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1、101第六章 近独立粒子的最概然分布6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积 V 内，在 到 的能量范围内，d+三维自由粒子的量子态数为 1323dd.Dmh解: 式（6.2.13）给出，在体积 内，在 到 到3VLxpd,xyp到 的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为d,yxp（1）3d.xyzVph用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在 到 范围内三维自由粒子可能的量子态数为p（2）234d.ph上式可以理解为将 空间体积元 （体积 V，动量球壳 ）除以相V24dp格大小 而得到的状态数.3h自由粒子的能量动量关系为 2.pm因此 2,d
2、.p将上式代入式（2） ，即得在体积 V 内，在 到 的能量范围内，三维自由d粒子的量子态数为（3）1323()d.Dmh6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度 L 内，在 到 的能量范d围内，量子态数为 12dd.mDh解: 根据式（6.2.14） ，一维自由粒子在 空间体积元 内可能的量子102态数为 d.xph在长度 L 内，动量大小在 到 范围内（注意动量可以有正负两个可能的p方向）的量子态数为（1）2d.Lph将能量动量关系 2m代入，即得（2）12dd.LDh6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积 内，在 到 的能量2d范围内，量子态数为 2.LDdmh解: 根据式（6.2.
3、14） ，二维自由粒子在 空间体积元 内的量子dxyp态数为（1）21d.xyph用二维动量空间的极坐标 描述粒子的动量， 与 的关系为,p,xypcos,in.xyp用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 d.在面积 内，动量大小在 到 范围内，动量方向在 到 范围内，2Lpd二维自由粒子可能的状态数为（2）2d.Lph对 积分，从 0 积分到 ，有d210320d.可得在面积 内，动量大小在 到 范围内（动量方向任意） ，二维自由2Lp粒子可能的状态数为（3）2d.Lph将能量动量关系 2m代入，即有（4）2d.LDh6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 .cp试求在体积 V
4、内，在 到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式（6.2.16）已给出在体积 V 内，动量大小在 到 范围内三维自pd由粒子可能的状态数为（1）234d.ph将极端相对论粒子的能量动量关系 c代入，可得在体积 V 内，在 到 的能量范围内，极端相对论粒子的量子d态数为（2）234.VDch6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 和 . 粒子间的相互作N用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 lllae和104,lllae其中 和 是两种粒子的能级， 和 是能级的简并度.ll ll解： 当系统含有两
5、种粒子，其粒子数分别为 和 ，总能量为 E，体积N为 V 时，两种粒子的分布 和 必须满足条件lal（1）,llllaE才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布 和 时各自的微观状态数为lal（2）!,!.llallallN系统的微观状态数 为0（3）0.平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使 或 为极00In大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得 0Inllnllnlln,llNaNa 为求使 为极大的分布，令 和 各有 和 的变化， 将因而有0l llll0的变化. 使 为极大的分布 和 必使n0l lal0n,即
6、0lnll0.l ll laa但这些 和 不完全是独立的，它们必须满足条件lal1050,.llllNaE用拉氏乘子 和 分别乘这三个式子并从 中减去，得,0n0lnl0.lll lllNEaaa根据拉氏乘子法原理，每个 和 的系数都等于零，所以得laln0,l,lll即（4）.llllllae拉氏乘子 和 由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳,兹曼分布. 两个分布的 和 可以不同，但有共同的 . 原因在于我们开始 就假设两种粒子的粒子数 和能量 E 具有确定值，这意味着在相互作用中,N两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成
7、的系统达到平衡时，两个子系统有相同的 .6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解: 当系统含有 个玻色子， 个费米子，总能量为 E，体积为 V 时，N粒子的分布 和 必须满足条件lal ,llaN（1）llaE才有可能实现.106玻色子处在分布 ，费米子处在分布 时，其微观状态数分别为lala1!,.!lllla系统的微观状态数 为0（3）0.平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使 或 为极大00ln的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得 0lnlnlnl.llllllllaa 令各 和 有 和 的变化， 将因而有 的变化，使用权 为lallla000ln极大的分布 和 必使ll 0ln,即 0llnln. llll llaa但这此致 和 不完全是独立的，它们必须满足条件lal0,.llllNaE用拉氏乘子 和 分别乘这三个式子并从 中减去，得,0n0lnll 0. llllll lllNaaaa根据拉氏乘子法原理，每个 和 的系数都等于零，所以得ll107ln0,l ,lllla即（4）,1.llllae拉氏乘子 和 由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色,分布和费米分布，其中 和 不同，但 相等.
