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1、王进明 初等数论 习题及作业解答P17 习题 1-1 1， 2(2)(3), 3， 7， 11， 12 为作业。1已知 两整数相除，得商 12，余数 26，又知被除数、除数、商及余数之和为 454求被除数 . 解： 12 26, 12 26 454,a b a b 12 26 12 26 454,b b(12 1) 454 12 26 26 390,b b=30, 被除数 a=12b+26=360+26=386. 这题的后面部分是小学数学的典型问题之一“和倍” 问题。2证明： (1) 当 n Z 且 3 9 (0 9)n q r r 时， r 只可能是 0,1,8; 证：把 n 按被 9 除的
2、余数分类，即：若 n=3k, k Z，则 3 327n k , r=0；若 n=3k +1, k Z，则 3 3 2 2(3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 9 (3 3 1) 1n k k k k k k ,r=1；若 n=3k 1, k Z，则 3 3 2 3 2(3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 9(3 3 1) 8n k k k k k k ,r=8. (2) 当 n Z 时，3 23 2 6n n n 的值是整数。证 因为3 23 2 6n n n = 3 22 36n n n ，只需证明分子 3 22 3n n n 是 6 的倍数。3 2 22 3 (2 3 1) ( 1) (2
3、 1)n n n n n n n n n( 1) ( 2 1)n n n n = ( 1)( 2)n n n ( 1) ( 1)n n n . 由 k! 必整除 k 个连续整数知： 6 | ( 1)( 2)n n n ,6 | ( 1) ( 1)n n n . 或证： 2!| ( 1)n n , ( 1)n n 必为偶数 .故只需证 3|( 1) (2 1)n n n . 若 3|n, 显然 3| ( 1) (2 1)n n n ；若 n 为 3k +1, k Z，则 n 1 是 3 的倍数，得知( 1) (2 1)n n n 为 3 的倍数；若 n 为 3k 1, k Z，则 2n 1=2(
4、3k 1) 1=6k-3, 2n 1是 3 的倍数 . 综上所述， ( 1) (2 1)n n n 必是 6 的倍数 ,故命题得证。(3) 若 n 为非负整数，则 133|(11n+2+122n+1)证明：利用 11n+2+122n+1=121 11n +12 144 n =133 11n +12 (144 n 11 n)及例 5 的结论(4)当 m， n， l N+时， ( )! ! !m n lm n l 的值总是整数证明： ( )!m n l = ( )( 1) ( 1)( )( 1) ( 1) !m n l m n l n l n l n l l l由 k!必整除 k 个连续整数知：
5、!| ( )( 1) ( 1)m m n l m n l n l , n! | ( )( 1) ( 1)n l n l l ，从而由和的整除性即证得命题。(5)当 a， b Z 且 a b， n 是双数时， | ( )n na b a b ；(6)当 a， b Z 且 a b， n 是单数时， | ( )n na b a b 解：利用例 5 结论：若 a b，则 |( )n na b a b 令 b= b*, 即得。或解： a = (a+b) b， (5) 当 n 为双数时，由二项式展开nn n na b a b b b1 1 11n n n na b n a b b n a b b， 证得。
6、 (6) 当 n 为单数时类似可得。3已知 a1， a2， a3， a4， a5， b Z,且52 21iia b ，说明这六个数不能都是奇数解：若这六个数都是奇数，设 2 1, , 1,2,3,4,5i i ia k k Z i ，则5 5 52 21 1 1(2 1) 4 ( 1) 5i i i ii i ia k k k ，因为 2 | ( 1)i ik k ，所以 8 | 451( 1)i iik k , 5218 5,iia q q Z , 而 2 2(2 1) 4 ( 1) 1b k k k ， 2 *8 1b q ， *,k q Z ，即等式左边被 8 除余 5, 而右边被 8
7、除余 1, 故不可能这六个数都是奇数。4能否在下式的各内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。1 2 3 4 5 6 7 8 9=10 不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边 10 为偶数。或解： 无论各内填入加号或减号， 1 2 3 4 5 6 7 8 9+1+2+3+4+5+6 +7+8+9 总是偶数，而 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, 因此的结果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一定是奇数。5已知： a， b， c 均为奇数证明 2 0ax bx c 无有理根。证：若有有理根，记为 , ,p p qq互质，代入方程有 2
8、( ) 0p pa b cq q即 2 2 0ap bpq cq ，这是不可能的，因为 p,q 互质，二者不可能同时为偶数。若 p 为偶数，则 2ap bpq 为偶数，但 2cq 是奇数，它们的和不可能为 0; 若 q 为偶数，则 2bpq cq 为偶数，但 2ap 是奇数，它们的和也不可能为 0。6在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加 1，继续这样操作下去，最后得到三个数为 35， 47， 83问原来所写的三个数能否是 2， 4， 6? 解： 不能 因为原来所写的三个数若是 2， 4， 6， 每次操作后剩下的三个数是两偶一奇7 将 1- 99 这 99 个自然数依次写成一排
