趣谈球类运动的物理

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1、趣谈球类运动的物理图 1 足球运动员在大力开球假如足球守门员大力开球， 同样的角度和初速度， 表面光滑的球和表面粗糙的相比， 哪一个飞得更远？被问到的大多数人基于直觉， 认为飞行时光滑球所受空气阻力较小，选择了前者，可惜回答是错误的。少数人认为问题必含玄机，选择了后者，但也说不出原因。本文集中在球的飞行和滚动方面，选择了读书所得的几个片段和大家分享，文章就从上面的问题开始。1 表面光滑的球和表面粗糙的相比，哪一个飞得更远对球类飞行动力学的研究， 开始得较早、 工作也较多的是对高尔夫球所做的研究。早在 1910 年，著名物理学家 J.J.Thomson 就发表了这方面的研究论文，相继的研究工作导

2、致了为让球飞得更远，在球的表面上采用了布满小凹痕的设计。 事实上一个表面光滑的球， 职业选手击出后的飞行距离， 大约只是布满凹痕球的一半。 回到我们接触较多的足球， 按竞赛规则要求， 球的外壳必须是用皮块并通过预先穿好的针眼缝合在一起的。针眼总数约 2000 个，缝线凹槽深度约1-2 mm，球面上的这些缝线凹槽同样对球的飞行有重要影响。守门员大力开球，将球踢到对方半场是很平常的事， 但是如果用光滑球， 没有缝线凹槽的功劳， 恐怕就不太容易做到了。粗糙的表面可降低空气阻力的道理涉及“ 边界层”的概念。对于空气、水和油等具有黏性的实际流体，描述其动力学行为的是Navier-Stokes 方程（简写

3、为 N-S 方程），针对具体的问题，给出相应的初条件和边条件， 原则上可得到解答。 由于这是一组非线性的二阶偏微分方程组， 且具体问题的边条件往往又十分复杂， 仅在少数特定情况下才可解。 利用沉降的小球测量油的黏性系数 是我们熟悉的例子，这是雷诺数 Re 1 的极端情形，Re= vd/ ，其中 是流体的密度， v 是流速， d 是物体相关的特征长度，这里是球的直径。 很小的雷诺数意味着面对的问题属黏性显著占优势的情形： 或流体有很高的黏性系数， 或对平常流体当问题涉及的尺度很小的时候， 此时 N-S方程因惯性力项可全部略去而可解， 在小球沉降情形， 得到的是我们熟悉的描述小球所受阻力大小的 S

4、tokes 方程。在球类运动中，涉及的流体是空气，如果将水的黏性系数定为 1，重机油的约为 60，而空气的则是 1/60 ，属低黏性流体，相应的雷诺数很大，约在 105 的量级。 在大雷诺数情形， 对 N-S 方程的求解是十分困难的课题： 如果因黏性系数小而将方程中相应项完全略去， 相当于将流体视为无黏性的理想流体， 方程可解，但得到的结果往往与实验观测不符； 如不略去黏性力项， 方程又难于求解。 1904年，德国科学家普朗特引入“边界层”的概念，解决了这一难题，是近代流体力学的重大发展之一。边界层理论的基本想法是， 在黏性系数很小的情形， 可将整个流场分做两部分处理， 黏性只表现在附着于物体

5、表面上的边界层内； 从表面向外， 边界层中气流的速度从零逐渐加大到与外部气体流速相同， 不同速度层间存在摩擦损耗。 对于边界层以外的流体， 则完全略去黏性力的影响， 用理想流体的理论处理， 并将得到的解作为边界层外缘的边条件，这样整个问题可得到解决。边界层的厚度 约等于 d/Re1/2，其中 d 为球的直径 , 对于足球，取 Re为 1 105， 1mm，这和足球表面的缝线槽深相近， 可以预期， 缝线槽的存在会对球的空气动力学有重要的影响。图 2（ a）给出了在完全略去空气的黏性并将其视为理想流体时球周围流线的截面图。 这里为简单起见， 将流线直观地理解为一小块空气所走的路径。 准确地讲， 在

6、这种意义下得到的是流体的迹线， 表达同一时刻空间各点流速的方向的流线和迹线， 仅在定常流动即流动情况不随时间改变时才是相同的。 对于图中 i ， j 两条平行等距的相邻流线，在接近球体 A 点（流体力学中习惯称之为驻点）时，间距开始缩小，在 B点处间距最小，其后逐渐加大，恢复到平行等距。 在定常流动情形， 单位时间流过相邻流线间任一截面的流体质量总是相等的，由此可以知道， 从接近球的前端 A点到球的顶端 B点， 或底部 D点， 气流是加速的，气流进而向 C点流动，此时是减速的 , 按照我们熟悉的伯努利定理， A， C两点处气体压强要比 B， D两点高，但是从对称性的考虑，在气流中的球体感受到的

