出现 2点 ”, A3=“出现 3点 ”, A4=“出现 4点 ”, A5=“出现 5点 ”, A6=“出现 6

14、点 ”都是基本事件；A7=“出现偶数点 ”, A8=“出现点数大于 3点 ”等都是事件，但不是基本事件；A9=“出现点数小于 7”是必然事件 , A10=“出现点数大于 6”是不可能的事件 , 1. 包含关系 若事件 A 出现 , 必然导致 B 出现 即属于 A的每个样本点也属于 B,则称 事件 B 包含事件 A,记作Venn图BA随机事件间的关系及运算例如 A=4,B=2,4,6,则 A B对任何事件 A,有 A 2. A等于 B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件B 包含事件 A， 则称 事件 A 与事件 B 相等 ， 记作 A=B.即 A与 B中的样本点完全相同。掷一颗骰子A表示点数小于 3， B表示点数为 1或 2则 A=B实例 3. 事件 A 与 B 的并 (和事件 )Venn图 BA表示 “事件 A和事件 B至少有一个发生 ”它是由 A与 B的所有样本点构成的集合。实例 掷骰子之例中，若A=1,2,3,B=1,3,5则 AB=1,2,3,5表示 “事件 中至少有一个发生 ”.表示 “事件 中至少有一个发生 ”.Venn图A BAB4. 事件 A 与 B 的交 (积事件 )表示 “