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1、159第八章 玻色统计和费米统计8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln.Sk解: 对于理想费米系统，与分布 相应的系统的微观状态数为（式la（6.5.4） ）（1）!,ll取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7） ）（2）lnllnln.lllaa 另一方面，根据式（8.1.10） ，理想费米系统的熵为lllnSkNU（3）l,llka其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13） ）（4）lnl1.lle由费米分布 e1lla易得（5）1lla和（6）ln.la将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为（7）lnl.lla将式（6）和式（7）代入式（3）
2、 ，有160lnlnl ll aSka（8）ll.ll lll 比较式（8）和式（2） ，知（9）ln.Sk对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 B.EF.Dln1ln,sssssSkfff其中 为量子态 上的平均粒子数. 表示对粒子的所有量子态求和. 同时sfss证明，当 时，有1sB.EF.DM.Bln.ssSkff解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据 8.1 题式（8） ，理想费米系统的熵可以表示为 F.Dlnllnlllll lllSkaa （1）1lnln,llaak式中 表示对粒子各能级求和. 以 表示在能量为 的量子态 上的平
3、l lsfls均粒子数，并将对能级 求和改为对量子态 求和，注意到l,ls上式可改写为（2）F.Dln1ln.sssSkfff161由于 ，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.1sf对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明（3）F.Dln1ln.sssSkfff对于玻色系统 ，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，0sf第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在 的情形下，式（2）和式（3）中的1sf1ln1ssssffff所以，在 的情形下，有sf（4）B.EF.Dln.ssSkff注意到 ，上式也可表示为sfN（5）B.EF. l.sfNk上式与 7
4、.4 题式（8）一致，这是理所当然的.8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为（1）325231NhUkTgVmkT（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利用理想气体压强与内能的关系（见习题 7.1）（2）2,3pV可直接求得弱简并气体的压强为（3）32521,hpnkTngmkT式中 是粒子数密度.NnV由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为162（4）327231,VVUCThNknmkT参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5） ，可将熵表示为（5）0.VCSdST将式（4）代入，得弱简并气体
5、的熵为（6）3207231ln.2hSNknSVgmkT式中的函数 可通过下述条件确定：在0V3231hnVkT的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度 g） ，可确定 ，从而得弱简并费米0SV（玻色）气体的熵为（7）33227251ln .mkThSNkhgmkT 弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数 ，然后根据式（8.1.6） 、ln（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想
6、气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪统计物理学导论65 和64.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如8.3 所述，令玻色气体降温到某有限温度 ，气体的化学势将趋cT于-0. 在 时将有宏观量级的粒子凝聚在 的基态，称为玻色-爱因斯cT 0坦凝聚. 临界温度 由条件163（1）0de1ckTDn确定.将二维自由粒子的状态密度（习题 6.3 式（4） ）2dLDmh代入式（1） ，得（2）20.e1ckTn二维理想玻色气体的凝聚温度 由式（2）确定. 令 ，上式可改写为c cxkT（3）20d.e1cxLmkTnh在计算式（3）的积分时可将被积函数展
7、开，有 21 ,eexxxx则 0d1e23x（4）1.n式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场 221xyxVmz中运动. 如果原子是玻色子，试证明：在 时将有宏观量级的原子凝聚在cT能量为 02xyz164的基态，在 保持有限的热力学极限下，临界温度 由下式3,0,N cT确定： 31.20,ckTN其中 温度为 T 时凝聚在基态的原子数 与总原子数 N 之比为13.xyz 0N301.cTN解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势
8、场中运动，其能量可表达为（1）22 2222111,yx zxyzpppmm这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4） ，三维谐振子能量的可能值为 , 111,222xyznxyznnn（2）,0,xyz如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为 T 时处在量子态 上的粒子,xyzn数为（3）,111222.exyzxyznnnnkTa 处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即（4）0.2xyz化学势 由（5）01,e1xyzxyznnnkTN确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值 时， 将趋于 临cT0.界温度 由下式确定：cT
9、165（6）1, ,e1xyzxyznnnkTN或（7）, ,exyzxyzn其中 ,.iicnzkT在 的情形下，可以将 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 1ickTi注意到在 范围内，粒子可能的量子态数为dxyzn3d,cxyzkTn即有（8）3,1xzycnkNe式中 13.xyz为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为 011eee.xyz xyzxyzxyzxyzn nnll积分等于 00030dedede1.2yx zxyz lnlnlnnll所以式（8）给出166（9）13.20CNkT式（9）意味着， 在 而 保持有限的极限情形下， 取有限,NCkT值. 上述
10、极限称为该系统的热力学极限.在 时，凝聚在基态的粒子数 由下式确定：cT0N301.2,kT上式可改写为（10）301.CNT式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同. 关于互作用玻色气体的凝聚可参阅 Dalfovo et al. Rev. Mod. Phys. 1999, 71（465）.8.6 承前 8.5 题，如果 ，则在 的情形下，原子在,zxyzkT方z向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 试证明时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为 的
11、CT 02xy基态，在 保持有限的热力学极限下，临界温度 由下式确2,0,N cT定： 21.645,CkTN其中 温度为 T 时凝聚在基态的原子数 与总原子数 N 之比为12.xy 0N201.CTN解: 在 的情形下，原子 方向的运动将冻结在基态作零点振,zxyz动，于是形成二维原子气体. 与 8.5 题相似，在 时将有宏观量级的原子c167凝聚在能量为 的基态. 临界温度 由下式确定：02xycT20de1xyCnkN（1）21.645,T其中 12,xy（2）201d.645exynl在 而 保持有限的热力学极限下 为有限值，有,0N2NckT（3）12.645CNkT时凝聚在基态的原
12、子数 与总原子数 N 之比由下式确定：CT021.,kT或（4）201.CNT低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看 8.5 题所引 Dalfovo et al 及其所引文献. 低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见 et al. GorlizPhys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7 计算温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为 1000K 的平衡辐射.（b）温度为 3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积 V 内，在 到 的圆频率d范围内光子的量子态数为（1）23d.Dc168温度为 T
13、 时平均光子数为（2）d,.e1kTDN因此温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均光子数为（3）2230d.e1kTc引入变量 ，上式可表示为xkT32203de1.4.xVkNTcT或（3）32.40.knTc在 1000K 下，有 163.m在 3K 下，有 835.0.n8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为 58d, ,e1hckTuT并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长 满足方程mmhcxkT5.xe这个方程的数值解为 因此4.961x,4.961mhcTk随温度增加向短波方向移动.m解: 式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为169（1）321,dd.ekTuTc根据圆频率与波长熟知的关系 ，有（2）2d.如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得（3）58d, .e1hckTuT令 ，使 取极大的波长 由下式确定：hcxkT,um（4）5d0.e1x由式（4）易得（5）5.x这方程可以用数值方法或图解方法求解. 图解方法如下：以 为横坐标，x为纵坐标，画出两条曲线y 1e,5xy如图所示. 两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为 4.96. 精确的数值解给出