7、净压强为零，没有阻力作用在球上。图 2 球体周围的流线（ a）理想流体情形；（ b）有边界层存在的情形图 2（ b）是球体表面有边界层存在的情形，在图中边界层用虚线画出。从 A到 B，和图 2（ a）一样，边界层和外部气流都是加速的，尽管边界层中存在黏性摩擦导致的能量损耗， 倾向于使层内的流体减速， 但由于 A 点压强高于 B 点， 在压强差的推动下， 边界层气流会沿球面前进。 从 B 到 C情况则不同， 此时压强是增加的，边界层失去了推动力，无法到达 C点，而是在 S点（流体力学中称之为分离点）处和球面分离。分离后的气流是不规则的，形成处于湍流状态的尾流。气流速度进一步增加， 边界层中摩擦损

8、耗更大， 边界层和球面的分离发生得更早，因而有更宽的尾流。上述边界层和球面发生分离， 存在尾流的状态， 是球在飞行中所受阻力的主要来源，因为此时球前后端之间存在压强差， A 点附近气体的压强要大于分离点间的压强， 气流在流动方向上对球有作用力， 流体力学称之为压强阻力或形状阻力。此外，边界层内的黏性摩擦也会导致能量的损失，产生摩擦阻力，这两种力合在一起构成对球运动的总阻力。球体所受空气阻力比例于速度 v 的平方变化，一般写为：Fd=(1/2)C d Av2图 3 给出了表面光滑度不同的球的空气阻力系数 Cd随雷诺数 Re的变化曲线。可以看到， 不论对哪一种光滑度的球， 在球速超过相应的临界雷诺

9、数或临界速度后，空气阻力系数急剧下降， 原因是此时边界层失稳， 层外流速快的气流和接近球面速度较慢的气流混合， 推动他们流向球的后端， 导致分离点 S 相互接近， 尾流变窄， A， C点之间压差降低，空气阻力下降。这样本节提出的问题的答案是，表面粗糙的球临界雷诺数或临界速度较低， 原因是粗糙的表面有助于边界层和外部气流的混合，这正是高尔夫球表面凹痕和足球表面缝线凹槽所起的作用。 当然从图 3 看，即使对表面粗糙的球，在速度（比例于雷诺数）高到一定程度后，空气阻力系数会超过表面光滑的球， 粗糙的表面还是使空气阻力系数增加的， 情况会有所不同。图 3 表面光滑度不同的球空气阻力系数随雷诺数的变化（

10、图中 Type 4 为光滑球， Type 1 ， 2， 3 的 k/d 值分别为 12.5 10-3， 5.0 10-3 和 1.5 10-3，其中 k为粗糙物的高度， d 为球的直径。图上边标出的是排球速度为 10m/s 和 15m/s 的相应位置）2 弧线球和弧圈球足球运动员在罚直接任意球或角球时踢出的弧线球 （也常称为香蕉球） ， 在空中划出美妙的曲线，绕过人墙飞入球门，令人叹为观止。从力学原理知道，球的转向必定是受到侧向力的结果； 从运动员踢弧线球的脚法， 我们可以推断， 这种力一定和球的旋转有关。图 4 给出了球顺时针旋转时周围流线分布的示意。 为简单起见， 未将边界层画出。从 A

11、到 B，和上节所述相同，边界层不会脱离球面。但从 B到 C，尽管此时流体失去了压强差的推动， 边界层最终会和球表面分离， 但由于球的转动， 球表面运动方向和气流速度方向一致， 会带动着黏附于其上的边界层运动， 边界层与球面的分离会推后发生。在球的下方，球表面运动方向和外部气流方向相反，表面层与球面的分离会提前，分离点向 D点移动。这样，在球转动时，流线以及分离点的位置过渡到非对称的形式，气流也因此在经过球后发生了转向。对于图 4 给出的情形， 不难判断侧向力作用的方向。 气流在经过旋转的球后，附加了一个向下的动量， 由于体系总动量是守恒的， 那么球应该感受到一个升力，得到同样大小的向上的动量，

