指数、对数及幂函数

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1、中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 1 - 指数函数、对数函数及幂函数 . 指数与指数函数1.指数运算法则： （ 1） r s r sa a a ； （ 2） sr rsa a ； （ 3） r r rab a b ；（ 4）mn mna a ； （ 5） 1mnn ma a （ 6）,| |,n n a naa n奇偶2. 指数函数：【基础过关】类型一：指数运算的计算题指数函数 01 图 象表达式 xy a定义域 R值 域 (0, )过定点 (0,1)单调性 单调递减 单调递增中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 2 - 此类习题应牢记指数函

2、数的基本运算法则， 注意分数指数幂与根式的互化， 在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便1、 5 2 6 的平方根是 _ 2、 已知 2na ， 16mna ， 则 m 的值为 , ( ) A 3 B 4 C 3a D 6a3、 化简2 21( ) 2b a b a ab bb a 的结果是 , ( ) A、 a a b B 、 a b a C 、 b a a D、 2b b a a4、已知 0.001a ，求：4 13 332 233 38 (1 2 )2 4a a b baa ab b=_ 5、 已知1 3x x， 求 （ 1）1 12 2x x =_（ 2）3 3

3、2 2x x =_ 6、若 2 2y yx x ，其中 1, 0x y ，则 y yx x _ 类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域， 注意到负数没有偶次方根； 此外应牢记指数函数的图像及性质函数 )( xfay 的定义域与 )( xf 的定义域相同1、 若集合 A=113 xx y,B= 2 1,x s x A B则 _ 2、如果函数 ( )y f x 的定义域是 1,2 , 那么函数1(2 )xy f的定义域是 _ 3、下列函数式中，满足 f(x+1)=12 f(x) 的是 , ( ) 中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 3 - A

4、、1 12 x B、14x C、 2x D、 2 x4、 若6 2 34 4 1 1 2a a a， 则实数 a 的取值范围是 , ( ) A、 2a B、 12aC、 12aD、任意实数类型三：复合函数 1 形如 02 caba xx 的方程，换元法求解 2 函数 )( xfay 的定义域与 )(xf 的定义域相同 3 先确定 )(xf 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)( xfay的值域涉及复合函数的单调性问题， 应弄清函数是由那些基本函数符合得到的， 求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（ 1）外函数是二次函数，内函数

5、是指数函数1、求函数 2 3 9 1x xy的值域2、 当 1 0x 时， 函数22 3 4x xy的最大值是 _， 最小值是 _ 3、 已知 x -3,2 ， 求 f(x)=1 1 14 2x x 的最大值是 _， 最小值是 _ （ 2）外函数是指数函数，内函数是二次函数1、函数 y=(13 )22 8 1x x(-3 1x ) 的值域是 _，单调递增区间是 _ 2、已知函数 y=(13 ) 2 2 5x x ，求其单调区间 _及值域 _ 类型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 4 - 1、函

6、数xx aaxf 2)1()(是 , ( ) A 、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数2、已知函数 f(x)=1( 1)1xxa aa(1) 判断函数的奇偶性； (2) 求该函数的值域； (3) 证明 f(x) 是 R上的增函数。3、设 a R,f(x)= 2 2 ( )2 1xxa a x R，试确定 a 的值，使 f(x) 为奇函数类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用1、已知 0a ，且 1a ，解不等式2 6 5x xa a2、 已知 f(x)=22 3 1x xa,g(x)=2 2 5x xa(a 0 且 a 1), 确定 x 的取值范围 , 1x 使得 f(x)

7、 g(x). 中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 5 - . 对数与对数函数1、 对数的运算：1、互化： NbNa ab log2、恒等： Na Nalog3、换底：abbcca logloglog推论 1 ab ba log1log 推论 2 log log loga b ab c c推论 3 log logmnaanb bm )0(m4、 NMMN aaa logloglog l o g l o g l o ga a aM M NN5、 MnM ana loglog2 对数函数：【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意 1 常用

