万有引力知识点总结

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1、- 1 - 万有引力与航天1 “地心说”和“日心说”的发展过程： “地心说“代表托勒密； “日心说”代表哥白尼2开普勒行星运动定律(1) 开普勒第一定律 ( 轨道定律 ) 行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。有时远离太阳，有时靠近太阳。它的速度的大小、方向时刻在改变。示意图如下：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。(2) 开普勒第二定律（面积定律）对于任意一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。(3) 开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的

2、半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等， 这是开普勒第三定律。每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。我们用 R表示椭圆的半长轴， T 代表公转周期，表达式可为 kTR23显然 k 是一个与行星本身无关的量， 只与中心体有关。 开普勒第三定律对所有行星都适用。 对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。3、万有引力定律（ 2）定律的内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。（ 3）定律的公式： 如果用 m1和 m2表示两个物体的质量，用 r 表示它们的距离，那么万有引

3、力定律可以用下面的公式来表示 2 21rmmGF（ 4）说明：万有引力定律的适用条件：万有引力定律中的物体是对质点而言，不能随意应用于一般物体。对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的 r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。思考：在公式中，当 r 0 时， F是否有意义？万有引力的普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。万有引力的相互性：两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。引力的方向在两质点的连线上。 G为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m时的

4、相互作用力，其数值与单位制有关。 在 SI 制中， G 6.67 10 11N m2/kg 2， 这个引力常量的出现要比万有引力定律晚一百多年哪！ 是英国的物理学家卡文迪许测出来的。 在运用万有引力定律计算时， 公式中各量的单位须统一使用国际单位制。 行星绕太阳的运动所需的向心力就是太阳对行星的引力， 卫星绕行星运动所需的向心力就是行星对卫星的引力。4、万有引力理论的成就（ 1）计算天体的质量： 在地球表面或附近的物体重力近似的等于万有引（该 r 为地球的半径） ：GgrMmgrMmG 22无论在地球表面还是非地球表面，物体的向心力都是由万有引力提供所以：- 2 - 33 2T=2 .GMGM

5、 GM r Mv a Gr r r， ， ，（ 2） 计算天体的密度： 天体的密度 32332323344RGTrRGTrVM，若绕行的天体靠近中心天体表面运行，则可以认为 r=R,则此时 23GT（ 3）发现未知天体： 海王星和冥王星5、宇宙航行（ 1）天体运动的研究：天体运动可看成是匀速圆周运动其所受引力全部提供天体做圆周运动所需的向心力。由 F 引 = F 心 得：讨论： （ 1）由 222 rvmrMmG 可得：rGMv r 越大， V越小。（ 2）由 rmrMmG 22 可得： 3rGM r 越大， 越小。（ 3）由 rTmrMmG 222 可得： GMrT 32 r 越大， T 越

6、大。（ 4）由 向marMmG2 可得： 2rGMa向 r 越大， a 向 越小。（ 2）地球同步卫星 : （ 3）定周期： T=24h 定轨道平面：地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内定高度（离地面高度 36000km） 定速度（运转速度均为 3.1 103m/s）定点（每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上） 。对同步卫星：运动规律：由于同步卫星的运动周期确定（为 T=24h） ，故而 其 r、 v、 、 T 、 a 、 g 均为定值。第一宇宙速度（环绕速度） ：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度 V1=7.9Km/s 。第二宇宙

7、速度（脱离速度） ：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度， V2=11.2Km/s 。第三宇宙速度（逃逸速度） ：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度， V3=16.7 Km/s 。6、经典力学的局限性经典力学的适用范围：宏观、低速和弱力情况。例 . 两颗人造卫星 A、 B 绕地球作圆周运动，周期之比为 TA： TB=1： 8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）例 . 宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度 V0 沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t ，球落到星球表面，- 3 - 小球落地时的速度大小为 V. 已知该星球的半径为 R，引力常量为 G ，求该星球的质量 M。例 . 宇航员

