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1、榆林学院本科毕业论文分类号 0178 单位代码 密 级 学 号 学生毕业论文题 目 奇偶性的推广及应用作 者院 (系) 数学系专 业 数学与应用数学指导教师答辩日期 2014 年 5 月 2 日榆林学院本科毕业论文I摘 要奇偶性是一种特殊对称性，利用函数对称性可以化简很多积分计算本课题从一元函数奇偶性定义出发，进而先横向将其推广到一般的中心对称、轴对称的情况，再纵向推广到多元函数的情况最后介绍对称性在一些积分运算中的应用，让我们对对称性有一个更深入的了解关键字：奇偶性；中心对称；轴对称榆林学院本科毕业论文IIThe deformation and Application of An Equat
2、ionABSTRACTParity is a special kind of symmetry，integral calculation can be simplified a lot by symmetry functionsThis topic carries on the deformation，then first to promote it to the center of the general symmetry，axisymmetric condition，longitudinal extension to multivariate function from the defin
3、ition of function parity sexFinally introduces the application of symmetry in some integral operation，let us have a deeper knowledge of symmetryKey words：parity；center symmetry；axisymmetric 榆林学院本科毕业论文III目 录摘 要 .IABSTRACT.II目 录 .III1 引言 .12 函数奇偶性定义的推广 .22.1 一元函数奇偶性定义 .22.2 一元函数奇偶性概念的推广 .23 函数对称性的应用 .
4、43.1 一元函数对称性的应用 .43.2 二元函数对称性的应用 .84 小结 .12参考文献 .13致 谢 .14奇偶性的推广及应用01引言我们知道一元奇函数是关于原点中心对称的函数，偶函数是关于 轴对称的y函数，对于这一类函数性质的应用我们已经十分熟悉。奇偶性是一种特殊的对称性，那么对于一般的点对称、轴对称的性质呢？一元函数我们清楚了，那么多元函数呢？本文将对这些问题做一个初步的研究12函数奇偶性定义的推广2.1 一元函数奇偶性定义先写出一元函数奇偶性的定义：定义1 1 为定义在 上的函数， 是对称于原点的数集对 ，xfDxD若有 ，则 为 上的奇函数；若有 ，则 为ff fxff上的偶函
5、数D判断一元函数奇偶性有三种等价的形式：推论1 对定义域内任意 ，x（1） 为偶函数的充要条件为 ；xf 0xff（2） 为奇函数的充要条件为 推论2 对定义域内任意 ，当 恒不为 时，xf（1） 为偶函数的充要条件为 ；xf 1xf（2） 为奇函数的充要条件为 f f推论3 对定义域内任意 ，x（1） 为偶函数的充要条件为 ；xf 2fxffx（2） 为奇函数的充要条件为 2.2 一元函数奇偶性概念的推广我们知道一元奇函数是关于原点成中心对称的函数，一元偶函数是关于 轴y成轴对称的函数，那么一般的中心对称、轴对称又是如何定义的呢？现在我们就从一元函数奇偶性定义出发，看看一般中心对称轴对称是如
6、何定义的定义 22 如果函数 ， ，满足对 ，恒有xfDx奇偶性的推广及应用2，那么函数图象关于点 对称；2bfaxfba,如果函数 ， 满足对 ，恒有 ，那么函数图Dxx2fxf象有直线 对称x特殊的取 ， 时，就得到一元函数奇偶性的定义了0ab由此我们就将函数的奇偶性推广为一般的中心对称，轴对称，以后我们提到奇偶函数时就可以用中心对称，轴对称来代替完成了它的纵向推广过程，我们再来看一下它的横向推广过程即了解一元函数对称性后，我们再来看一下多元函数的对称性定义 32 如果二元函数 ，定义域为 ，任给 ，,fxyDyx,（1）若 ，则称 是以点, 2faxbabc,abR,f中心对称的二元函数
7、,abc（2）若 ，则称 是以直线 ，,2,fxyfx,fxyxa为对称轴的二元函数y（3）若 ，则称 是以面 为对称面,faxyf,abR,fxyx的二元函数，同样若 ，则称 是以面 为对称面的2bfxyb二元函数三元函数到 元函数的情况同理由此完成了奇偶函数定义的纵向推广过n程多元函数对称性也可以用像一元函数奇偶性的等价变形来证明这里不再加以说明大学数学中有很多问题都用到了函数的对称性，下面我们主要说明一下一元函数和二元函数对称性的应用33函数对称性的应用3.1 一元函数对称性的应用定理 13 若 在定义域内可积且关于点 对称，即 满足fx,abfx，则对 ，有2faxfb0m2afxdb
8、证明 由已知 ，先令 ，则faxfat，ammdtmfdmfaxd再令 ，则xt，ammfxfatmf那么就有 2mmamfxdfaxdfxd mfaf，1212mbdxb得证特殊的当 ， 时，即为一元函数积分对称性应用0ab定理 24 若 在定义域内可积且关于直线 对称，即 满足fxxafx，则对 ，有fxfm2aamfxdfxd证明 左边 ，已知 ，amaaf 2faxf现令 ，则2xt，2aammfxdftd奇偶性的推广及应用4amftd，ax那么左边 右边，得证aammfxdfxd2mf例 15 求定积分 201tn解 令 ，取 ， ，则 ，有tafxx04a0,4xfxf11tantan44xx1ta1ta2xxtancot44xxtan1tant144xx，由定义 3 知 在 上关于点 对称，再由定理 1 知fx0,21,42+40-=tantandxdx12例 2 求积分 的值20cosinxId5解 令 ，则cosinxfx coscs22oi inxxfxfx cssiinco1xx，那么 关于 中心对称由定理 1 知fx,4220cosinxId+4-=csix12例 3 求定积分 I197xxed解 积分区域关于原点对称且原式 I1197xe
