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1、必修 2 立体几何初始课（教学教案）授课教师：彭 景2011.11.8 2 立体几何初步起始课湖北省武昌实验中学 彭 景一、教学设计1.教学目标分析数学课程标准要求帮助学生逐步形成空间想象能力，结合实际生活中的一些具体例子，感受学习立体几何的必要性 .通过本章节的学习，让学生体会立体几何在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用，能初步应用数学思想处理现实生活和社会中的简单问题 . 本节课作为本章的引入，十分重要 .本课时就是要着重说明立体几何研究的对象、学习的内容以及实际问题的解决 .引导学生正确认识学习立体几何的重要性和必要性 .更重要的是让学生通过自主或合作建构初步了解
2、本章的知识网络结构， 明确本章内容学习的特点、 学习方法和能力要求等 .根据以上分析，确定 教学目标 如下：（ 1）通过本节课的学习，使学生了解立体几何的研究对象，培养学生的空间想象能力；（ 2）通过实验让学生观察、思考、比较 .让学生在有趣的活动中建立空间概念；（ 3）激发学生学习立体几何的兴趣，培养他们善思的学风、探索的精神 . 2.教学内容解析本课内容为人教 A 版普通高中课程标准实验教科书 A 版 数学 2 必修第 2 页，立体几何初步的引言部分 .这是本章的起始内容，这一章的主要知识点有：空间几何体的结构、空间几何体的三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积 .因此本节课的重点要引发
3、学生对本章内容学习的期待，为全章内容和后续的学习起到较好的铺垫作用 . 立体几何初步是学习完必修 1 后在必修 2 分两章出现， 内容分为空间几何体的结构、 三视图和直观图、表面积和体积；空间点、线、面的位置关系；这样的安排，使学生先认识了空间几何体的结构特征，并且能够画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感性上升理性认识，更符合学生的认知规律 .此外，在空间几何体的三视图和直观图教学中， 将立体图形平面化蕴含着 “ 转化思想 ” ， 同一结论的描述在平面几何和立体几何中有天然的联系，也有明显的差异渗透了 “ 类比的思想 ”.因此，数学思想的教学也是本节课的主要内
4、容 .根据以上分析，本节课的 教学重点 确定为：(1) 培养学生空间想象能力，初步建立空间概念 . (2) 激发学生学习的主动性，侧重于立体几何的价值和知识体系的展开脉络的认识3.教学问题诊断学生初中学过的平面几何知识及学生对立体图形：柱体、锥体、球等有初步的理解 . 学生具备一定的平面图形与立体图形互相转化的能力 .但是由于长期在平面几何的思维模式下， 学生对立体图形的认识和空间想象能力的缺乏， 全面考虑空间中的各种情况均有一定的困难，所以本节课的 教学难点 确定为：空间概念的建立及空间想象能力的培养 .4.教学对策分析本节课作为起始课， 教学准备多， 学生参与度高， 需要采用实物教具 （圆
5、柱、 正方体等） ，多媒体课件辅助教学，现采用的软件有几何画板、 PPT，同时考虑到学生的互动实验，专门3 为每位学生准备了实验用的小棒 6 根 .学生需自带书本，草稿纸、铅笔。5.教学基本流程周围世界中的几何体 简单几何体 空间图形的平面表示 点线面的位置关系 比较平面几何与立体几何学习特点，向学生逐步展开立体几何的知识画卷。6.教学过程设计（一）引入问题 1 我们生活在丰富多彩的图形世界中，从太空的天体到现实世界的建筑，从居家的装饰到生活用品器具， 再从机械零件到微观世界的分子结构。 自然界展现了丰富多彩的几何图形。请看下列图片，你能从中找到哪些熟悉的空间图形？生：锥体、圆柱体、长方体、球
