趣谈平面体系的几何组成分析

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1、07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 1 页，共 26 页07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1. 问题的提出在人们眼中，每个建筑物天天都一个样，即建筑物是 1 能够承受一切工作荷载的、 2 静止在地面上的、 3 似乎没有任何变形的 4 人造物。在土木工程中，建筑物的骨架称为“ 结构 ”，结构常常用所谓的“ 结构计算简图 ”来表述。因此，“ 结构计算简图 ”必须首先体现人们眼中建筑物的 3 个“

2、特征 ”。如何在设计建筑结构计算简图时， 不用计算分析， 就能够判断出该图能否作为 “ 结构的计算简图 ”呢？在没有判断前，这样的图只能够称之为“ 体系 ”，因为画出的体系可能不是结构的计算简图。显然， 作为建筑物骨架的 “ 结构计算简图 ” ， 首先应该是人们眼中的建筑物雏形， 即 “ 1能够承受一切工作荷载的、 2 静止在地面上的、 3 似乎没有任何变形的”“ 体系 ”。如果画出的体系不是这样的体系， 就没有必要做进一步的设计分析计算等。 所以， 在计算分析之前，判断画出的体系图是否可以作为“ 结构的计算简图 ”，是一个必不可少的重要环节之一。这一工作， 就是本章要专门研究的问题： 如何判

3、断一个画出的平面体系图， 是否是人们眼中的建筑物骨架？这个工作可称为 平面杆件体系的几何组成分析 。 2. 几何不变体系和几何可变体系的定义1、体系物体的集合，称为 体系 。2、刚体与刚片在任意荷载作用下，不计各个组成的三维物体本身变形的体系， 称为 刚体 。 显然，该定义有 2 个要点：荷载任意和不计本身变形。在任意荷载作用下， 不计各个组成的、 位于同一个平面的平面物体本身变形的体系， 称为 刚片 。显然，该定义有 2 个要点：荷载任意和不计本身变形。07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 2 页，共 26 页由于只研究平面杆件体系，故后面只用刚片一词。3、几何不变体系与几

4、何可变体系在任意荷载作用下， 不计各个组成的物体本身变形， 而保持其几何形状大小和位置都不变的体系，称为“ 几何不变体系 ”。显然，该定义有 3 个要点：荷载任意、不计本身变形时的几何形状大小不变和空间位置不变。否则，只有几何形状大小和空间位置之一发生变化，就称为“ 几何可变体系 ”。简言之， 空间位置不变的 刚体 称为称为 “ 几何不变体系 ” ； 空间位置可变的 刚体 称为 “ 几何可变体系 ”。4、结构与机构土木工程要求“结构”处于平衡状态（相对于地面静止或做匀速直线运动），事实上，作为建筑物骨架的结构， 是处于静止状态的。 因此， 只有 几何不变体系， 才可能成为 “ 结构 ” 。机械

5、工程要求“机械”能够运转（运动），因此， 只有几何可变体系，才可能成为 “ 机械 ”，或者说“ 机构 （机械构造）”。5、几何瞬变体系有这样一种情况： 在任意荷载作用下， 如果不考虑体系杆件本身的变形， 体系在形状大小作微小改变之后， 该体系就成为几何不变体系。 为了把这种体系与几何可变体系加以区别，称该体系为 几何瞬变体系 。由于这种体系在产生“微小改变”时，会产生巨大的内力使得体系立即破坏，参见图2-1 。故， 几何瞬变体系 是土木工程和机械工程 都不能够使用的体系 。图 2-1 三角架内力和瞬变体系FA BC0sinsin BCACx FFF0coscos FFFF BCACy90cos

6、2cosFFFBCACC BA（ b）瞬变体系（ a）三角架在 （ b） 中， AC和 BC与铅垂线的夹角为 90。如果在铰 C 上作用一个微小的铅垂力，两杆将分别绕 A、 B 转动，但此时内力将无穷大，即 C处拉断。这种体系叫做“ 瞬变体系 ”，它既不能作为土木结构， 也不能作为机械传动装置 （机构），是土木、机械都“拒之门外”的体系。07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 3 页，共 26 页6、几何不变体系的两个类别几何不变体系又可分成两类：（ 1）在几何不变体系中， 如果 不存在 维持该体系几何不变的 多余杆件 （ 多余约束 ）者，称为“ 无多余约束的几何不变体系 ”。

