高三数学不等关系与不等式练习试题及答案

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1、高三数学不等关系与不等式练习试题及答案作者：佚名 文章来源：网络 点击数： 更新时间： 2014-4-18 17:46:41 一 . 教学内容：不等式高考复习一：不等关系与不等式二 . 教学目的1、复习不等式的性质及应用2、复习平均值不等式及其应用三 . 教学重点、难点不等式的性质及均值不等式四 . 知识分析（一）不等式的性质及应用【考点梳理】考点一：不等式有关概念1. 不等式定义用 不 等 号 （ 、 、 、 、 ） 表 示 不 等 关 系 的 式 子 叫 不 等 式 记 作等等用“”或“”号连结的不等式叫严格不等式；用“”或“”号连结的不等式叫非严格不等式2. 同向不等式、异向不等式对于两

2、个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式对于两个不等式， 如果一个不等式的左边大于右边， 而另一个不等式的左边小于右边， 那么这两个不等式叫异向不等式3. 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式（ 1）绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式（ 2）条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式（ 3）矛盾不等式：如果不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式4. 关于 a b 和 a b 的含义不等式“ a b”的含义是

3、“或者 a b，或者 a b”等价于“ a 不小于 b”，即若 a b或者 a b 之中有一个正确，则 a b 正确考点二：实数的特征与实数比较大小1. 实数的两个特征（ 1）任意实数的平方不小于 0，即 。（ 2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。2. 实数比较大小的依据和方法（ 1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示如图，可以看出 a、 b 之间具有以下性质：如果 是正数，那么 ；如果 是负数，那么 ；如果 等于零，那么 ，反之也成立，就是 ；

4、； 。（ 2）实数比较大小的基本方法。比较两个实数的大小，基本方法是作差，对差的正、负作出判断，进而得出结论。考点三：不等式的性质1. （对称性）；2. （传递性）；3. （可加性）；4. ；5. ， ；6. ；7. （ n 是大于 1 的整数）；8. （ n 是大于 1 的整数）。【方法与技巧】方法一： 特殊值法对于某些选择题，可采取特殊值法巧妙求解。例： 已知 ， 且 ， 设 ， ， 则 （ ）A. B. C. D. 答案： A 解析： （特殊值法）取 。由对数函数的单调性知 。，故选 A 。方法二： 排除法利用不等式的性质，排除掉干扰项从而选出正确答案，也是解题的一种有效方法技巧。例：若

5、 ，下列不等式不成立的是A. B. C. D. 答案： B 解析： （排除法） ，。故知不成立的是 B。故选 B。方法三： 比差法作 差 比 较 两 数 （ 式 ） 大 小 的 依 据 是 ： ； ；。例：比较 的大小，其中 。解析：当 时， ；当 时， 。方法四： 比商法作商比较两数（式）大小的依据：；。例：设 且 ，试比较 与 的大小。解析：当 时， ，则 ，于是 。当 时， ，则 ，于是 。综上所述，对于不相等的正数 、 b，都有 。【 典例精析 】例 1. 适当增加不等式条件使下列命题成立：（ 1）若 ，则 ；（ 2）若 ，则 ；（ 3）若 ，则 ；（ 4）若 ，则 。剖析： 本小题考

6、查不等式的性质。解析： （ 1）原命题改为若 且 ，则 ，即增加条件“ ”。（ 2）由 可得 ，但只有 时，才有 ，即增加条件“ ”。（ 3） 由 可得 ， 但作为真数， 应有 ， 故应增加条件 “ ” 。（ 4） 成立的条件有多种（如 ），与定理 4 的推论 1 相关的一个是 、 ，因此，可增加条件“ ”。点悟： 解这类开放性试题，要求我们在深刻理解不等式的性质的同时，一定要注意它们成立的条件。例 2. 若 ，则下列命题中正确的命题是（ ）A. 均不能成立B. 均不能成立C. 不等式 均不能成立D. 不等式 均不能成立剖析： 本小题主要考查不等式的基本性质、敏锐的判断力、灵活运用知识解决问题

7、的能力。答案： B 解析： 。又 不成立。，故 不成立。由此可选 B。另外， A 中 成立， C 与 D 中 成立，证明如下：，。故 。故选 B。点悟： 解决该题，除利用不等式的基本性质正面推导外，还可利用举例验证排除错误答案。例 3. 如果 ，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 剖析： 本题是在条件“ ”的情况下，利用不等式的性质，判断出成立的一个不等式。答案： D 解析： 对于 A ，当 时， ，当 时， 不成立，故应排除 A ；对于 B， 不成立，故应排除 B；对于 C， ，又由 可知 ，但是 的符号是不确定的，因此 不成立，故应排除 C；对于 D，由指数函数的性质可知， ，

8、又 ，成立，故选 D。点悟： 本题综合利用了不等式的基本性质、 对数函数的值域、 指数函数的性质以及 “作差法”。例 4. 已知 ，分别求 、 、 的范围。剖析： 本小题考查利用不等式的性质，求数（式）的取值范围。解析： 。又 ， 。又 。（ 1）当 时， ；（ 2）当 时， 。综合（ 1）（ 2）得 。点悟： 要准确运用不等式的性质，如：同向不等式不能相减，同向不等式只有当它的两边都是正数时才能相乘。【易错题剖析】易错题一：设 ，求 的最大值和最小值。解题思路： 解法一： ， 。设 ，即比较两边系数：。又 ，解法二：以下同解法一。失分警示：误区：对同向不等式可加性推论： ，前后关系不是充要条