9、， 得一多位数 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 97 98 99，求 A 除以 2 或 5、 4 或 25、 8 或 125、 3 或 9、 11 的余数分别是多少 ? 解：由数的整除特征， 2 和 5 看末位， A 除以 2 余 1， A 除以 5 余 4； 4 和 25 看末两位， A 除以 4 余 3， A 除以 25 余 24； 8 和 125 看末三位， A 除以 8 余 3，且除以 125余 24； 3 和 9 看各位数字的和， 1 2 3 4 5 6 7 8 9=45， A 所有数字的和等于 450, A 除以 3 和 9 都余 0， A 除以 11 的余数利用
10、定理 1. 4, 计算奇数位数字之和 A 的偶数位数字之和 奇数位数字之和 1+3+5+7+9+(0+1+ +9) 9 ， 偶数位数字之和 2+4+6+8+(1+2+ +9) 10，两者之差为 40，原数除以 11 的余数就是 40 除以 11 的余数： 4.8四位数 7x2y 能同时被 2， 3， 5 整除，求这样的四位数解： 同时被 2， 5 整除， 个位为 0， 再考虑被 3 整除， 有 4 个： 7020， 7320， 7620， 79209 从 5, 6, 7, 8, 9 这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数， 它能同时被 3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少
11、？被 5 整除，个位必为 5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29 中唯 27 能被 3整除， 故选出的四个不同的数字是 5, 6, 7,9,但不同排序有 9765,9675,7965,7695,6975,6795, 从最大的开始试除，得 9765=7 1395，那么要求的就是 9765 了。1011 1 至 1001 各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用 个正方形框住其中的 9 个数，要使 9 个数的和等于 (1)2001， (2)2529， (3)1989，能否办到 ?如能办到，写出框里的最小数与最大数如办不到，说明理由1 2
12、 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28995 996 997 998 999 1000 1001解：设框里居中心的数为 x,则 9 个数的和等于 9x. (1) 9 不能整除 2001，和等于 2001办不到； (2) 9 x=2529， x=281， 是所在行第一个数， 和等于 2529 办不到； (3) 9x=1989， x=221，和等于 1989 能办到，框里的最大数为 x+8=229，最小数为 x 8=21312 证 明 ： 7( 或 11 或 13) 1 3 2 1 0| n na a
13、 a a a a 的 特 征 是 ： 7( 或 11 或 13) 整 除1 3 2 1 0| |n na a a a a a解答：因为 7 11 13=1001。 （谐“一千零一夜” ） anan-1, a3a2a1a0=7 11 13 a2a1a0+(anan-1 , a3 a2a1a0) 1000附）广西师范大学 赵继源主编的初等数论习题 1 1 中的部分题目3已知 a， b， c 中，有一个是 2001，有一个是 2002 ，有一个是 2003，试判断(a 1) (b 2) (c 3)的奇偶性，并说明理由6 24 | 62742 , , .求9. 是否存在自然数 a 和 b，使 a2 b
14、2 = 2002 成立 ? 11证明：当 n Z 时， 6 | n(n 1)(2n 1)12已知： 2f x ax bx c ， f (0)， f ( 1)， f (1)， x 均为整数证明： .f x Z解答：3偶数因为 a， b， c 中，有三个奇数，所以 a 1， c 3 中至少有一个是偶数6只需 3| 62742 , 8| 62742且 ，即 3| ( ), 8 |且 ，先考虑 0,2,4,6,8, 有5 组解0, 2, 4, 7, 9,0; 4; 8; 2; 6.9不存在利用 a2 b2 =(a b)(a + b)，而 a b， a + b 的奇偶性相同而 2002=2 1001.
15、11用数学归纳法或 n(n+1)(2 n+1)= n(n+1)(n+2)+( n 1)n(n+1)，利用整除的基本性质 (13)12由 f (0)， f ( 1)， f (1)， x 均为整数可得 c, a+b, a b 均为整数 . 进而知 2a， 2b 为整数 . 分类讨论 (k Z): x=2k 时，由 2a， 2b 为整数 f (x)显然为整数 ; x=2k+1 时， f (2k+1) = 4 ak(k+1) + 2 bk + a + b + c, 可知 f (x)仍然为整数。习题 1-2 1. 判断下列各数中哪些是质数？ 109， 2003， 17357 2. 求证：对任意 n Z +，必有 n 个连续的自然数都是合数 . 3. 当 n 是什么整数时， n4+ n2+1 是质数？4. 求证：当 n Z+时， 4n3+6n2+4n +1 是合数 . 5. 求 a，使 a， a +4， a +14 都是质数 . 6. 已知两个质数 p 和 q 满足关系式 3p+5q=31.求 p/(3q+1) 的值 . 7. 已知 p3，且 p 和 2p+1 都是质数，问 4p+1 是质数还是合数？8. 由超级计算机运算得到的结果（ 2859433 1）是一个质数，试问： （ 2859433+1）是质数还是合数？请说明理由 . 9. 已知：质数 p、 q 使得表达式（ 2p+1） /q
