《高数期末复习要点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数期末复习要点（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分复习要点变上限定积分求导数 ，定积分的计算牛顿莱布尼兹公式， （用到不定积xadtf)(分主要公式 、 、 、 、 ，凑微分法） 。对称区间奇偶函dtt1ettsintdcos数的定积分，定积分的几何意义， ， 收敛、发散的充要条件。定积分应用：0xa1求平面曲线所围成图形的面积，已知边际收益，求总收益即平均收益（课本 254 页例7、265 页第 26 题、第 27 题） 。第六章定理 6.1 如果函数 在a,b 上连续，则函数)(xfadtp对积分上限 的导数，等于被积函数在上限处 的值，即x（直接把 里面的 换成 就可以了）)()()(ftfxxa )(tftx例题： xxted2
2、02牛顿莱布尼兹公式： （其中 为连续函数，)()()( aFbxFdfaba )(xf是 的一个原函数）)(xFf五个主要公式： Ctat1d2tt3C431tdt232 ttln1 Cedt ttcossi Cttdsinco凑微分法例题： )1(21)(2100202 aaxax exee判断无穷限广义积分敛散性：积分求出结果为常数的，为收敛；积分求出结果为无穷的，为发散。因为画图比较麻烦，所以求平面曲线所围成图形的面积部分的图形就省略了。例 1：求由抛物线 ，直线 以及 轴所围成的平面图形面积。2xyx解：画出抛物线和直线，如图（略）设所围成的平面图形的面积为 S。则 3812920x
3、dS例 2：设平面图形是由区县 和 所围成，求此平面图形的面积 S。2yx解：画出平面图形，如图（略）则 29)312)2(12 dxS（例 3：计算 ， 所围成的平面图形的面积。xyy解：画出平面图形，如图（略）设平面图形的面积为 S则 31)32()( 0210 xdx已知边际收益，求总收益及平均收益（课本 254 页例 7、265 页第 26 题、第 27 题） 。边际收益积分还原就是总收益，总收益比上 就是平均收益。第八章 多元函数复习要点求已知多元函数的偏导数及全微分，求隐函数的一阶偏导数及全微分，半抽象函数的一阶偏导数，求一个已知二元函数的极值。直角坐标系下 的计算及交换二Ddxy
4、f),(次积分的顺序。多元函数的偏导数： xyffxz),(),(0000limli对 的偏导数记号： （主要） 、 （主要） 、 、 ，xxZxz),(yxfxyf),(yffyz),(),(0000limli对 的偏导数记号： （主要） 、 （主要） 、 、 ，yZz),(yxff),(例 1： ，求 、 。325),(xfzxyZ， 32105yxZ 323215x(求对 的偏导数时，把 当成常数；求对 的偏导数时，把 当成常数)x例 2： ，求 、 。yez2xZy， 。 xyxZ yyyyy eexe222)(当成常数的变量先写下来，其他变量如同一元函数那样求导) 。练习： 教材 3
5、65 页第 5 题（1） （2）小题2z32yxez2zxy全部都是求 、 。xZy全微分公式： 。dyzdz例题：求函数 的全微分。 （ ）xye 1.0,5.,12yxx第步：求出对 、 的偏导数 解： ， ，yezxez第步：代入全微分公式： dydyxdzxxy如果有具体数值， 、 、 、 等于什么，那么就需要进行第 步。xy第步：把具体数值代入 式子里面，求出 答案dzdz当 时，1.0,5.,12yxyx 222 05.)1.(5.0ee练习： 求 ， 求 。zz2xez半抽象函数的一阶偏导：复合过程 ， 求 、 。2(,),yZfuvxexZy这种偏导的公式： xvuxf vuy
6、f第步：求出 u、v 对 、 的偏导数 解：y 2,2, xvexyeyyx 第步：把 代回公式 所以 yx, fZvu2xefyy第二种： 求 、 。yxeufz),(xZy这种偏导的公式： xxfZ yuf第步：求出 u 对 、 的偏导数 解：yxxe,第步：把 代回公式 所以 yx, xyufZyuyfefZ练习： 求 ， 。 教材 365 页第 17 题第（1）小题),(2fxzy求一个已知二元函数的极值：首先需要记住定理 8.4、8.5定理 8.4（极值存在的必要条件） 如果函数 在点 处有极值，且两个一阶),(yxf),(0偏导数存在，则有 0),(yxf 0y定理 8.5（极值存
7、在的充分条件） 如果函数 在点 的某一邻域内有连续的),(xf),(0y二阶偏导数，且 是它的驻点，设 ),(0yx),(,2yxffypxxy则 （1）如果 且 ，则 是极大值；p0),(xf ),(0f（2）如果 且 ，则 是极小值；),(0yxyx yx（3）如果 ，则 不是极值；),(0f（4）如果 ，则 是否为极值需另法判断。),(0yxpyx例题：求函数 的极值。5126,23f第步：求出 对 、 的偏导数)(yx 解： 62),(xyfx 123),(yxfy第步：由 和 得出驻点坐标。00),(fy由 ， 得驻点（3,2） ， （3，-2）),(xyfx 2x第步：求出 ),(