9、件的关系认知不到位，错因由 求出 的值域取代由原条件求出 的值域。易错题二：已知 ，求 的取值范围。解题思路： 令 ，则 。而 ，故有 。失分警示：不能由 ，这是因为 不可能同时取到 或 ，故结论错误。同向不等式可以作加法运算， 导向不等式可以作减法运算 （不等号与被减不等式同向） ，当同向不等式两边为正时，可以作乘法运算，但如果涉及到“等号能否取到”，则要看是否满足取等号条件。这一点常易疏漏，请特别注意。（二）均值不等式及其应用【考点梳理】考点一：两个重要不等式利用不等式的性质，可以推出下列重要不等式：1. 如果 ，那么 （当且仅当 时取等号）。2. 如果 _，那么 （当且仅当 时取等号）。

10、称 为 a、 b 的算术平均数，称 为 a、 b 的几何平均数。考点二：灵活变式1. ；2. ；3. ；4. ；5. 当且仅当 时，各式中等号成立。考点三：两个重要结论1. ，且 （定值），那么当 时， 有最 _值 。2. ，且 （定值）那么当 时， 有最 _值 。【方法技巧】方法一：均值不等式的配凑技巧例：设 ， ，则 M 、 N 的最准确的大小关系是（ ）A. B. C. D. 答案： C 解析： 因为注意到 ，且 （定值），知 。取“ =”的条件是 ，即 或 ，但这是不可能的。故 。又因为 ，注意到 ， （定值），知 ，当等号成立时 ，即 ，故 。 ，故选 C。方法二：用函数的观点解决不

11、等式问题例：已知 ，试比较 与 的大小。解析： ，易知， 时， 上是减函数，时， 在 上是增函数，方法三：三角换元例：若 ，则 的最小值为 _。答案：解析： 令 ，则 ，（当且仅当 时取等号），故 的最小值为 。【典例精析】例 1. 已知 ，求证： 。剖析： 本题考查利用均值不等式证明不等式。证明： ，同理， ，点悟： 证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择基本不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。例 2. 已知 ，求 的最小值。剖析： 本题考查利用均值不等式求最值。解析：解法一： ，当且仅当 ，又 ，即 时，上式等号成立。故当 时， 。解 法 二 ： 由 ， 得

12、（ 定 值 ） ， 又 知 ， 所 以， 当 且 仅 当，即 时， 。点悟： 应用均值不等式时熟练掌握定理成立的条件、重要不等式的变形，在运用重要不等式证明不等式或求最值时，注意掌握“凑” （凑项、凑因式）的技巧，其目的一是创造一个应用重要不等式的情境；二是使等号成立的条件。例 3. 已知数列 。（ 1）若 ，求 的取值范围；（ 2）当 时，求 的最大值，并求出对应 b 的取值。剖析： 本题考查利用均值不等式求变量的值。解析： （ 1）。（ 2） ，令 ，显然 ，则 ，。当 时，即 时等号成立。由 ，则 ，又由 ，当 时， 。点悟： 本题以数列知识为背景，考查学生灵活运用均值定理解决问题的能力

13、。例 4. （ 2004 全国）某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？剖析： 本题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力。解析： 设矩形温室的左侧边长为 am，后侧边长为 bm，则 。蔬菜的种植面积。当且仅当 ，即 时，取等号。答： 当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 。点悟： 在本题的求解过程中有两个难点：一是建立函数关系式，二是利用均值不等

14、式求最值要注意等号成立条件以及要会对式子进行合理的分拆、组合等。【易错题剖析】易错题一：已知 且 ，求 的最小值。解题思路： ，。当且仅当 即 时，上式取等号，这时 。故当 ， 时， 最小值是 9。另解， ，。上式当且仅当 即 等号成立。又 。故 最小值是 9，此时 。失分警示：误区： ，因此， 的最小值是 8。上面解法中，连续进行了两次不等变形： 与 ，且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当 时等号成立，第二个不等式是当且仅当 ，即 时等号成立，因此 不可能等于 8。易错题二：若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 答案： B 解题思路： 令 。故 。所

15、以 的最大值是 。故选 B。错因分析：误区：连续使用不等式变形 ， 而误选 A 。 取等号的条件是 且 ， 即 与题设 矛盾。使用均值不等式求值时，一定要注意等号成立的条件。易错题三：求函数 的最小值。解题思路：解法一： 。由 ，得 ，当且仅当 ，且 ，即 时取“ =”号。因此 y 的最小值为 。解法二： 令 ，则 。又 在 上单调递减（单调性的证明过程略）。当 时， 有最小值 。失分警示：误区： 。的最小值为 2。该式若取等号，需 。即 ，不可能，所以取不到最小值。应用均值不等式求最值要注意三个条件：（ 1）各项或各因式为正； （ 2）和或积为定值； （ 3）各项或各因式都能取得相等的值。即所谓“一正、二定、三相等”。【模拟试题】一、选择题1. 若 a b，则（ ）A. a2 b2 B.a2 b2 C.a2 b2 D.以上都不对2. 若 ab， cd，则下列不等式恒成立的是（ ）3. 已知 a、 b 都为正数，则（ ）A. a b 2 B.a b 2C.a b 2 D.a b 24. 已知 ，则下列命题成立的是（ ）5. 若 a 0 或 b 0，则（ ）A. a2+b2 ab