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1、3.4 两个随机变量函数的分布,二维离散型随机变量的函数的分布,二维连续型随机变量的函数的分布,和的分布,商的分布,最小值、最大值的分布,课堂练习、作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布?,二维离散型随机变量的函数的分布,是一维离散型随机变量 .,其分布律为,则,解 依题意,例1 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 ,
2、1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,我们还可以证明：如果X与Y相互独立，且X b (n, p)， Y b (m, p)，则 X+Y b ( n+m, p).,证明 X+Y 的所有可能取值为 0，1，,m+n.,证毕,二维连续型随机变量的函数的分布,是一维连续型随机变量。,其分布函数为,是连续函数，,其分布密度函数为,则,解,概率密度函数为,所以，分布函数为：,下面我们重点讨论连续型随机变量的三种函数的分布。,设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的
3、半平面.,一、 的分布,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,例3 设X和Y相互独立，且,解：,只有当,当,时，,U（0,1）,E(1)，,时，,求Z=X+Y的概率密度。,由卷积公式,当,时，,
4、当,时，,例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,相互独立，且,定理3.4.1 设,则,二、商的分布,设X和Y的联合密度为 f (x,y) ,求,的概率密度函数。,对任意
5、实数Z，有分布函数,所以概率密度为,特别若X，Y相互独立得概率密度为,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:,1. M = max(X,Y) 的分布函数,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz)
6、,=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i = 1, , n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例5 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii)
7、备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i) 串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X，Y 的概率密度为,所以 X,Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii) 并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii) 备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,设,相互独立，且分布函数均为,求,的分布函数。,解：,课堂，为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时 ,当 时 ,当,于是,时 ,作业：,习题册 练习3.4,