8、),(),(yfffxxy02x yxfy6),(第步：求出 ，),(yxp12由于 所以（3,2）不是极值点；04),3(p第步：当 成立，判断 大于零或者小于零（大于零为极小值，小),(0yx),(0yxf于零为极大值）2),3(xf第步：把取得极值的极值点代回 ，算出结果),(yxf0),(f所以 在点（3，-2）处函数有极大值 30)2,(f练习：教材 365 页第 19 题第（1） （2） （3） （4）小题。二重积分的计算：例题 1：计算 ，其中 D 由 ， ， 围成。Ddxy)4( 0xy2yx第步： 解：画出 D 的区域，如图所示（图形略）第步： D 可表示为 （ 略）xy20
9、20y第步： 则 02)4()4(D ddx38)356()( 2022020 xxyx例题 2：计算 ，其中 D 由 ， ， 围成。Dxyd3xxy1第步： 解：画出 D 的区域，如图所示（图形略）第步： D 可表示为 xy1第步： 则 31xDdxd3ln210)ln28()2( 314311 yx练习：教材 367 页第 29 题交还二次积分的顺序：例题： exdyf1ln0),(第步： 解：依题意 D 可表示为 xyeln01第步： 画出 D，如图所示（图形略）第步： 所以 D 也可表示为 1ye第步： 则 交换二次积分顺序后，化为 。exdf1ln0),( 10),(eydxf练习：
10、教材 367 页第 27 题第九章 微分方程复习要点一阶微分方程：可分离变量微分方程求解，一阶线性非齐次微分方程的求解（公式法、常数变易法） 。一阶微分方程，可分离变量微分方程求解：例题 1： 0xdy第步： 解： 即 （把 和 放到一边， 和 放在一边）yxddxyd第步： 两边积分 得 Cxy221即 （C 乘以 2 之后还是任意常数，仍用 C 表示）例题 2： xd第步： 解： y第步： 两边积分 xd得 cylnln1即 xc(涉及高中公式： ， ， ) c 为常数yll cxlexln练习：求下列微分方程的通解：0)1()212dxy（ 01dyxy一阶微分方程，一阶线性非齐次微分方
11、程的求解（常数变易法）：基本步骤： )(qyp 求对应于方程的齐次方程的通解。即 的通解 （这是可分离变量微分方程）0)(xy分离变量得 y)(两边积分得 xce)( 设 ，求出 。 （ 运用乘法公式求得，前导后不导加上前不导后导）Cy)(y 将中的 和 代入 ，求得 。 )(xq )(xC再积分，求得 。 （记住 积分后的答案要加 C）)(x 将中求得的 代入的 中。Cey)(得出的答案便是此微分方程的通解。例题：求一阶线性微分方程 的通解。3)1(2xy第步： 解：由 分离变量得01xy2d两边积分得 cxyln)1l(n2即： c第步： 令 2)(xy则 )1(1xcc第步： 将代入原方
12、程得)(x积分得 cc21)第步： 将 代入中，求得原方程的通解。x(通解为 22)1(cy练习：求下列各微分方程的通解：， 。xeyd2xed线性代数部分复习要点计算行列式，矩阵乘法。利用行变换求矩阵的秩，方阵可逆的充要条件，求二阶方阵、三阶方阵的逆矩阵，非齐次线性方程组 无解、有解、有唯一解、有无1mnBXA穷多解的充要条件，一个具体的线性方程组的求解。计算行列式：死算： （左上乘右下减去左下乘右上）21121-aa 3123213213213213213231 - aaaa记法可见教材。转置 ：将一个行列式 行作为列，其余不变。 （ ）TDTD余子式 ：去掉行列式 第 行第 列，剩下部分
13、作为一个新的行列式。ijMDij代数余子式 ：ijAijiijM)1(-二、三阶行列式的性质需要记忆。降阶法：（运用到行列式性质 1.8） 12111121212112 nnnnnn AaAaAaaaD 例题：计算行列式 。15023-3-4D解： 15204)(-15024-1502-34- 13 cD-9)(8)(-42为什么要把某行或者某列中的一些非零常数化成零？ 中nAaAa1121如果 都不为零，那么计算就会相当复杂，需要计算很多个行列式；而如果只na121,留下一个 不为零（n0 自然数） ，其他均为零，那么我们只需要计算一个降阶后的行列式。矩阵乘法：矩阵 和 的乘积要有意义，有个前提条件， 的列数等于 的行数。ABAB在矩阵乘法里，归纳为四个字， “前行后列” 。它有两个意义，在例题中点出。例题 1： ，计算 。12707532-4B， 496-AB（ 的第一行分别乘 的第一列，加起来就是乘积的第一行第一列的值，其它相似，这是B第一个意义）即 。 4963510275-13427053-14）（AB例题 2： ，计算 。1B， ， AB03213AB（矩阵 和矩阵 的乘积，最终得出 的行数是 的行数、列数是 的列数。即像例题ABB1 中， 的行数为 3 行 的列数为 1 列，那么求得的 为 3 行 1 列的矩阵；例题 2 中，的行数为 1 行 的列数为 1