12、 飞行轨道因此会发生弯曲。 这一现象最早由德国物理学家 H.Magnus在 1852 年通过在流体中旋转圆柱体受力的实验观察到， 通常称为马格纳斯效应，并将相应的侧向力称为马格纳斯力。直到 20 世纪初，边界层以及流体与表面分离的概念建立后，人们对这种力产生的原因才有了正确的了解。图 4 旋转球体周围的流线马格纳斯力的大小比例于气流的速度 v 和球的旋转频率 f ， 当然也和球的大小有关， 同样的旋转频率， 直径大的球周向速度大。 知道了空气阻力和马格纳斯力的表达式，即可计算球的飞行轨道，例如，可以知道在罚直接任意球时，球要有怎样的旋转才能绕过人墙。在乒乓球运动中， 弧圈球是运动员广为采用的技

13、术之一， 正手拉加转弧圈球和前冲弧圈球都是强烈上旋的， 球上端的周向速度与气流速度相反， 马格纳斯力与图 4 情形不同， 是向下的， 球的飞行弧线因而降低， 且在着台后会急剧前冲下滑，很有威力。3 飘球在排球运动中， 发球可以直接得分或破坏对方的一传， 是唯一不受他人制约的技术，历来受到重视。发飘球的技术兴起于上世纪 60 年代，包括上手飘球、勾手飘球和后来发展起来的跳发飘球， 由于球飞行轨迹特有的不确定性， 忽左忽右，或上飘或下沉，接球方难以应付，成为重要的发球技术，其机理也为人们所关注 . 从运动员的实践可以归结出发出飘球的两条要领： 一是击球要快速有力， 球的初速度要大到一定的程度； 二

14、是作用力一定要通过球心， 球在运动中不旋转或转动很慢。风洞实验表明，速度从 3m/s 增加时，球的飘晃距离逐渐加大，在10-15 m/s 时达到最大， 是球在飞行中发生明显飘晃的速度， 晃距可达 0.5-0.6 m。速度再高，到 16m/s 时，晃距明显减小。这样，发球时球离手的速度确实要高一些，使球在过网后速度仍能保持在 10m/s 或更高，这样效果最好。对于飘球产生机制的分析， 在缺乏对排球所受空气阻力随速度变化关系测量数据的情况下， 可参照已有的对不同表面粗糙度球的实验结果进行讨论。 从排球的直径（ 21cm）和空气的密度、黏性系数，可以算出速度 10-15 m/s 对应的雷诺数为（ 1

15、.3-2.0 ） 105，从图 3 看，这正是表面粗糙度 k/d =1.5 10-3 和 5 10-3 圆形球空气阻力系数曲线达到临界速度的范围，其中 d 为球的直径， k 为粗糙部分的高度。如将 d 取为排球的直径，相应的 k 值分别为 0.3 mm和 1mm，和球皮及接缝的不平整度相比还算合理。这样，对于“下坠型”的飘球，一般可理解为排球在飞行中，球速降低，当低到接近临界速度值时，随着速度的进一步减小，阻力急剧加大，是导致球偏离预定轨道突然下沉的原因。排球的表面，标准的是由 18 块球皮构成，每 3 块成一组，这导致组中 4 条接缝的走向大体一致， 组间近似垂直排列。 在上述风洞实验中，

16、作者对球的悬挂采取了对称和不对称两种方式， 悬挂点在 3 块球皮交接点的球为不对称球。 在速度从 8m/s 到 20m/s 之间，他们发现不对称球的晃动更加积极，摆动的突然变化也更多。球的飘晃或摆动， 都是受到侧向力作用的结果。 如上一节的讲述， 这种侧向力和边界层的行为有关。 实际上如普朗特书中所述， 一些看起来似乎很不重要的情况， 诸如表面上的轻微粗糙度， 来流中多少带有一些涡旋等等， 常常会显著地影响分离点的位置。 如前所述， 球并不旋转或转动很慢， 边界层分离点位置的改变和其分布的不对称会是容易理解的。 例如， 相对于气流与接缝垂直， 气流沿接缝流动时边界层的分离点会更向后推一些。 在临界速度附近， 边界层中的气流从层流转变为湍流， 球表面状况对分离点位置的影响会更强烈一些。 上述分析应该是一般称为“飘荡型”飘球的成因，也是飘晃距离在球速为 10-15m/s 时达到最大的理由。4 小球和大球1921年， 英国高尔夫球管理委员会规定球的最大质量为 1.62 英两 （ 45.93 g） ，最小许可直径为 1.6