8、对数：将以 10 为底的对数叫常用对数，记为 Nlg 2 自然对数：以 e=2.71828 , 为底的对数叫自然对数，记为 Nln对数函数 01 图 象表达式 log ay x定义域 (0, )值 域 R过定点 (1， 0) 单调性 单调递减 单调递增中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 6 - 3 零和负数没有对数，且 1log,01loga aa1、 (1)、9lg2lg008.0lg3181.0lg212(2)、 20lg5lg2lg 2(3) 、 )2log2(log)5log5(log3log3log 25593842、已知 2log xa , 3log xb

9、 , 6log xc 求 xabclog 的值类型二：指数，对数的混合运算指数函数 )1,0( aaay x 与对数函数 )1,0(log aaxy a 的图象与性质中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 7 - x=1x=1y=1 y=1在 (0,+ )内是减函数在 (0,+ )内是增函数在 (- ,+ )内是减函数在 (- ,+ )内是增函数01 时， y0.00;x1 时， y0 时， y1.x1;x0 时， 01010a1ay=log axy=a x函数11OO OO 1axy1axy1axy1axy1、若 log 2 ,log 3 ,a am n 则 3 2m

10、na _ 2、若 1a 且 0 1b ，则不等式 log ( 3) 1b xa 的解集为 _ 3、已知 3 5 ,a b A 且 1 1 2a b ，则 A 的值是 _ 4、已知 3 2a ，那么 3 3log 8 2log 6 用 a 表示是 ( )A、 2a B、 5 2a C、 23 (1 )a a D、 23a a【能力提升】类型三：对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如 )(xgfy 的复合函数可分解为基本初等函数)(),( xguufy ，分别确定这两个函数的定义域。1、函数121log (2 )yx的定义域是 _ 2、已知235(log ( ) 22xf x，则

11、 (0)f =_ 中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 8 - 3、已知62( ) logf x x ，那么 (8)f =_ 类型四：对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如 )(xgfy 的复合函数可分解为基本初等函数)(),( xguufy ，分别确定这两个函数的定义域和值域。1. 函数212log ( 6 17)y x x的值域是 _ 2. 设 1a ，函数 ( ) log af x x 在区间 , 2 a a 上的最大值与最小值之差为12 ，则a =_ 3. 函数 ( ) log ( 1)xaf x a x 在 0,1 上最大值和最小值之和为 a ，则 a

12、的值为_ 类型五：对数函数的单调性、奇偶性1、函数 lgy x 的单调递增区间是 _ ; 函数212log ( 3 2)y x x的递增区间是 _ 2、下列各函数中在（ 0， 1）上为增函数的是 ( ) A. 12log ( 1)y xB. 22log 1y xC. 31logyx D.213log ( 4 3)y x x3、函数2lg 11y x 的图像关于 ( ) A、 x 轴对称 B、 y 轴对称 C、原点对称 D、直线 y x 对称4、函数2( ) lg 1f x x x是 （奇、偶）函数。5、已知函数10 10( )10 10x xx xf x ，判断 ( )f x 的奇偶性和单调性

13、。中科教育 2010 年高中数学秋季讲义我们关注每一位学生！- 9 - 类型六：对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、 设 0.7 2 4log 0.8 log 0.9 log 5a b c ，则 , ,a b c 的大小关系是 _ 2、设2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e则 , ,a b c 的大小关系是 _ 3、如果3log 15m ，那么 m 的取值范围是 _ 4、 如果 log 3 log 3 0a b ， 那么 ,a b 的关系是 ( ) A. 0 1a b B. 1 a b C. 0 1b a D. 1 b a5、已知

14、2log ( 1) log (2 4) 0a ax x ，则不等式解集为 _ 6、若 ( ) logaf x x在 2, ) 上恒有 ( ) 1f x ，则实数 a的取值范围是 _ 类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）1、 设2( ) lg( )1f x ax 是奇函数，则使 ( ) 0f x 的 x 的取值范围是 _ 2、已知集合 2log 2 , ( , )A x x B a ，若 A B 则实数 a 的取值范围是 ( , )c ，其中 c = _. 3、若 1x 满足 2x+ 2x=5, 2x 满足 2x+2 )1(log 2 x =5, 1x + 2x ( ) A.52 B.3 C. 72 D.4 幂函数一、幂函数图象的作法：根据幂函数 kxy 的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形 . 如果幂函数的解析式为 mnxy 或 mnxy （ m 、 Nn ， 2m ， m 、n 互质）的形式，先化为