7、在土木工程中，又称它为“ 静定结构 ”。（ 2）在几何不变体系中， 如果 存在着 维持该体系几何不变的 多余杆件 （ 多余约束 ）者，则称为“ 有多余杆件（多余约束）的几何不变体系 ”。在土木工程中，又称它为“ 超静定结构 ”。有 n 个多余杆件（多余约束）的超静定结构，称为“ n 次超静定结构 ”。建筑物相对于地面是静止的， 因此， 建筑物骨架的结构计算简图， 必须是几何不变体系。 3. 约束数与自由度在建立了 几何不变体系 、 几何可变体系 和 几何瞬变体系 的概念之后， 具体分析体系的几何组成之前，还要交待几个相关的概念。由几何不变和几何可变，自然会想到这样一些相关的概念：静止和运动，约

8、束和自由，束缚和解放， 拘束和自在， 专制和民主， 抑制和随意， 纪律和散漫， 紧张和镇定等等， 其中，与力学概念相关的是 静止和运动 ， 约束和自由 。 运动是理论力学关注的重点； 约束是材料力学关注的重点。约束和自由是一对反义词。在理论力学， 严格说是理论力学的静力学部分， 对建筑物来说， 关注的是静止。 为了研究静止状态，得出静力平衡方程式，考察的重点确在运动。一旦物体运动的原因（条件）不成立，则物体就处于静止状态，从而得到我们需要的平衡方程。为了使建筑物的结构计算简图表达出相对于地面不动，就要考查“动、自由”，以便得出“不动、不自由”的条件：“ 约束 ”。1、自由度概念确定物体位置和方

9、位所必须的 独立坐标个数 ，称为 自由度数 。如图 3-1 所示。一个平面点需要 2 个独立坐标（ x、 y）来确定它的几何位置，故有 2 个自由度。一个平面物需要 3 个独立坐标（ 2 个线坐标 x、 y 和 1 个角坐标 ）来确定它的 几何位置 ，故有 3 个自由度。平面点有 2 个自由度（ x,y）图 3-1 平面点和平面物的自由度数yxxyA(x,y) yxxyA(x,y)平面物有 3 个自由度（ x,y, ）07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 4 页，共 26 页显然，一个空间点需要 3 个独立坐标（ x、 y、 z）来确定它的 几何位置 ，故有 3 个自由度。一

10、个空间物需要 6 个独立坐标（ 3 个线坐标 x、 y、 z 和 3 个角坐标 、 、 ）来确定它的 几何位置 ，但 3 个角座标应该满足 1coscoscos 222 ，故空间物体只有5 个独立坐标，自由度数为 5。2、用链杆代替坐标，体现“ 约束 ” 对抗 “ 自由 ”坐标轴 x 和 y 是固定连接在地球上的， 故图 3-1 可以用图 3-2 所示的链杆来代替坐标的作用。自由度数和链杆数（约束数）之间的匹配关系在图 3-2 中一目了然。既然自由度定义为确定物体位置的 独立坐标个数 ， 那么， 也可以将约束数定义为确定物体位置的 独立链杆个数 。 这样在物体 “位置” 概念下， 把约束和自由

11、两个反义概念统一起来，不仅加深对它们的理解，而且会使得体系的几何组成分析更加得心应手。3、支座、支座反力、约束数、链杆数与自由度数为进一步了解约束与自由的关系， 现将在静力学研究支座和支座反力的一些结论， 与约束数、相当链杆数和对应减少的自由度数汇总于图 3-3 。平面点有 2 个自由度，用 2 链杆约束图 3-2 固定平面点和平面物的链杆及其与坐标的对应关系yx链杆 1yA(x,y)yxxyA(x,y)x链杆 1链杆 2 链杆 2 链杆 3平面物有 3 个自由度，用 3 链杆约束07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 5 页，共 26 页 4. 组成刚片的 三条规则平面体系几