6、体等等。说明： 教师简单点评，引导学生认识空间复杂几何体一般都是一些柱、 锥、 球等简单几何体组合而成的，并指出几何学的研究对象和在各领域的广泛应用价值。设计意图 ： 使学生从图片展示中感受立体几何与我们的生活环境密切相关， 学习立体几何知识对我们更好的认识我们周围的环境具有重要价值和意义，增强本章内容与学生的亲近感。（二）空间图形的平面表示（ 中心投影 ）问题 2 为了便于对几何图形的研究，我们需要用平面图形来表示空间几何体。你知道有哪些用平面图形来表示空间图形的方法吗？生：相片、绘画、三视图等。师： （ PPT 显示泰姬陵 印度）照片能够清楚的表达物体的空间形状，与我们用眼睛直接看到的几乎
7、是一样的。4 问题 3 为什么照片能很好的展现三维空间的物体呢？（等待 10 秒） （用 PPT 显示眼睛成像，简单介绍照相机成像原理）师：观察两幅成像示意图，可以发现它们成像的光学原理一样！人眼被看成一个点，由此出发来观察景物。 从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥。 相机的设计正是基于这个原理。把图形本身在眼中的影像展现出来了。泰姬陵 印度5 问题 4 实际上照片的成像原理是 中心投影 。 （回顾泰姬陵或沙市中学景观发问）为了初步了解这种投影方式，观察这幅图片（ PPT 显示照片中的长方体盒子） 。看看中心投影得到的图片具有怎样的性质？生：特点： 近大远小， 平行等长的线段被中
8、心投影后一般不再保持平行和等长，只有与投影面平行的那些平行线段仍保持平行性。师： （提示、补充小结）问题 5 你能找到两幅绘画作品的中心投影吗 ?(学生回答后 PPT 上显示投影线 ) 数学对绘画艺术作出了贡献， 绘画艺术也给数学以丰厚的回报， 画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思维， 并促进了数学的一个全新的发展方向， 这就是射影几何。同学们如果在大学选择了数学系，会学习这门带有绘画艺术气息的数学课。泰姬陵 印度6 师： “ 最后的晚餐 ” 描绘出真情实感。 观众似乎觉得达芬奇就在画中的房子里，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使观者注意力集中于基督。设计意图 ： 从照片入
9、手， 介绍相机成像原理和人眼的视觉原理， 并介绍历史上绘画发展中数学与绘画艺术的互相推动作用，使学生在了解中心投影表示空间几何图形的方法的同时，也感受到数学对人类文明发展的价值和意义，激发学生对立体几何学习的兴趣。（三）空间图形的平面表示（ 平行投影 ）在日常生活中，我们有这样的经验，物体在太阳光下都会有影子。 （ PPT 展示物体影子的照片） 在物理学习中， 我们知道太阳光可以近似的认为是平行光。 我们把物体在平行光下的投影称为平行投影。 （ PPT 上给出平行投影的概念及图示）实际上我们在小学和中学课本中看到的大部分立体几何图形都是利用平行投影展示的。 （初中学习过的 PPT）问题 6 观
10、察 PPT 上两个正方体图形，平行投影与中心投影的图形有何不同？学生：平行投影中正方体中平行且等长的线段仍保持平行且等长。师：思考为什么在数学研究中，我们选择平行投影展示空间图形呢？投影面物体投影7 说明：结合学生所讲，可补充讲解在数学研究中，我们不关心色彩、光亮度、材质等因素。 我们更关心图形中点线面的位置关系。 而平行投影展示的图形一方面与我们眼中的映像比较相似。 另一方面， 又很好的保留了几何图形中原有的平行、 线段比值不变等性质。 所以，一般采用空间图形在平行投影下的平面图形来展示空间图形。 （课本中柱、锥、台等几何体的图形实际上就是根据斜二测画法画出的。 我们会在后续课程中详细学习斜
11、二测画法画图） 。设计意图 ： 使学生感觉到对立体几何的平面图形表示并不陌生， 甚至在小学我们就已经见过了， 在高中立体几何的学习中只不再仅仅满足于看， 而且要动手亲自去画， 学习这种图形的绘制规则，并从直观感知上初步了解平行投影的图形性质。（四）探究立体几何与平面几何学习的区别与联系问题 7 看下面这副图，你能用课本表示出来吗 ? 生：有两种情况，一种向内，一种向外。师：为了避免视觉上的混乱，我们可以借助其它线段来表示。它们的位置如下图：问题 8 根据刚才的原则 ， 请同学们试着自己在纸上画出一个正方体。 （共同讨论虚实线的作用，回到原图揭示金字塔的秘密）生：在纸上画出后，老师巡视情况，典型