8、站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为 L，若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3L，已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为 R，万有引力常量为 G，求该星球的质量 M 。经验总结 “ 天上 ” ：万有引力提供向心力“ 地上 ” ：万有引力近似等于重力（ 4）双星：两者质量分别为 m1、 m2，两者相距 L 特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。双星轨道半径之比：双星的线速度之比：知识点一 万有引力应用两条线索(1)万有引力 =向心力(2)重力 =向心力G 2RMm = mg GM=gR2

9、( 黄金代换式 )1、 （中心天体质量密度）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 0v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m的物体重力， 物体静止时， 弹簧测力计的示数为 N， 已知引力常量为 G,则这颗行星的质量为AGNmv 2 B. GNmv4 CGmNv 2 D. GmNv 42、 （多天体比较）假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为ARd1 B Rd1 C 2)(RdR D 2)(dRR3、 （多天体比较）火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探

10、月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为 T ，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为 2T ，火星质量与地球质量之比为 p，火星半径与地球半径之比为 q，则 T 、 2T 之比为A. 3pq B. 31pqC. 3pqD. 3qp4、 （中心天体质量密度）若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为 T，引力常数为 G，那么该行星的平均密度为（B）A. 32GTB. 23GT C. 42GTD. 24GT5、 （多天体比较）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火

11、星的半径，它的运动周期为 T，则火星的平均密度 的表达式2Mma= mmF Gr222v 2 =mr =mrr T一条龙：122121mmvvRR2GM gR黄 代换： 金2 22 22 22248 2 9410 11 12Mm vG m m r m rr r Tvmgr m m r m rr T- 4 - 为 ( k 为某个常数 )( ) A kT B kTC kT2 D kT26、 （中心天体质量密度） 如图 K19 3 所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道 若“卡西尼”号探测器在半径为 R的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环

12、绕 n 周飞行时间为 t ，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M和平均密度 的表达式正确的是 ( ) A M 42 R h 3Gt2 ， 3 R h 3Gt2R3B M 42 R h 2Gt2 ， 3 R h 2Gt2R3C M 42t 2 R h 3gn2 ， 3 t 2 R h 3Gn2R3D M 42n2 r h 3Gt2 ， 3 n2 R h 3Gt2R3知识点二 双星模型、多星模型7、两颗靠得较近的天体称为双星，它们以连线上某点为圆心作匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起，以下说法中正确的是（ BD ）A它们作圆周运动的角速度之比与其质量成反比B它们作圆周运动的线速

13、度之比与其质量成反比C它们所受向心力之比与其质量成反比D它们作圆周运动的半径与其质量成反比。8、 如右图， 质量分别为 m和 M的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O点做匀速 圆周运动， 星 A 和 B两者中心之间距离为 L。已知 A、 B 的中心和 O三点始终共线， A 和 B分别在 O的两侧。引力常数为 G。（ 1）求两星球做圆周运动的周期。（ 2） 在地月系统中， 若忽略其它星球的影响， 可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B， 月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.

14、98 1024kg 和 7.35 1022kg 。求 T2与 T1两者平方之比。 （结果保留 3 位小数）9、宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可 忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为 m。（ 1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（ 2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？知识点三 宇宙速度含义： （

15、1）第一宇宙速度 (环绕速度 )： v1=7.9 km/s ，是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度 . （ 2）第二宇宙速度 (脱离速度 )： v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度（ 3）第三宇宙速度（逃逸速度） ： v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度 . F2F1R- 5 - 环绕速度推算： 地gRv地RGMv推导一： 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力即地22地 RvmRMmG ，得地RGMv 。推导二： 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动需要的向心力等于重力，即地2Rvmmg ，得地gRv10、若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s ，某行星的质量是地球质量的 6 倍，半径是地球的 1.5 倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）A. 2 km/s B. 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s 11、 2011 杭州检测 宇航员在一行星上以 10 m/s 的初速度竖直上抛一质量为 0.2 kg 的物体，不计阻力，经2.5 s 后落回手中，已知该星球半径为 7 220 km. (1) 该星球表面的重力加速度是多大？(2) 要使物体沿水平方向