12、何组成分析常用的规则是二元体规则、 二刚片规则和三刚片规则。 如前所述，刚片并不完全等同于几何不变体系， 故这三条规则宜称为一刚片规则、 二刚片规则和三刚片规则为好。1、铰接三角形是最简单的可以视为刚片的基本体系几何学告诉我们， 三角形是最简单的稳定图形。 如图 4-1 所示， 铰接三角形 在任意荷载作用下，如果不考虑杆件本身的变形，它的形状大小保持不变，故它是最简单的刚片。 如果把它的一条边与地面固结， 它的位置也不会变， 故， 一边接地的铰接三角形 是最最基本的几何不变体系。几何上要求三角形的 任意两边之和大于第三边 。 在这里， 铰接三角形的条件是， 将几何上对三角形的要求，转换成“ 3

13、 个铰不共线 ”的陈述。图 3-3 约束、约束数和自由度数1约束数232减少自由度数1232相当链杆数1232约束反力FAyFAx MAFAxMAFAyFAyFAx约束类型A 图 4-1 接地不接地铰接三角形的几何性质B C 铰接三角形形状大小不变A B 一边接地铰接三角形位置也不变C 07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 6 页，共 26 页铰接三角形组成规则 ： 有一条边与地固结的铰接三角形是一个 无多余约束的几何不变体系 （ 静定结构 ）。在继后的论述中， 我们会发现分析体系几何组成性质的三条规则， 均基于 铰接三角形组成规则 。2、一刚片规则（二元体规则）在 3.3

14、中， 提到 1 根链杆相当于 1 个约束； 1 个固定铰支座或中间铰相当于 2 个约束；1 个固定支座相当于 3 个约束。显然，链杆是约束的计量单位。常见的链杆是两端带铰的直杆，但它可以表达为图 4-2 的各种形式或类似的形式。二元体是由两根链杆组成的特殊体系。链杆可直、可弯、可拐折（图 4-3 ）。 显然，它实质上仍是形式各异的铰接三角形。二元体是具有一个公共铰，另一端的两个铰在同一块刚片上，且三个铰不共线的两根链杆组成的组合体系。铰接三角形的“ 3 个铰不共线 ”的条件，现在二元体这里仍旧保留不变。不难看出，该定义有 3 个要点，缺一不可。一个二元体就是一块 二元体刚片 。如果刚片是接地刚

15、片，那么该二元体是一个最最简单的几何不变体系。一刚片规则（二元体规则）：增加或减少一个二元体不会改变体系的几何组成性质。图 4-2 两刚片之间的链杆和等效链杆d a b c e f g 07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 7 页，共 26 页图 4-3 表示形式各异的二元体刚片， 可以假设它的任意一边为刚片 （如图 4-4 中的与固定支座连接的边）。含有 1 条接地边的二元体刚片，称为 二元体几何不变体系 。二元体规则（一刚片规则）将应用于体系的几何组成分析中，见第 5 节的例子。3、二刚片规则（ 1）二刚片规则陈述 1 将铰接三角形的两个边等效地表示成刚片的图示 （图 4

16、-5 中的粗实线） ， 就可以得到二刚片规则。 显然，它实质上仍是铰接三角形 ABC。二刚片规则的陈述 1： 两块刚片用 1 个铰和 1 根链杆相连接， 且铰和链杆不共线， 则组成一个新的刚片。如果其中有一块刚片是接地的刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“ 3 个铰不共线 ”的条件，在二元体规则那里保留不变；现在二刚片规则陈述 1 这里，转换为二刚片的“ 1 铰和 1 链杆不共线 ”的陈述。图 4-3 形式各异的二元体刚片a c b e f g 图 4-4 形式各异的二元体几何不变体系a c b e f g A 图 4-5 二刚片规则 1（一铰一链杆连接）B C （ a）A B C （ b）07、基本知识 趣谈平面体系的几何组成分析材料力学 第 8 页，共 26 页（ 2）二刚片规则陈述 2 如果刚片 AC和刚片 AB的公共铰 A， 用相交的 2 根链杆做等价代替（如图 4-6 中红色部分所示），则可得到二刚片规则的陈述 2