12、情况展示在 PPT 上说明：正方体的命名规则。师： （ 问题 8 继续） 请指出正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中的四边形 ABCD 在实物中是什么图形？途中相交的线段 DC 与 B1B 在实物中又是怎样的关系？图中 A 1AB 、 A 1AD 为多少度呢？设计意图 ： 问题 8 旨在使学生了解图中的虚实线的意义， 了解看图的方法， 认识到学习8 立体几何图、绘图的重要性。师： 在平面几何中图形的点线位置关系与实物一致。 立体几何中的几何直观图的点线面位置关系与实物不一定一致。 因此， 在立体几何识图时，需要借助空间的想象和理性的分析。除了识图的区别之外问题 9 在平面几何中，我们知道
13、“ 垂直于同一直线的两直线互相平行 ” ，那么这一结论在立体几何中是否成立？你能借助图中的立方体或者室内的具体实例来说明吗？生：指出墙角等实际位置关系或直接用正方体模型说明师： 在思考问题时要树立空间思维意识， 有意识去克服平面几何四位的惯性。 这样就可以避免不加思考的将平面几何中的结论拿到立体几何中来使用。思维挑战思考 1“ 三刀切西瓜，最多切成几块？ ”8 块思考 2“ 以六根小棒为边，以首尾相连的方式最多可拼成几个三角形？ ”4 个（显示 PPT 正四面体）思考 3 下列哪些正方体是由该展开图折叠而成的？师： 别看有的同学回答迅速但不一定正确。 今天我暂时不公布答案。 建议同学们课后通过
14、制作模型检验自己的想法正确性。 立体几何需要我们具备一定的空间想象能力， 同时也能提升我们的空间想象能力。 立体几何的学习需要我们建立一种对空间位置关系进行思考判断的视角与方法。小结 ： 本节课我们从周围世界中的几何体出发， 明确了立体几何的研究对象 空间几何体；又通过对相机成像原理的了解， 知道了用平面图形表示空间图形的一些基本原理与方法。 并通过一些小实验，亲身经历了虚实线在立体图形中的重要意义。认识到学习立体几何识图、绘图的重要性。 最后明白了立体几何学习需要我们具备一定的空间想象能力， 在思考问题时，要树立空间思维意识，有意识去克服平面几何思维的惯性。（五）课后延伸*下面一些做法对发展
15、空间想象力很有好处 *（ 有多时间的话留给学生一些合理建议 ）观察事物 先观察， 然后略去物体的材质、 颜色等要素， 在头脑中努力勾勒出其线条结构，形成抽象的空间形状与结构。绘制图形 把头脑中的空间形状与结构在纸上按特定的规则表达出来。识别图形 翻看课本中直观图， 把看到的直观图在头脑中还原成立体结构， 形成实物，若有困难，则可采取动手操作。动手操作 用笔、木棍等搭建几何体。另外还可以先旋转改变模型的各个位置特征，形成对空间几何元素的操作序列。9 设计意图 ：指导学生如何更快地去发展提高自己的空间想象能力。（六）作业布置：（ 1）阅读课本 P3-11 了解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的结构特征
16、：（ 2） 模型制作 （利用小棒为几何体的棱， 制作几何体） ： 正方体、 正三棱柱、 正三棱锥、正四面体等设计意图 ： 在进入立体几何学习前， 用活动促进学生对柱锥台等几何体的直观认识， 在头脑中建立具体的几何模型构图，建立学生的空间想象能力。为了给学生留下深刻的印象和可参考的资料，本节课板书如下 . 立体几何初步1， 立体几何研究对象 空间几何体2， 空间几何体的平面图形表示中心投影平行投影：虚实结合 直观感知理性分析 操作确认3，立体几何与平面几何学习的区别与联系。空间想象力的锻炼 空间问题平面化二、教学反思新课程改革提倡把知识与技能、 过程与方法、 情感态度与价值观三者有机统一起来， 即力求做到 “ 三位一体 ”.这就要求教师必须转变教学观念，改变传统的教学方法，改善学生单一的学习方式 .但改革必须有抓手和依托，每章的引言恰恰给我们提供了契机 .从这一意义上说，引言教学犹如一面窗户，映衬出课程改革的全貌 .通过本节课的教学实践，认识到多一点
