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1、第九章 系综理论习题 9.1 证明在正则分布中熵可表为 其中 是系统sskSlnsEseZ1处在 s态的概率。证： 多粒子配分函数)ln(lZkS )1(ss EEeeZ)2(lnkEkkeZ由(1)知 ssss ZEZEZs ln1;ln代至(2)得 ; ssss llln1l于是 sskZkSlnll习题 9.2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证： 221; iziyixNissEpmeZ符号 iizyixdpd符号 iiiq2/33)(23 233 !12 12122 NNNpmN pmphVZdehV deqZzyx NiizyixNiizyixm 利用式（9.5
2、.3） 类似求 。TkZP1lnSU,习题 9.3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为 和 ，温1n2度为 。T试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解： jji iiziyxppmn dqpdpehZjzjyxizyix 22221)(31!2/3)(321121!nnVkTnPVkTZP)(l 21习题 9.5 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。解： QmNZN2/3!1 ZQmNQU N/2!12/3!ln 2/32/31/ drfVQN121;)2/3( efefdrfVNr121212;12 drfVNTkUrN 12211 /3;2 一般认为 较小；d
3、rfV12 VakNTdrfVeNTkU/2321/3112 习题 9.6 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为 ，其中：SBNTkpS/1为液体的面积， 为两分子的互作用势。SrdeNBkT;212/ 解： 二维气体 iiyxpN dpdehZjiyixm)(2221! QmNqedqriypxmjii )2(!1! )2(1)(2 其中 定义nrQjii21)( )(ijrijefnjijiij drfrf 1)( 只 保 留 前 部 分 21211;VdrfdSNnijjinN其 中变量代换212rfQ1221;/rRdfS
4、N122据式（9.5.3） drfSNrfV1212lnlnln SBkTfTkPSQZP 1ll1 12习题 9.7 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为 的线形原子链在高温和低温L下的内能和热容量。解：一维线形原子链 ,.10,/2,nkc共有 个振动，存在最大频率LdDLdkn)(;2/NDLccNDD /2)(0 令deLUdeUkTkT10)( kTdxxkT/2)1(2020 xxccL高温近似 kNTUdkLTU00;低温近似 其中DexkNTUdckLTU6/22010 Dk习题 9.8 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为 L 的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量
5、。解： 二维：面积 S 内， 波矢范围内辐射场振动自由度为 yxdk224sdksyx横波按频率 分布为 dcSkd21204纵波按频率 分布为 220 21 21cSB dBcSdDdD 纵横 deBUedDUDktkt 020 11令 TxxkT, dxekTBUdkeBUx D 023020 11低温近似 30230 4.1kTBxeT高温近似 230030 1kTUdxkBUDTD 计算略。vCNND 4)(0 2习题 9.9 利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数 ，从而求内能Zln和熵。解：式（3.9.4） ieeZ1lnln20德拜频谱 BND93对于振动 )(1lnlln
6、2002xdeBDeeZDD 代 换dxeBdD D20 032 1ln340340 515DNUBU计算略S高温近似， ， T 3ln1lnln 020 dBdBZ DD Dab02303lBBD9ln30（计算略）Nl0习题 9.10 固体的结合能 和德拜特征温度 都是体积 的函数。利用上题UDV求得的 求低温条件下固体的物态方程。令 ，试证明，在高温及低温Zln ln下，固体的物态方程都可表为： 。VUdp00解： 以低温为例 3030340 115ln DDD AANUZ 据正则分布热力学公式（9.5.3） ，将 及 视为体积 的函数。0UV（1）VAVZpVD403ln1据热力学式（
7、9.5.1）得出： 40lU（2）403lnDAZU联立（1） （2）得出： VVpD00VUdUd 0000ln其中 ； 原式得证。高温情况可作类似处理（略）VDln习题 9.11 固体中某种准粒子遵从玻色分布，具有以下的色散关系 。4Ak试证明在低温范围内，这种准粒子的激发所导致的热容量与 成比例。 （铁磁铁中的23T自旋波具有这种性质）证： 色散关系 ； 粒子体系（固体）2AkN dkVdkVdkVdDzyx 2202303 sin44 dAVdAV2/1/322令 ，2/3BDD NdBd02/10 BND23 D deUeUkTkT 030 11DdeBkT0231代换 ； kTxD
8、dxeUx023当 时； 002323501kTBx； 于是 250kTU23CTUv习题 9.14 用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。解：参照 9.17 关于玻耳兹曼体系配分函数的处理 llll le00nnl 过渡到连续能量分布得: 323232l dpehVdpehVmzyxpmzyx 3023 2.dehpm 23233 hmVemehV利用热力学式可求得 , 等 (略)kTNpkU注: -单粒子处于 能级的能量。ll习题 9.16 设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡，被吸附的分子可以在吸附面上作二维运动，其能量为 ，束缚能 是大于 0 的常数。
9、试02mp0根据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。解： 2exp )2(!0 002 01)(0),(02 hmAehmNAdpeNh NmpqEN因而， 02lnehkT，又N02mA，故 ， 23)(kThpe kTemhpN0232)(得出， ANkem021)(习题 9.17 利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。解： ；由于玻耳兹曼系，粒子可分辨，从而NSENselll aa!321为简单起见，考虑无简并（有简并情况完全可类似处理） lll aEae!321 lll aElae!10!l lla aaECxpe于是： 0explal laalalmlaSENlNl l ll mlS eeeaa !11laalllll ll le1!1llal xp即对无简并情况 lel对有简并者，类似处理可得 （略）leall简并度l
