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1、随 机 过 程,随机过程的基本概念统计特性和数字特征平稳随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声,随机过程的基本概念,确定性过程其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述随机过程其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。,通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程,随机过程的基本概念,随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随
2、机过程,随机过程的基本概念,一个样本,一个随机变量,随机过程的基本概念,随机过程(t)具有两个基本特征： (t)是时间t的函数；在某一观察时刻t1，样本的取值(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,一维分布函数：,一维概率密度函数：,二维分布函数：,二维概率密度函数：,随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字特征来描述。,统计特性,数字特征,分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性,在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，,用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性
3、，更简单直观。,数学期望（均值）,方差,数字特征,方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。,均值和方差是对随机变量求积分或求和,均值和方差是时间的函数,数字特征,相关函数,衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。,协方差函数,同一随机过程,不同时间间关系自协方差函数,不同随机过程,不同时间间关系互协方差函数,相关函数,同一随机过程,不同时间间关系自相关函数,不同随机过程,不同时间间关系互相关函数,数字特征,过程是慢变化， 过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但
4、是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于 来说，相关性强弱,数字特征,相关函数,数字特征,【例】 已知X和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为2和6，试求 的均值、方差和自相关函数。,数字特征,【例】 已知X和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为2和6，试求 的均值、方差和自相关函数。,平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。,则称 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,平稳随机过程,如果,任意非零值,一维概率密度函数,二维概率密度函数,均值,自相关函数,平稳随机过程,设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过
5、程或广义平稳随机过程。,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。,平稳随机过程,平稳随机过程,均值为常数,自相关函数只与时间间隔有关与时间起点无关,如何判别随机过程是平稳的？,x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，它的 时间均值 和时间相关函数 分别为,如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性,各态历经性,各态历经性,已知,均匀分布,x(t)是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？,宽平稳随机过程,各态历经性,各态历经性,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算
6、统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,各态历经性,判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件,设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数,具有下列主要性质：,（1）,（2）,（3）, 的偶函数,（4）, 的上界,（5）,平稳随机过程自相关函数的性质,方差， 的交流功率, 的平均功率, 的直流功率,随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于
7、任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为,我们可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即,平稳随机过程的功率谱密度,功率信号f(t)及其截短函数,平稳随机过程的功率谱密度,的平均功率S则可表示成,平稳随机过程的功率谱密度,功率谱的统计平均,平稳随机过程的功率谱密度,确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对 傅氏变换关系。 对于平稳随机过程，也有类似的关系，即,平稳随机
8、过程的功率谱密度,R(0)表示随机过程的平均功率,非负性,偶函数,平稳随机过程的功率谱密度,例 某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数，是在(0, )内均匀分布的随机变量。 求 的自相关函数与功率谱密度.,平稳随机过程的功率谱密度,解： 先考察(t)是否广义平稳 的数学期望为,的自相关函数为,根据,以及,是广义平稳。,则功率谱密度为,平均功率为,平稳随机过程的功率谱密度,高斯随机过程,若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。,高斯随机过程,如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有,统计独立,由式可以看出, 高斯过程的n维分布完全由
9、n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。,高斯随机过程重要性质,f(x)具有如下特性 (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2),正态分布的概率密度,一维高斯随机过程,误差函数和互补误差函数,互补误差函数,误差函数,这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦
10、/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即,这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。,高斯白噪声,白噪声的功率谱和自相关函数,高斯白噪声,如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,高斯白噪声,功率谱角度,概率分布角度,
11、随机过程通过线性系统,只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,若,则有,若线性系统是物理可实现的，则,或,如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足上式的关系。 这样，就整个过程而言，便有,随机过程通过线性系统,假定输入i(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输出过程o(t)的统计特性。,随机过程通
12、过线性系统,1. 输出过程o(t)的数学期望,由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。,可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。,2. 输出过程o(t)的自相关函数,随机过程通过线性系统,3. 输出过程o(t)的功率谱密度,可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。,随机过程通过线性系统,例 带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相
13、关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为,可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的， 在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。,带限白噪声,带限白噪声的功率谱和自相关函数,带限白噪声,带限白噪声,其自相关函数为,由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。,带限白噪声的平均功率：,从原理上看，在已知输入过程分布的情况,总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为
14、一个和式的极限，即,4. 输出过程o(t)的概率分布,带限白噪声,由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。 由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。 更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,带限白噪声,窄带随机过程,随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：,窄带过程的频谱和波形示意,窄带随机过程,a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。,(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。,
